高中數(shù)學第一章不等關系與基本不等式4第3課時放縮法幾何法與反證法學案北師大版.docx

第3課時放縮法、幾何法與反證法學習目標1.理解用放縮法證明不等式的原理，會用放縮法證明一些不等式.2.了解幾何法證明不等式的特征，會構(gòu)造一些特征明顯的圖形證明一些特定的不等式.3.理解反證法的理論依據(jù)，掌握反證法的基本步驟，會用反證法證明不等式知識點一放縮法思考放縮法是證明不等式的一種特有的方法，那么放縮法的原理是什么？答案不等式的傳遞性；等量加(減)不等量為不等量梳理放縮法(1)放縮法證明的定義在證明不等式時，有時可以通過縮小(或放大)分式的分母(或分子)，或通過放大(或縮小)被減式(或減式)來證明不等式，這種證明不等式的方法稱為放縮法(2)放縮法的理論依據(jù)不等式的傳遞性；等量加(減)不等量為不等量；同分子(分母)異分母(分子)的兩個分式大小的比較知識點二幾何法通過構(gòu)造幾何圖形，利用幾何圖形的性質(zhì)來證明不等式的方法稱為幾何法知識點三反證法思考什么是反證法？用反證法證明時，導出矛盾有哪幾種可能？答案(1)反證法就是在否定結(jié)論的前提下推出矛盾，從而說明結(jié)論是正確的(2)矛盾可以是與已知條件矛盾，也可以是與已知的定義、定理矛盾梳理反證法(1)反證法證明的定義：反證法是常用的證明方法它是通過證明命題結(jié)論的否定不能成立，來肯定命題結(jié)論一定成立(2)反證法證明不等式的一般步驟：作出否定結(jié)論的假設；進行推理，導出矛盾；否定假設，肯定結(jié)論.類型一放縮法證明不等式例1已知實數(shù)x，y，z不全為零，求證：(xyz)證明x.同理可得y，z.由于x，y，z不全為零，故上述三式中至少有一式取不到等號，所以三式相加，得(xyz)反思與感悟(1)利用放縮法證明不等式，要根據(jù)不等式兩端的特點及已知條件(條件不等式)，謹慎地采取措施，進行恰當?shù)胤趴s，任何不適宜的放縮都會導致推證的失敗(2)一定要熟悉放縮法的具體措施及操作方法，利用放縮法證明不等式，就是采取舍掉式中一些正項或負項，或者在分式中放大或縮小分子、分母，或者把和式中各項或某項換成較大或較小的數(shù)，從而達到證明不等式的目的跟蹤訓練1求證：12(nN且n2)證明k(k1)k2k(k1)(kN且k2)，即(kN且k2)分別令k2,3，n，得1，將這些不等式相加，得1，即1，1111，即12(nN且n2)成立類型二反證法證明不等式命題角度1證明“否定性”結(jié)論例2設a0，b0，且ab，證明：(1)ab2；(2)a2a2與b2b2不可能同時成立證明由ab，a0，b0，得ab1.(1)由基本不等式及ab1可知，ab22，即ab2，當且僅當ab1時等號成立.(2)假設a2a2與b2b2同時成立，則由a2a2及a0，得0a1；同理，0b1，從而ab1，這與ab1矛盾故a2a2與b2b2不可能同時成立反思與感悟當待證不等式的結(jié)論為否定性命題時，常用反證法來證明，對結(jié)論的否定要全面不能遺漏，最后的結(jié)論可以與已知的定義、定理、已知條件、假設矛盾跟蹤訓練2設0a2,0b2,0c2，求證：(2a)c，(2b)a，(2c)b不可能同時大于1.證明假設(2a)c，(2b)a，(2c)b同時都大于1，即(2a)c1，(2b)a1，(2c)b1，則(2a)c(2b)a(2c)b1，(2a)(2b)(2c)abc1.0a2,0b2,0c2，(2a)a21，同理(2b)b1，(2c)c1，(2a)a(2b)b(2c)c1，(2a)(2b)(2c)abc1，這與式矛盾(2a)c，(2b)a，(2c)b不可能同時大于1.命題角度2證明“至少”“至多”型問題例3已知f(x)x2pxq，求證：(1)f(1)f(3)2f(2)2；(2)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一個不小于.證明(1)f(1)f(3)2f(2)(1pq)(93pq)2(42pq)2.(2)假設|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于，則|f(1)|2|f(2)|f(3)|2，而|f(1)|2|f(2)|f(3)|f(1)f(3)2f(2)2，矛盾，|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一個不小于.反思與感悟(1)在證明中含有“至多”“至少”“最多”等字眼時，若正面難以找到解題的突破口，可轉(zhuǎn)換視角，用反證法證明(2)在用反證法證明的過程中，由于作出了與結(jié)論相反的假設，相當于增加了題設條件，因此在證明過程中必須使用這個增加的條件，否則將無法推出矛盾跟蹤訓練3若a，b，c均為實數(shù)，且ax22y，by22z，cz22x，求證：a，b，c中至少有一個大于0.證明假設a，b，c都不大于0，即a0，b0，c0，則abc0，而abcx22yy22zz22x(x1)2(y1)2(z1)23，30，且(x1)2(y1)2(z1)20，abc0，這與abc0矛盾，因此假設不成立a，b，c中至少有一個大于0.1用放縮法證明不等式時，下列各式正確的是()A.B.Cx2x3x23D|a1|a|1答案D解析對于A，x的正、負不定；對于B，m的正、負不定；對于C，x的正、負不定；對于D，由絕對值三角不等式知，D正確2用反證法證明命題“a，b，c全為0”時，其假設為()Aa，b，c全不為0Ba，b，c至少有一個為0Ca，b，c至少有一個不為0Da，b，c至多有一個不為0答案C3比較大?。?