電磁場與電磁波第4講梯度散度散度定理-2.ppt

Field and Wave Electromagnetic 電磁場與電磁波,2014. 3. 3,2,Review,1. Transform of Coordinate Systems,2. Integrals Containing Vector Functions,3,Main topic,1. 標量場的梯度,2. 矢量場的散度,3. 散度定理,4,1. 標量場的梯度,現(xiàn)在介紹在給定時間情況下描述標量場的空間變化率的方法. 在不同方向上的變化率可能不同,所以需要一個矢量來定義給定點和給定時間上標量場的變化率,由此引入梯度的概念.,5,方向導數,標量場在某點的方向導數表示標量場自該點沿某一方向上的變化率。,6,1) Directional derivative dv/dl,2) Gradient (dv/dn)an,標量的梯度定義為一矢量,其大小為標量的空間最大變化率,其方向為標量增加率最大的方向.,7,We write,customary,沿 dl 的方向導數為:,上式表明 V 在 al 方向上的空間增長率等于 V 的梯度在該方向上的投影(分量).,8,3) The expression of gradient V in coordinates,9,In Cartesian coordinates,It is convenient to consider in Cartesian coordinates as a vector differential operator.,But this is not definition in other coordinate.,10,球坐標系,圓柱坐標系,梯度運算符合以下規(guī)則：,C為常數,11,Example 2-16(P45),12,例 3,設標量 =xy2+yz3, 矢量,試求標量函數在點（2，-1，1）處沿矢量A的方向上的方向導數。,解 已知梯度,那么，在點（2，-1，1）處的梯度為,因此，標量函數在點（2，-1，1）處沿矢量A的方向上的方向導數為,13,例,場點 P (x, y, z),y,計算,解,同理可得,14,2. 矢量場的散度,通量線或流線來描述,Vector field,電力線,the flux of a vector,15,如： 真空中的電場強度E通過任一閉合曲面的通量等于該閉合面包圍的自由電荷的電荷量q與真空介電常數0之比：,高斯定理,閉合曲面內的電量為正、負、零時的通量,根據矢量通過某一閉合面的通量性質可以判斷閉合曲面中源的正負特性，以及存在與否。,通量僅能表示閉合曲面中源的總量，它不能顯示源的分布特性，如何顯示源的特性呢？,16,1) 散度(Divergence),矢量場 A 中某點的散度定義為包圍該點的體積趨于零時,單位體積中流出A 的凈流散通量,縮寫為div A:,The numerator, representing the net outward flux, is an integral over the entire surface S that bounds the volume. Equation is the general definition of div A which is a scalar quantity whose magnitude may vary from point to point as A itself varies. The definition holds for any coordinate system.,17,源 and 匯,the net outward flow,18,2)The expression of divergence A in coordinates,直角坐標系,19,柱坐標系,球坐標系,散度運算規(guī)則,20,Example 2-17(P49-50),21,3. 散度定理(Divergence Theorem),矢量場的散度定義為每單位體積流出的凈通量. 直觀地認為矢量場的散度的體積分等于該矢量包圍該體積封閉面流出的總通量,即:,This identity is called the divergence theorem. It applies(適用) to any volume V that is bounded by surface S. The direction of dS is always that of the outward normal, perpendicular to the surface dS and directed away from the volume.,22,Example 2-19(P52),23,24,例 已知,判斷散度定理是否適用于圖中所示的殼層區(qū)域。殼層的封閉面是以原點為中心而半徑分別為R=R1和R=R2（R2R1）的兩個球面。,解,在外表面上：,在內表面上：,25,summary,1. Gradient of a Scalar Field,2. Divergen