閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(詳細版).ppt

1,第十節(jié),一、有界性與最大值最小值定理,二、零點定理與介值定理,*三、一致連續(xù)性,閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質,第一章,2,學習指導,教學目的：了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質。 基本練習：了解并通過一定的練習學習最大最小值定理、有界性定理、零點定理及介值定理在函數(shù)值的估計和根的估計上的應用。 3注意事項：閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)有許多好的性質。應了解在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大最小值定理、有界性定理、零點定理及介值定理。了解定理的條件和結論，并通過一定的練習學會運用它們,3,如果函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內連續(xù),在右端點b左連續(xù),在左端點a右連續(xù),那么函數(shù)f(x)就是在閉區(qū)間a,b上連續(xù)的。,4,并非任何函數(shù)都有最大值和最小值 例如，函數(shù)f(x)=x在開區(qū)間(a b)內既無最大值又無最小值,應注意的問題:,一、有界性與最大值最小值定理,最大值與最小值 對于在區(qū)間I上有定義的函數(shù)f(x) 如果有x0I 使得對于任一xI都有 f(x)f(x0) (f(x)f(x0) 則稱f(x0)是函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最大值(最小值),5,例如,說明:,定理1(最大值和最小值定理) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定能取得它的最大值和最小值,又至少有一點x2a b 使f(x2)是f(x)在a b上的最小值,至少有一點x1a b 使f(x1)是f(x)在a b上的最大值,定理說明 如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a b上連續(xù) 那么,7,應注意的問題: 如果函數(shù)僅在開區(qū)間內連續(xù) 或函數(shù)在閉區(qū)間上有間斷點 那么函數(shù)在該區(qū)間上就不一定有最大值或最小值,例如 函數(shù)f(x)=x在開區(qū)間(a b) 內既無最大值又無最小值,定理1(最大值和最小值定理) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定能取得它的最大值和最小值,8,又如 如下函數(shù)在閉區(qū)間0 2 內既無最大值又無最小值,應注意的問題: 如果函數(shù)僅在開區(qū)間內連續(xù) 或函數(shù)在閉區(qū)間上有間斷點 那么函數(shù)在該區(qū)間上就不一定有最大值或最小值,定理1(最大值和最小值定理) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定能取得它的最大值和最小值,9,定理2(有界性定理) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界,證明 設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a b上連續(xù) 根據(jù)定理1 存在f(x)在區(qū)間a b上的最大值M和最小值m 使任一xa b滿足 mf(x)M 上式表明 f(x)在a b上有上界M和下界m 因此函數(shù)f(x)在a b上有界,定理1(最大值和最小值定理) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定能取得它的最大值和最小值,10,有界性與最大值最小值定理:在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)有界且一定有最大值和最小值.,注意:1.若區(qū)間是開區(qū)間, 定理不一定成立; 2.若區(qū)間內有間斷點, 定理不一定成立.,11,二、零點定理與介值定理,注: 如果x0使f(x0)=0 則x0稱為函數(shù)f(x)的零點,定理3(零點定理) 設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a b上連續(xù) 且f(a)與f(b)異號 即f(a).f(b)0，那么在開區(qū)間(a b)內至少存在一點x 使f(x)=0,12,例1 證明方程x3-4x2+1=0在區(qū)間(0 1)內至少有一個根 證明 設 f(x)=x3-4x2+1 則f(x)在閉區(qū)間0 1上連續(xù) 并且 f(0)=10 f(1)=-20 根據(jù)零點定理 在(0 1)內至少有一點x 使得 f(x)=0 即 x 3-4x 2+1=0 這說明方程x3-4x2+1=0在區(qū)間(0 1)內至少有一個根是x ,二、零點定理與介值定理,定理3(零點定理) 設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a b上連續(xù) 且f(a)與f(b)異號 即f(a).f(b)0,那么在開區(qū)間(a b)內至少存在一點x 使f(x)=0,13,定理4(介值定理) 設函數(shù) f(x)在閉區(qū)間a b上連續(xù) 且f(a)f(b) 那么 對于f(a)與f(b)之間的任意一個數(shù)C 在開區(qū)間(a b)內至少有一點x 使得f(x)=C,二、零點定理與介值定理,定理3(零點定理) 設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a b上連續(xù) 且f(a)與f(b)異號 即f(a).f(b)0,那么在開區(qū)間(a b)內至少存在一點x 使f(x)=0,14,二、零點定理與介值定理,定理3(零點定理) 設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a b上連續(xù) 且f(a)與f(b)異號 那么在開區(qū)間(a b)內至少一點x 使f(x)=0,推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值,定理4(介值定理) 設函數(shù) f(x)在閉區(qū)間a b上連續(xù) 且f(a)f(b) 那么 對于f(a)與f(b)之間的任意一個數(shù)C 在開區(qū)間(a b)內至少有一點x 使得f(x)=C,15,證,16,由零點定理,推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值.,幾何解釋:,17,例2,證,由零點定理,18,三、一致連續(xù)性,定理5(一致連續(xù)性定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù), 那么它在該區(qū)間上一致連續(xù).,不論在區(qū)間I的任何部分，只要自變量的兩個數(shù)值接近到一定程度，就可使對應的函數(shù)值達到所指定的接近程度。,定義：設函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有定義，如果對于任意給定的正數(shù)，總存在著正數(shù)，使得對于區(qū)間I上的任意兩點x1,x2，當|x1-x2| 時，就有|f(x1)-f(x2)| ，那么稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是一致連續(xù)的。,19,思考題,下述命題是否正確？,20,思考題解答,不正確.,例函數(shù),21,五、小結,關于閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)整體性質的四個定理：,有界性定理、最值定理、零點定理、介值定理，,注意條件： 1閉