動量傳遞方程的若干解.ppt

第三章 動量傳遞方程的若干解,本章討論重點流體作簡單層流流動時，動量傳遞方程的典型求解。主要包括：,1.兩平壁間的穩(wěn)態(tài)層流；,2.圓管與套管環(huán)隙間的穩(wěn)態(tài)層流；,3.無限大平板在黏性流體中的突然運動；,4.極慢黏性流動（爬流）；,5.勢函數(shù)與理想流體的流動。,動量傳遞方程的分析,動量傳遞方程組：,當(dāng)流體不可壓縮時，=常數(shù),變量數(shù)：ux，uy，uz，p；方程數(shù)：4,動量傳遞方程的分析,動量傳遞方程組的特點：,（1）非線性偏微分方程；,方程組的求解目的獲得速度與壓力分布,動量傳遞系數(shù) CD（或 f ）等。,（2）質(zhì)點上的力平衡，僅能用于規(guī)則的層流求解。,動量傳遞方程的分析,方程組求解的分類：,（1）對于非常簡單的層流，方程經(jīng)簡化后，其形式非常簡單，可直接積分求解解析解；,（2）對于某些簡單層流，可根據(jù)流動問題的物理特征進行化簡。簡化后，積分求解物理近似解；,（3）對于復(fù)雜層流，可采用數(shù)值法求解；將方程離散化，然后求差分解；,（4）對于湍流，可先進行適當(dāng)轉(zhuǎn)換，再根據(jù)問題的特點，結(jié)合實驗，求半理論解。,動量傳遞方程的分析,3.1 兩平壁間的穩(wěn)態(tài)層流,一、方程的簡化,二、方程的求解,三、平均流速與流動壓降,第三章 動量傳遞方程的若干解,物理模型：流體在兩平壁間作平行穩(wěn)態(tài)層流流動，例如板式熱交換器、各種平板式膜分離裝置等。,設(shè)=常數(shù)；穩(wěn)態(tài)；遠離流道進、出口；流體僅沿 x方向流動：,一、方程的簡化,（1）連續(xù)性方程的簡化,（2）運動方程的簡化,x 方向：,一、方程的簡化,z 方向：,y 方向：,一、方程的簡化,(b),(c),（a),（b）對 y 積分得,對x 微分得,因,僅是 y 的函數(shù),一、方程的簡化,二、方程的求解,邊界條件（B.C.）：,（1）,（2）,速度分布為,拋物線形,三、平均流速與流動壓降,平均流速：,壓降：,范寧摩擦因子（推導(dǎo)過程？）：,三、平均流速與流動壓降,3.1 兩平壁間的穩(wěn)態(tài)層流,3.2 圓管與套管環(huán)隙間的穩(wěn)態(tài)層流,一、圓管中的軸向穩(wěn)態(tài)層流,二、套管環(huán)隙中的軸向穩(wěn)態(tài)層流,三、旋轉(zhuǎn)黏度計的測量原理,第三章 動量傳遞方程的若干解,一、圓管中的軸向穩(wěn)態(tài)層流,流體在圓管中的流動問題許多工程科學(xué)中遇到。,設(shè)：不可壓縮流體在水平圓管中作穩(wěn)態(tài)層流流動，所考察的部位遠離管道進、出口，流動為沿軸向的一維流動。,柱坐標(biāo)連續(xù)性方程的簡化,N-S方程簡化,r 分量:,一、圓管中的軸向穩(wěn)態(tài)層流,z 分量:,一、圓管中的軸向穩(wěn)態(tài)層流, 分量:,一、圓管中的軸向穩(wěn)態(tài)層流,一、圓管中的軸向穩(wěn)態(tài)層流,速度分布,管中心最大流速,平均流速,一、圓管中的軸向穩(wěn)態(tài)層流,壓力降,范寧摩擦因子,一、圓管中的軸向穩(wěn)態(tài)層流,二、套管環(huán)隙中的軸向穩(wěn)態(tài)層流,流體在兩根同心套管環(huán)隙空間沿軸向的流動在物料的加熱或冷卻時經(jīng)常遇到，如套管換熱器。,設(shè)：不可壓縮流體在兩管環(huán)隙間沿軸向流過。設(shè)所考察的部位遠離進、出口，求解套管環(huán)隙內(nèi)的速度分布、主體流速以及壓力降的表達式。,套管環(huán)隙中層流的變化方程與圓管相同，即,B.C. 為,二、套管環(huán)隙中的軸向穩(wěn)態(tài)層流,速度分布,由B.C.+,由B.C.