高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.2向量的線性運(yùn)算學(xué)案蘇教版.docx

2.2 向量的線性運(yùn)算典題精講 例1 已知向量a、b，比較|a+b|與|a|+|b|的大小.思路分析：因?yàn)橄蛄堪L(zhǎng)度和方向，所以在比較和向量長(zhǎng)度的大小時(shí)，要考慮其方向.解：(1)當(dāng)a、b至少有一個(gè)為零向量時(shí)，有|a+b|=|a|+|b|；(2)當(dāng)a、b為非零向量且a、b不共線時(shí)，有|a+b|a|+|b|；(3)當(dāng)a、b為非零向量且a、b同向共線時(shí)，有|a+b|=|a|+|b|；(4)當(dāng)a、b為非零向量且a、b異向共線時(shí)，有|a+b|a-b|a|-|b|；(三角形兩邊之和大于第三邊，三角形兩邊之差小于第三邊的向量表示)當(dāng)a、b為非零向量，且a、b同向共線時(shí),|a|+|b|a+b|=|a|-|b|,當(dāng)a，b為非零向量，且a，b異向共線時(shí)，|a|+|b|=|a+b|a|-|b|,所以|a|+|b|a-b|a|-|b|. 例2 化簡(jiǎn)下列各式：(1)；(2)(4a-3b)+b-(6a-7b).思路分析：對(duì)于(1)，可以利用三角形法則對(duì)向量進(jìn)行分解；對(duì)于(2),利用向量線性運(yùn)算的運(yùn)算法則化簡(jiǎn).解：(1)=0+2=2；(2)(4a-3b)+b-(6a-7b)=(4a-3b+b-a+b)=(4-)a+(-3+)b=(a-b)=a-b. 綠色通道：向量加法的三角形法則可以推廣為多邊形法則，另一方面可以把任何一個(gè)向量用兩個(gè)向量的和或差來表示，使用向量的數(shù)乘的結(jié)合律與分配律可以化簡(jiǎn)向量式子. 變式訓(xùn)練 (2006全國(guó)高考卷，理9) 設(shè)平面向量a1、a2、a3的和a1+a2+a3=0.如果向量b1、b2、b3滿足|bi|=2|ai|，且ai順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30后與bi同向，其中i=1,2,3，則( )A.-b1+b2+b3=0 B.b1-b2+b3=0C.b1+b2-b3=0 D.b1+b2+b3=0思路解析：如圖2-2-8所示,圖2-2-8|bi|=2|ai|,假設(shè)旋轉(zhuǎn)角度的方向?yàn)槟鏁r(shí)針,可得OABOAB且相似比為12.a1+a2+a3=0,b1+b2+b3=0.答案：D 例3 已知兩個(gè)非零向量e1和e2不共線，且ke1+e2和e1+ke2共線，求實(shí)數(shù)k的值.思路分析：向量a,b共線,則一定存在實(shí)數(shù),使a=b成立.解：ke1+e2和e1+ke2共線，存在實(shí)數(shù)，使得ke1+e2=(e1+ke2).(k-)e1=(k-1)e2.e1和e2不共線，k=1. 綠色通道：本題從正反兩方面運(yùn)用了向量數(shù)乘的幾何意義，利用共線得到關(guān)于k的方程，用待定系數(shù)法解決問題. 變式訓(xùn)練 若3m+2n=a，m-3n=b，其中a、b是已知向量，求m、n.思路分析：此題可把已知條件看作向量m、n的方程，通過方程組求解m、n.解:記3m+2n=a,m-3n=b,3，得3m-9n=3b.-,得11n=a-3b.n=a-b.將代入,有m=b+3n=a+b.例4 一艘船以5 km/h的速度向垂直于對(duì)岸的方向行駛，航船實(shí)際航行方向與水流方向成30角，求水流速度和船實(shí)際速度.思路分析：本題要求的是速度，而速度是向量，因此可以用向量表示速度，然后用向量加法合成速度即可.圖2-2-9解：如圖2-2-9，表示水流速度，表示船垂直于對(duì)岸方向行駛的速度，表示船的實(shí)際速度，AOC=30，|=5 km/h，四邊形ABCD為矩形，|=|cot30=，|=10.水流速度為 km/h,船實(shí)際速度為10 km/h. 綠色通道：用向量法解決物理問題的步驟為：(1)用向量表示物理量；(2)進(jìn)行向量運(yùn)算；(3)回扣解決問題. 變式訓(xùn)練 一架執(zhí)行救災(zāi)任務(wù)的飛機(jī)從A地按北偏西30的方向飛行300 km后到達(dá)B地，然后向C地飛行.已知C地在A地北偏東60的方向處，且A、C兩地相距300 km，求飛機(jī)從B地向C地飛行的方向及B、C兩地的距離.思路分析：首先根據(jù)題意作出圖形(如圖2-2-10)，然后由A地確定B、C兩地的方位與距離.解：根據(jù)題意和圖形，可知BAC=90，|=|=300 km，則可得|= km；又由于ABC=45,A地在B地東偏南60的方向處，可知C地在B地東偏南15的方向處.圖2-2-10問題探究 問題1 已知n個(gè)向量，依次把這n個(gè)向量首尾相連.以第一個(gè)向量的起點(diǎn)為起點(diǎn),第n個(gè)向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量叫做這n個(gè)向量的和向量.A1、A2、A3是平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)，則等于什么？對(duì)于平面上不共線的四點(diǎn)A1、A2、A3、A4上述結(jié)論是否成立？又等于多少? 導(dǎo)思：求多個(gè)向量的和，需要連續(xù)使用三角形法則，這也可以看作是應(yīng)用了多邊形法則.對(duì)向量求和的多邊形法則應(yīng)明確：(1)多邊形法則適用于兩個(gè)或兩個(gè)以上的向量和的計(jì)算，三角形法則是多邊形法則的特殊情形；(2)n個(gè)向量的和的結(jié)果仍是一個(gè)向量；(3)法則的要領(lǐng)是“頭尾相接，頭是頭，尾是尾”，與向量加法的三角形法則相同. 探究：由平行四邊形法則,知，=0.類似地，根據(jù)向量求和的多邊形法則,有,即=0.對(duì)這個(gè)結(jié)論的更一般的形式，即n個(gè)向量順次首尾相接，組成一條封閉的折線，其和為零向量，也就不難理解了：=0. 問題2 三人奪球的游戲的規(guī)則是：在小球上均勻裝上三條繩子，由三人在一水平面上分別拉繩，要求每?jī)扇伺c球連線夾角相等，得到小球者為勝.現(xiàn)有甲、乙、丙三人玩此游戲，若甲、乙兩人的力量相同，均為a N，試探究丙需要多少力量小球靜止？若甲、乙兩人的力量不等，則小球有可能靜止嗎？ 導(dǎo)思：互為相反向量的兩個(gè)向量的和為0,在物理中可以理解成兩個(gè)力的合力為0.解決本題首先要審好題，能從題目中提煉出數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決，這是解決文字題或應(yīng)用題最關(guān)鍵的一個(gè)環(huán)節(jié). 探究：本題主要考查向量加法法則及相反向量的定義.設(shè)甲、乙、丙三人作用于小球的力分別為a、b、c,根據(jù)題意，可知a、b、c三個(gè)向量?jī)蓛蓨A角為120，可先計(jì)算a+b，由于|a|=|b|，易求|a+b|=|c|，且a+