隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù).ppt

第四節(jié) 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、 由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù),一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù),二、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法,三、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù),一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù),若由方程,可確定y是x的函數(shù),由,表示的函數(shù)，稱為顯函數(shù)。,例如,可確定顯函數(shù),可確定y是x的函數(shù) ,對(duì)于不能顯化或不易顯化隱函數(shù)如何求導(dǎo)？,函數(shù)為隱函數(shù).,則稱此,隱函數(shù)求導(dǎo)方法:,（隱函數(shù)的顯化）,將y看做中間變量，運(yùn)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則在方,程兩邊直接對(duì)x求導(dǎo)。,隱函數(shù)求導(dǎo)方法:,兩邊對(duì)x求導(dǎo) (注意y = y(x),(含導(dǎo)數(shù) 的方程),例1 方程 y = x lny 確定了函數(shù) y = y (x), 求 y .,解 方程兩邊同時(shí)對(duì) x 求導(dǎo), 得,例2 設(shè) sin(xy) - ln(x + y) = 0 確定了函數(shù) y = y (x), 求 y .,解 方程兩邊同時(shí)對(duì) x 求導(dǎo), 把 y 看成 x 的函數(shù)有,解 方程兩邊同時(shí)對(duì) x 求導(dǎo), 把 y 看成 x 的函數(shù)有,例3 設(shè) 確定了函數(shù) y = y (x), 求,代入上式，得,例4 方程 x 2 + xy + y 2 = 4 確定了y 是 x 的函數(shù)求曲線上點(diǎn) (2, 2) 處的切線方程.,解 方程兩邊同時(shí)對(duì) x 求導(dǎo), 得,于是, 點(diǎn)(2, 2)處的切線方程為,即 x y 4 = 0.,2x + y + xy + 2yy = 0,y ( 2) = 1 (x 2),例5 求由方程,函數(shù) y 的二階導(dǎo)數(shù) y .,所確定的隱,解 由隱函數(shù)求導(dǎo)法, 得,上式兩邊再同時(shí)對(duì) x 求導(dǎo), 得,例6 設(shè) y = y (x) 由方程,所確定, 求 y .,解 方程變形為,兩邊同時(shí)對(duì) x 求導(dǎo), 得,上式兩邊再同時(shí)對(duì) x 求導(dǎo), 得,對(duì)于有些函數(shù), 使用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)要比通常的方法簡(jiǎn)便. 所謂對(duì)數(shù)求導(dǎo)法就是先在 y = f (x), 的兩邊取對(duì)數(shù), 然后再用隱函數(shù)求導(dǎo)法求出 y 的導(dǎo)數(shù).,二、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法,觀察函數(shù),對(duì)數(shù)求導(dǎo)法適用于多個(gè)函數(shù)相乘或冪指函數(shù),求導(dǎo)。,例6 y = x x (x 0), 求 y .,解 兩邊取對(duì)數(shù), 得 lny = xlnx. 上式兩邊同時(shí)對(duì) x 求導(dǎo), 把 y 看成 x 的函數(shù), 得,于是 y = y (1 + lnx) = x x (1 + lnx).,上述方法實(shí)際上是對(duì)冪指函數(shù)求導(dǎo)的一般方法, 也可以按下列方法書寫, y = x x = e x lnx, 于是,y = e x lnx (xlnx) = x x(lnx + 1).,例7 設(shè),解 顯然函數(shù)是冪指函數(shù)，可采用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法。為此先將方程兩邊取對(duì)數(shù)得,上式兩邊同時(shí)對(duì) x 求導(dǎo), 把 y 看成 x 的函數(shù), 得,例8 設(shè) x 1, x 2, 3, 4,解 如果直接利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式求這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù), 將是很復(fù)雜的. 為此先將方程兩邊取對(duì)數(shù)得,上式兩邊同時(shí)對(duì) x 求導(dǎo), 把 y 看成 x 的函數(shù), 得,例如,消去參數(shù),問(wèn)題: 消參困難或無(wú)法消參如何求導(dǎo)?,三、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù),由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得,事實(shí)上，,求,解：,例1 設(shè),求在,處的切線方程。,解：,切線方程：,例2 已知擺線方程,已知,注意 :,例3. 設(shè),求,則有,解,解：,內(nèi)容小結(jié),1. 隱函數(shù)求導(dǎo)法則,直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo),2. 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法 :,適用于冪指函數(shù)及某些用連乘, 連除，乘方，開方表示的函數(shù),3. 參數(shù)方程求導(dǎo)法,作業(yè) P91 1（1）（3）； 2（2）； 3（1）（4）； 4（1）（4）,例5.設(shè), 且,求,解:,一般地,在直角坐標(biāo)系中,如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo) x、y 都是某個(gè)變量 t 的函數(shù) -(1) 并且對(duì)于t 的每一個(gè)允許值, 由方程組(1) 所確定的點(diǎn)M (x,y) 都在這條曲線上,那么方程組(1) 就叫做這條曲線的參數(shù)方程, 聯(lián)系x、y 之間的變數(shù) t 叫做參變數(shù)，簡(jiǎn)稱為參數(shù).,三、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù),時(shí), 有,求,已知,1、 隱函數(shù),前面我們遇到的函數(shù)表達(dá)式是，給出自變量 x的值時(shí)直接由一個(gè)公式求得因變量 y 的值。這種方式表達(dá)的函數(shù)叫做顯函數(shù)。如，,但有時(shí)會(huì)遇到因變量與自變量的對(duì)應(yīng)規(guī)則是用一個(gè)方程 F (x, y)=0 表示的函數(shù)，這種函數(shù)稱為隱函數(shù)。如，,一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù),一般的，如果變量 x 和 y 滿足方程 F (x, y)=0，在一定條件下，當(dāng) x 在某區(qū)間內(nèi)任取一值時(shí)，相應(yīng)的總有滿足該方程的唯一的 y 值存在，那么就說(shuō)方程 F (x, y)=0 在該區(qū)間內(nèi)確定了一個(gè)隱函數(shù)。,例如，方程,當(dāng)自變量 x 在-1,1內(nèi)取值時(shí)，變量 y 有確定的值與之對(duì)應(yīng)；如果限定y0，則當(dāng) x=0 時(shí)，y=1.,從方程中把因變量 y 解出來(lái)化成顯函數(shù)的形式，叫做隱函數(shù)的顯化。,例如，在上半平面內(nèi)(y0)從方程,但并不是所有的隱函數(shù)都能被顯化，如,由隱函數(shù)的顯化我們可以看到，所謂方程F(x, y)=0確定一個(gè)函數(shù) y=f (x) 就是將此函數(shù)代入方程，則方程F (x, y)= F (x, f(x)0成為恒等式。,就得到 x 的恒等式,也就是說(shuō)，當(dāng)方程中的 y 被看作隱函數(shù)時(shí)，方程就成為 x 的恒等式。關(guān)于 y 的表達(dá)式部分就看做是自變量為 x 的復(fù)合函數(shù) 形式。,2、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù),對(duì)于容易顯化的隱函數(shù)，在求其導(dǎo)數(shù)時(shí)可以顯化后再求導(dǎo).,對(duì)于不能顯化或