+,聯(lián)立二式,二、套管環(huán)隙中的軸向穩(wěn)態(tài)層流,主體流速,壓力降,范寧摩擦因子,二、套管環(huán)隙中的軸向穩(wěn)態(tài)層流,三、旋轉(zhuǎn)黏度計的測量原理,連續(xù)性方程簡化,運動方程簡化,三、旋轉(zhuǎn)黏度計的測量原理,三、旋轉(zhuǎn)黏度計的測量原理,三、旋轉(zhuǎn)黏度計的測量原理,B.C.,通解：,三、旋轉(zhuǎn)黏度計的測量原理,方向上的剪應(yīng)力與形變速率的關(guān)系：,代入速度分布方程,通常，旋轉(zhuǎn)粘度計的內(nèi)筒固定不動（ ），故作用于外圓筒內(nèi)壁上的剪應(yīng)力為：,三、旋轉(zhuǎn)黏度計的測量原理,已知旋轉(zhuǎn)粘度計圓筒長為L，則作用于外筒內(nèi)壁上的摩擦力為,外筒繞軸旋轉(zhuǎn)的力矩為,三、旋轉(zhuǎn)黏度計的測量原理,測定某未知粘度的液體時，規(guī)定外圓筒轉(zhuǎn)速 ，測定相應(yīng)的轉(zhuǎn)動力矩 ，可由上式計算待測液體的粘度。,三、旋轉(zhuǎn)黏度計的測量原理,3.1 兩平壁間的穩(wěn)態(tài)層流,3.2 圓管與套管環(huán)隙間的穩(wěn)態(tài)層流,3.3 非穩(wěn)態(tài)流動求解的例,一、方程的化簡,二、方程的求解,第三章 動量傳遞方程的若干解,非穩(wěn)態(tài)流動的求解的例靠近平板的無限大流體當(dāng)平板突然運動時的流動分布。,一、方程的化簡,考察位于平板（ xz 平面）上方的半無限大流體，流體初始靜止。在 t= 0 時刻，平板以恒速 u0 沿 x 正方向運動，求流速分布。,設(shè) x 方向壓力梯度為零，流動為層流。,由于,由連續(xù)性方程和運動方程化簡可得,I.C. 0，ux0；(所有 y),B.C. y = 0，uxu0；(所有 0),y = ，ux0；(所有 0),一、方程的化簡,令,B.C.（1）,，,B.C.（2）,二、方程的求解,兩次積分得,速度分布,誤差函數(shù)。,二、方程的求解,剪應(yīng)力,任一瞬時，壁面上的剪應(yīng)力為,二、方程的求解,3.1 兩平壁間的穩(wěn)態(tài)層流,3.2 圓管與套管環(huán)隙間的穩(wěn)態(tài)層流,3.3 非穩(wěn)態(tài)流動求解的例,3.4 極慢黏性流動（爬流）,一、爬流的概念與爬流運動方程,二、斯托克斯定律,第三章 動量傳遞方程的若干解,一、爬流的概念與爬流運動方程,慣性力,粘性力,重力,壓力,本節(jié)求運動方程的物理近似解。,流體流動時，起支配作用的是慣性力和黏性力。,Re =慣性力/粘性力,本節(jié)討論 Re 0.1的流動，稱為爬流 ( Creeping flow) 。,（1）當(dāng)流動的Re很大，慣性力黏性力，慣性力起主導(dǎo)作用，黏性力是次要因素。,（2）當(dāng)流動的Re很小，慣性力黏性力，粘性力起主導(dǎo)作用，慣性力是次要因素。,一、爬流的概念與爬流運動方程,略去運動方程中的慣性力和重力項：,方程的特點：線性偏微分方程組，4個方程，4個未知量，可直接求出解析解。,一、爬流的概念與爬流運動方程,球粒子在流體中的沉降,半徑為r0的球粒子在靜止無界不可壓縮流體中以u0運動。設(shè)流動 Re很小。,二、斯托克斯定律,A(x , y, z),r0,x,y,z,u0,1.流體的速度分布；,2.壓力分布；,3.粒子沉降的阻力。,r,（1）方程簡化,連續(xù)性方程：,穩(wěn)態(tài),軸對稱,運動方程,B.C.,二、斯托克斯定律,（2）速度及壓力分布,二、斯托克斯定律,球坐標(biāo)本構(gòu)方程,（3）流動阻力,二、斯托克斯定律,A(x , y, z),r0,x,y,z,u0,故,球面上,則,球面上,代入本構(gòu)方程,代入速度和壓力分布方程,本構(gòu)方程用于球面上,二、斯托克斯定律,流動阻力（斯托克斯方程）,阻力系數(shù),適用條件,Re 0.1,二、斯托克斯定律,例：根據(jù)粒子沉降的終端速度測定流體粘度。,解：,球粒子在粘性流體中降落時，它將一直加速，直至獲得一恒定的終端速度為止。