數(shù)理統(tǒng)計(jì)第二章數(shù)字特征.ppt

隨機(jī)變量的數(shù)字特征,隨機(jī)變量概率分布(或密度函數(shù))及分布函數(shù)能全面了解統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，可以計(jì)算隨機(jī)變量取各個(gè)值或一個(gè)區(qū)間的概率大小。,但在實(shí)際中，很難得到一個(gè)精確的密度函數(shù)及分布函數(shù)，再者有時(shí)只需知道隨機(jī)變量的一些特征就可說明實(shí)際問題，如平均值和離散程度。,數(shù)字特征就是用來表示平均值和離散程度等的量，分兩類： 1、表示隨機(jī)變量均值特征(大小或位置)的數(shù)學(xué)期望、中位數(shù)、眾數(shù)等； 2、表示離散程度的方差、變異系數(shù)、協(xié)方差等。,2.1 數(shù)學(xué)期望,離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望 連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望 隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望,一、數(shù)學(xué)期望定義,(一)離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,例1 某人在某游戲中所得分?jǐn)?shù)X的分布列為：,，求所得分?jǐn)?shù)X的平均值。,解：假設(shè)進(jìn)行了N次游戲，當(dāng)N足夠大時(shí)，可認(rèn)為：NP1次得1分，NP2次得2分，NP3次得3分。,總分?jǐn)?shù)為 0NP0+1NP1+2NP2+3NP3,故X的平均值=總分?jǐn)?shù)/N,= 1P1+2P2+3P3=1x0.2+2x0.5+3x0.3=2.1,定義1 設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布為 P(X=xi)=pi(i=1,2,),(二)連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,定義3 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x),例3 隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為,求E(X),(三) 隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望,離散型隨機(jī)變量X的概率分布為P(X=xi)=pi (i=1,2,)，則其函數(shù)Y=g(X)的數(shù)學(xué)期望為,連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x),則其函數(shù)g(X)的數(shù)學(xué)期望為,案例2-22,(四)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),1、C為常數(shù) 則E(C)=C,2、C為常數(shù) 則E(CX)=CE(X),3、E(XY)=E(X)E(Y) (可推廣到多個(gè)隨機(jī)變量),4、設(shè)X,Y相互獨(dú)立，則E(XY)=E(X)E(Y) (可推廣到多個(gè)隨機(jī)變量),P33,三、中位數(shù)、眾數(shù)和分位數(shù),1、中位數(shù)(Median),定義5 設(shè)X為一隨機(jī)變量，若存在實(shí)數(shù)x,有,則稱x為X的中位數(shù)，記作 Me,例6 設(shè)X的概率函數(shù)為,求X的中位數(shù)。,解 因?yàn)镻X1=P(X=-1)+P(X=0)+P(X=1) =0.1+0.2+0.4=0.70.5,而PX1=P(X=1)+P(X=2)=0.4+0.3=0.70.5,所以X的中位數(shù)Me=1 。,(3)中位數(shù)可能不是樣本值。,注意 (1)中位數(shù)可能不唯一.,(2)連續(xù)型隨機(jī)變量中位數(shù)是F(x)=1/2的解.,2、眾數(shù)(mode),定義6 (離散型)設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為P(X=xi)=pi(i=1,2,)，且x1,x2,xn由小到大排列，若存在xk,有 pk-1pk+1，則稱xk為X的眾數(shù)，記作 Mo,例9 設(shè)X的概率函數(shù)為,求X的眾數(shù)。,解 因?yàn)镻(X=1)P(X=0)且P(X=1)P(X=2)， 所以X的眾數(shù)Mo=1,3、分位數(shù)(臨界值),定義9(右側(cè)分位數(shù)) 設(shè)X為一隨機(jī)變量，若存在數(shù)x,滿足,則稱x為X概率分布的右(上)側(cè)分位數(shù)(臨界值)。,定義10(雙側(cè)分位數(shù)) 設(shè)隨機(jī)變量X概率分布關(guān)于x=0對(duì)稱，若存在數(shù)x/2,滿足,則稱x/2 為X概率分布的雙側(cè)分位數(shù)(臨界值)。,由右圖易見，對(duì)關(guān)于x=0對(duì)稱的圖形有： 左側(cè)臨界值 u1- /2=-u /2,例11 若隨機(jī)變量XN(0,1),求下列右側(cè)和雙側(cè)臨界值 u0.05 u0.05/2 u1-0.05 u0.975,解 查p194 附表4 u0.05=u0.1/2=1.64,u0.05/2=1.96,u1-0.05=-u0.05=-1.64,u0.975=-u0.025=-u0.05/2=-1.96,書后附錄中列出了一些常用概率分布的臨界值表，都是按上述原理編制的，實(shí)際中經(jīng)常用到，應(yīng)會(huì)查。查表時(shí)要注意是上側(cè)臨界值表還是雙側(cè)臨界值表，并注意值的轉(zhuǎn)換。,小 結(jié),1、基本概念：數(shù)學(xué)期望、 分位數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、百分位數(shù)。,2、基本性質(zhì)與運(yùn)算：數(shù)學(xué)期望性質(zhì)及運(yùn)算。, 方 差,一、方差(Variance ),例12 設(shè)甲乙兩位射擊運(yùn)動(dòng)員各射擊5次，其射擊環(huán)數(shù)X1和X2如表所示,試比較兩人的技術(shù)水平。,解 雖然E(X1)=E(X2)=9.82，但并不能說明兩人的技術(shù)水平相同，因?yàn)榧椎臄?shù)據(jù)與E(X1)都很接近，但乙較分散，說明甲的技術(shù)水平較穩(wěn)定。,離差(dispersion) -對(duì)隨機(jī)變量X,把X-E(X)稱為X的離差。描述隨機(jī)變量各個(gè)取值與數(shù)學(xué)期望的離散程度.,要描述隨機(jī)變量分布的離散程度，需要求出離差的均值,但顯然E(X-E(X) =0(因離差有正有負(fù))。這時(shí)可能考慮用E|X-E(X)|表示離散程度大小，但式中有絕對(duì)值，計(jì)算時(shí)麻煩，所以用EX-E(X)2代替，從而得到方差。,可見，數(shù)學(xué)期望不能全面說明隨機(jī)變量的分布特征，還需要研究隨機(jī)變量對(duì)其數(shù)學(xué)期望的離散程度。,1、方差定義 設(shè)X是一隨機(jī)變量，若EX-E(X)2存在，則稱它為X的方差，記作V(X),即,對(duì)于離散型隨機(jī)變量X,對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量X,例13 設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布列為,求：E（X），D（X）。,2、方差的性質(zhì),(3) 設(shè)X,Y相互獨(dú)立，則D(X+Y)=D(X