閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(33).ppt

掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的相關(guān)定理,能用定理證明一些簡(jiǎn)單的性質(zhì),學(xué)習(xí)重點(diǎn),理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的定義,一、有限閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本定理,基本定理,證明：,二、最值定理,關(guān)于最值定理的說(shuō)明：,三、介值定理,證明：,注: 定理說(shuō)明 對(duì)于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù), 函數(shù) 值之間的數(shù)還是函數(shù)值,四、零點(diǎn)定理,證明：,證明：,由零點(diǎn)存在定理可知，原方程在-1，5內(nèi)必有根。,解答:,而,求證方程 至少有兩個(gè)實(shí)根,所以方程 在區(qū)間 和 內(nèi)各有一個(gè)實(shí)根,例. 證明方程,一個(gè)根 .,證: 顯然,又,故據(jù)零點(diǎn)定理, 至少存在一點(diǎn),使,即,說(shuō)明:,內(nèi)必有方程的根 ;,取,的中點(diǎn),內(nèi)必有方程的根 ;,可用此法求近似根.,二分法,在區(qū)間,內(nèi)至少有,則,則,*三. 一致連續(xù)性,已知函數(shù),在區(qū)間 I 上連續(xù),即:,一般情形,就引出,了一致連續(xù)的概念 .,定義:,對(duì)任意的,都有,在 I 上一致連續(xù) .,顯然:,例如,但不一致連續(xù) .,因?yàn)?取點(diǎn),則,可以任意小,但,這說(shuō)明,在( 0 , 1 上不一致連續(xù) .,定理4.,上一致連續(xù).,(證明略),備用題,至少有一個(gè)不超過(guò) 4 的,證：,證明,令,且,根據(jù)零點(diǎn)定理 ,原命題得證 .,內(nèi)至少存在一點(diǎn),在開區(qū)間,顯然,正根 .,例. 設(shè) f (x) 定義在區(qū)間,上 , 若 f (x) 在,連續(xù),提示:,且對(duì)任意實(shí)數(shù),證明 f (x) 對(duì)一切 x 都連續(xù) .,1. 任給一張面積為 A 的紙片(如圖),證明必可將它,思考與練習(xí),一刀剪為面積相等的兩片.,提示:,建立坐標(biāo)系如圖.,則面積函數(shù),因,故由介值定理可知:,習(xí)題課：一、連續(xù)與間斷,1. 函數(shù)連續(xù)的等價(jià)形式,有,2. 函數(shù)間斷點(diǎn),第一類間斷點(diǎn),第二類間斷點(diǎn),可去間斷點(diǎn),跳躍間斷點(diǎn),無(wú)窮間斷點(diǎn),振蕩間斷點(diǎn),有界定理 ;,最值定理 ;,零點(diǎn)定理 ;,介值定理 .,3. 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),例2. 設(shè)函數(shù),在 x = 0 連續(xù) , 則 a = , b = .,提示:,有無(wú)窮間斷點(diǎn),及可去間斷點(diǎn),解:,為無(wú)窮間斷點(diǎn),所以,為可去間斷點(diǎn) ,極限存在,例3. 設(shè)函數(shù),試確定常數(shù) a 及 b .,例4. 設(shè) f (x) 定義在區(qū)間,上 , 若 f (x) 在,連續(xù),提示:,且對(duì)任意實(shí)數(shù),證明 f (x) 對(duì)一切 x 都連續(xù) .,證:,證明: 若,令,則給定,當(dāng),時(shí),有,又,根據(jù)有界性定理, 使,取,則,在,內(nèi)連續(xù),存在, 則,必在,內(nèi)有界.,上連續(xù) , 且恒為正 ,例5. 設(shè),在,對(duì)任意的,必存在一點(diǎn),證:,使,令, 則,使,故由零點(diǎn)定理知 , 存在,即,證明:,即,上連續(xù), 且 a c d b ,例6. 設(shè),在,必有一點(diǎn),證:,使,即,由介值定理,證明:,故,即,二、 極限,1. 極限定義的等價(jià)形式,(以 為例 ),(即 為無(wú)窮小),有,2. 極限存在準(zhǔn)則及極限運(yùn)算法則,3. 無(wú)窮小,無(wú)窮小的性質(zhì) ;,無(wú)窮小的比較 ;,常用等價(jià)無(wú)窮小:,4. 兩個(gè)重要極限,6. 判斷極限不存在的方法,5. 求極限的基本方法,或,例7. 求下列極限：,提示:,令,則有,復(fù)習(xí): 若,例8. 確定常數(shù) a , b , 使,解: 原式可變形為,故,于是,而,例9. 當(dāng),時(shí),是,的幾階無(wú)窮小?,解: 設(shè)其為 x 的 k 階無(wú)窮小,則,因,故,閱讀與練習(xí),1. 求,的間斷點(diǎn), 并判別其類型.,解:,x = 1 為第一類可去間斷點(diǎn),x = 1 為第二類無(wú)窮間斷點(diǎn),x = 0 為第一類跳躍間斷點(diǎn),2. 求,解:,原式 = 1,(2000考研),注意此項(xiàng)含絕對(duì)值,3. 求,解: 令,則,利用