當(dāng)達到這一狀態(tài)時，作用于粒子上的合力必為零。因此,式中，r0為球粒子半徑，s 為球粒子密度，為流體密度。,則可解得,當(dāng)且僅當(dāng)Re 0.1時適用。,二、斯托克斯定律,3.2 圓管與套管環(huán)隙間的穩(wěn)態(tài)層流,3.3 非穩(wěn)態(tài)流動求解的例,3.4 極慢黏性流動（爬流）,3.5 理想流體的勢流流動,一、理想流體的運動方程,二、流體的旋度與速度勢函數(shù),三、勢流的速度與壓力分布,3.1 兩平壁間的穩(wěn)態(tài)層流,第三章 動量傳遞方程的若干解,對于大,當(dāng)流動 Re 很大，粘滯力慣性力，慣性力起主導(dǎo)作用，除壁面附近的流體層外，大部分區(qū)域可按理想流體考慮。,研究理想流體流動的學(xué)科稱為理論流體動力學(xué)，在航空、航天、水利工程等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。如研究流體繞過沉浸物體的流動的問題時，理想流體的理論可以用來解決壓力分布等問題。,一、理想流體的運動方程,N-S方程,連續(xù)性方程,一、理想流體的運動方程,方程特點：非線性偏微分方程組，4個方程，4個變量。為求解析解，可將方程轉(zhuǎn)化為線性方程。為此，引入勢函數(shù)的概念。,一、理想流體的運動方程,二、流體的旋度與速度勢函數(shù),流體的旋度,速度勢函數(shù),以二維流動（x，y方向）為例討論：,無旋流動時，,0,0,二、流體的旋度與速度勢函數(shù),令,積分,令C=0,引入勢函數(shù)的目的是將速度變量 用一個變量 代替，從而使方程的求解得以簡化。,定義,二、流體的旋度與速度勢函數(shù),速度勢函數(shù)存在的唯一條件是：流動無旋。因此，在三維流動中，也存在相應(yīng)的速度勢函數(shù),關(guān)系：,二、流體的旋度與速度勢函數(shù),三、勢流的速度與壓力分布,勢流理想流體的無旋流動。,勢流的求解：,B.C.,1.速度分布,2.壓力分布,x 方向的歐拉方程：,三、勢流的速度與壓力分布,令,x 方向:,y 方向:,z 方向:,無旋流動,三、勢流的速度與壓力分布,取坐標(biāo) x，y 水平，z垂直向下,重力場為有勢場，令單位質(zhì)量流體所具有的勢能為,三、勢流的速度與壓力分布,積分,Bernoulli equation,理想流體作無旋流動時，動能、位能與壓力能之和為常數(shù)，不產(chǎn)生流動阻力。,三、勢流的速度與壓力分布,3.2 圓管與套管環(huán)隙間的穩(wěn)態(tài)層流,3.3 非穩(wěn)態(tài)流動求解的例,3.4 極慢黏性流動（爬流）,3.5 理想流體的勢流流動,3.6 平面流與流函數(shù)的概念,一、平面流,二、流函數(shù),3.1 兩平壁間的穩(wěn)態(tài)層流,第三章 動量傳遞方程的若干解,一、平面流,許多流動體系，其一個方向的尺度要比另外兩個方向的尺度大得多，例如矩形管道、流體在一個很寬的平壁面的流動等。對于這類問題，由于流體的物理量在一個方向上無變化或變化很小，可將其按二維流動處理。,穩(wěn)態(tài)不可壓縮流體的平面流的變化方程：,一、平面流,二、流函數(shù),不可壓縮流體的平面流動的連續(xù)性方程為,令,積分,令C = 0,定義,流函數(shù),流函數(shù)滿足連續(xù)性方程，證明？,思考題 試證明：不可壓縮流體作二維平面無旋流動時，流函數(shù)滿足拉普拉斯方程：,二、流函數(shù),習(xí) 題,1. 不可壓縮流體在相距為 2y0 的兩平行平壁間作一維穩(wěn)態(tài)層流流動。若上板以 u0 的速度移動 ，下板靜止不動，試導(dǎo)出其速度分布、剪應(yīng)力、體積流率和平均速度的表達式。,習(xí) 題,2. 粘性流體沿垂直圓柱體的外表面以穩(wěn)態(tài)的層流液膜向下流動，如本題附圖所示。試求該流動的速度分布。該液體的密度和粘度分別為 和 。,習(xí) 題,3. 如本題附圖所示，兩平行的水平平