_.答案解析1.4已知0a3,0b3,0c3.求證：a(3b)，b(3c)，c(3a)不可能都大于.證明假設a(3b)，b(3c)，c(3a).因為a，b，c均為小于3的正數(shù)，所以，從而有.但是.當且僅當abc時，中取等號顯然與相矛盾，假設不成立，故命題得證1常見的涉及反證法的文字語言及其相對應的否定假設常見詞語至少有一個至多有一個唯一一個不是不可能全都是否定假設一個也沒有有兩個或兩個以上沒有或有兩個或兩個以上是有或存在不全不都是2.放縮法證明不等式常用的技巧(1)增項或減項(2)在分式中增大或減小分子或分母(3)應用重要不等式放縮，如a2b22ab，ab2，(a，b，c0)(4)利用函數(shù)的單調(diào)性等一、選擇題1P(a，b，c均為正數(shù))與3的大小關系為()AP3BP3CP3DP3答案C解析P3.2設x，y，z都是正實數(shù)，ax，by，cz，則a，b，c三個數(shù)()A至少有一個不大于2B都小于2C至少有一個不小于2D都大于2答案C解析假設a，b，c都小于2，則abc6，又abcxyz6，與abc6矛盾所以a，b，c至少有一個不小于2.故選C.3已知a0，b0，c0，且a2b2c2，則anbn與cn(n3，nN)的大小關系為()AanbncnBanbncnCanbncnDanbncn答案B解析a2b2c2，221，01,01，yx，yx均為減函數(shù)當n3時，有n2，n2，nn221，anbncn.4設x0，y0，A，B，則A與B的大小關系為()AABBABCABDAB答案D解析x0，y0，AB.5對“a，b，c是不全相等的正數(shù)”，給出下列判斷：(ab)2(bc)2(ca)20；ab與ab及ac中至少有一個成立；ac，bc，ab不能同時成立其中判斷正確的個數(shù)為()A0B1C2D3答案C解析對于，假設(ab)2(bc)2(ca)20，這時abc，與已知矛盾，故(ab)2(bc)2(ca)20，故正確；對于，假設ab與ab及ac都不成立，這時abc，與已知矛盾，故ab與ab及ac中至少有一個成立，故正確；對于，顯然不正確6設a，b，c是正數(shù)，Pabc，Qbca，Rcab，則“PQR0”是“P，Q，R同時大于零”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分又不必要條件答案C解析必要性顯然成立充分性：若PQR0，則P，Q，R同時大于零或其中有兩個負的，不妨設P0，Q0，R0，因為P0，Q0，即abc，bca.所以abbcca.所以b0，與b0矛盾，故充分性成立二、填空題7若A，則A與1的大小關系為_答案A1解析A1.8用反證法證明“一個三角形不能有兩個直角”有三個步驟：則ABC9090C180，這與三角形的內(nèi)角和為180矛盾，故結(jié)論錯誤；所以一個三角形不可能有兩個直角；假設ABC有兩個直角，不妨設AB90.上述步驟的正確順序是_答案解析由反證法的證明步驟可知，正確順序應該是.9已知aR，則，從大到小的順序為_答案解析因為2，2，所以22，所以 .10某同學準備用反證法證明如下問題：函數(shù)f(x)在0,1上有意義，且f(0)f(1)，如果對于不同的x1，x20,1，滿足|f(x1)f(x2)|x1x2|，求證：|f(x1)f(x2)|，那么它的反設應該是_答案存在x1，x20,1且x1x2，滿足|f(x1)f(x2)|x1x2|，使|f(x1)f(x2)|三、解答題11實數(shù)a，b，c，d滿足abcd1，且acbd1，求證：a，b，c，d中至少有一個是負數(shù)證明假設a，b，c，d都是非負數(shù)由abcd1知，a，b，c，d0,1從而ac，bd，acbd1，即acbd1，與已知acbd1矛盾，a，b，c，d中至少有一個是負數(shù)12設n是正整數(shù)，求證：1.證明由2nnkn(k1,2，n)，得，當k1時，當k2時，當kn時，1.原不等式成立13設a，bR,0x1,0y1，求證：對于任意實數(shù)a，b必存在滿足條件的x，y，使|xyaxby|成立證明假設對一切0x1,0y1，結(jié)論不成立，則有|xyaxby|.令x0，y1，得|b|；令x1，y0，得|a|；令xy1，得|1ab|.又|1ab|1|a|b|1，這與上式矛盾故假設不成立，原命題結(jié)論正確四、探究與拓展14完成反證法證題的全過程題目：設a1，a2，a7是由數(shù)字1,2，7任意排成的一個數(shù)列，求證：乘積p(a11)(a22)(a77)為偶數(shù)證明：假設p為奇數(shù)，則_均為奇數(shù)因為7個奇數(shù)之和為奇數(shù)，故有(a11)(a22)(a77)為_而(a11)(a22)(a77)(a1a2a7)(127)_.與矛盾，故p為偶數(shù)答案a11，a22，a77奇數(shù)0解析由假設p為奇數(shù)