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1,一個冪級數(shù),3 泰勒級數(shù),在其收斂圓內(nèi),反過來,在一個圓內(nèi),可以展開成,D,設(shè)函數(shù),在區(qū)域D內(nèi),作正向圓周K:,z是K內(nèi)任何一點(diǎn),根據(jù)柯西積分公式,根據(jù)高階積分公式,正向圓周K,可以增大,但整個圓周K,完全在D內(nèi),半徑R,z0到D的邊界的,最短距離,的和函數(shù),解析,解析的函數(shù),冪級數(shù),解析,的半徑R,及其內(nèi)部,最好等于,2,定理4.16,設(shè)函數(shù),在區(qū)域D內(nèi),R等于,z0到D的邊界,的最短距離,則在圓內(nèi):,能夠展開成,該公式,在z0的泰勒展開式,將函數(shù),其方法有兩種:,直接法、,但結(jié)果,的所有奇點(diǎn)中,若,離z0最近,則,解析,泰勒級數(shù):,稱為,展開成冪級數(shù),間接法,只有一個.,的奇點(diǎn)為z1,3,幾個重要函數(shù)的冪級數(shù),4,例1,將下列函數(shù),z的冪級數(shù),(1),并指出它們,(1) 解,(2),(2) 解,展開成,的收斂半徑,5,重要的冪級數(shù),兩邊求導(dǎo),再求導(dǎo),6,重要的冪級數(shù),積分,求導(dǎo),7,例2 (1),求函數(shù),處的泰勒展開式,并指出其成立的范圍,在,解,8,例2 (2),求函數(shù),處的泰勒展開式,并指出其成立的范圍,在,解,9,例2 (3),求函數(shù),處的泰勒展開式,并指出其成立的范圍,在,解,10,例2 (4),求函數(shù),處的泰勒展開式,并指出其成立的范圍,在,解,11,71頁零點(diǎn),設(shè),處解析,在,如果,則稱,為,的m階零點(diǎn),定理4.18,為,的m階零點(diǎn),其中,處解析,在,設(shè),是,非零解析函數(shù),證明,處,在,的泰勒級數(shù),若,為,的m階零點(diǎn)，,則,其中,處解析,在,反過來,若,則,12,例3,為,的幾階零點(diǎn),解,是解析函數(shù),為,的五階零點(diǎn),解法2,13,85頁9.,求證,證明,如果,為,的m階零點(diǎn),那么,為,的 (m 1)階零點(diǎn),根據(jù)條件得到,其中,處解析,在,其中,處解析,在,處解析,在,因此,為,的 (m 1)階零點(diǎn),14,例4 (1),求函數(shù),處的泰勒展開式,并指出它的收斂半徑,解,需要用公式,在,15,例4 (2),求函數(shù),處的泰勒展開式,并指出它的收斂半徑,解,在,16,例4 (3),求函數(shù),處的泰勒展開式,并指出它的收斂半徑,解,在,需要用公式,兩邊求導(dǎo)數(shù)得到,17,例4 (4

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