八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第二章等邊三角形知識(shí)點(diǎn)與同步訓(xùn)練（含解析）（新版）[蘇科版].doc

等邊三角形知識(shí)精講一等邊三角形的概念等邊三角形：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形等邊三角形是一種特殊的等腰三角形二等邊三角形的性質(zhì)等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于三等邊三角形的判定判定1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形判定2：有一個(gè)角是的等腰三角形是等邊三角形四直角三角形性質(zhì)定理在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半證明：，延長至使，則有垂直平分，所以，因?yàn)?，所以是等邊三角形，所以，即五等邊三角形與全等三角形綜合等邊三角形與全等三角形綜合問題主要分兩種類型：一是以等邊三角形為載體來考察全等三角形的綜合問題；二是利用全等三角形的性質(zhì)和判定證明三角形是等邊三角形不管是哪種類型都要注意60角和邊的等量關(guān)系的應(yīng)用，尤其是后面學(xué)習(xí)旋轉(zhuǎn)之后，會(huì)出現(xiàn)一些比較難的等邊三角形和全等三角形結(jié)合的問題三點(diǎn)剖析一考點(diǎn)：1等邊三角形的性質(zhì)與判定；2直角三角形性質(zhì)定理；3等邊三角形與全等三角形綜合二重難點(diǎn)：1等邊三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的所有性質(zhì)做題時(shí)常作為隱藏條件考察2等邊三角形的判定用定義判斷的不多，一般都是利用有一個(gè)角是的等腰三角形是等邊三角形來判定，所以在構(gòu)造全等是要注意同時(shí)兼顧邊相等，并且可以推導(dǎo)出有一個(gè)角為603等邊三角形的性質(zhì)非常特殊，在證明或計(jì)算中要注意邊角之間的轉(zhuǎn)化，尤其是含30角的直角三角形中邊的關(guān)系4在解決建立在等邊三角形基礎(chǔ)上的全等綜合問題時(shí)，關(guān)鍵是抓住邊相等，角度都是特殊角三易錯(cuò)點(diǎn)：在利用直角三角形性質(zhì)定理的過程中，需要注意兩點(diǎn)：一是必須在直角三角形中才能運(yùn)用，銳角三角形和鈍角三角形均不存在上述關(guān)系；二是一定要注意是所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半題模精講題模一：等邊三角形的性質(zhì)例1.1.1 三個(gè)等邊三角形的位置如圖所示，若3=50，則1+2=_【答案】 130【解析】 圖中是三個(gè)等邊三角形，3=50，ABC=180-60-50=70，ACB=180-60-2=120-2，BAC=180-60-1=120-1，ABC+ACB+BAC=180，70+（120-2）+（120-1）=180，1+2=130故答案為：130例1.1.2 如圖，等邊ABC的周長是9，D是AC邊上的中點(diǎn)，E在BC的延長線上若DE=DB，則CE的長為_【答案】 【解析】 該題考查的是ABC為等邊三角形，D為AC邊上的中點(diǎn)，BD為的平分線，又，即，；等邊ABC的周長為9，即例1.1.3 在等邊ABC中，D是邊AC上一點(diǎn)，連接BD，將BCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60，得到BAE，連接ED，若BC=5，BD=4則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A AEBCB ADE=BDCC BDE是等邊三角形D ADE的周長是9【答案】B【解析】 本題考查的是圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及等邊三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定，熟知旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等是解答此題的關(guān)鍵首先由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AED=ABC=60，所以看得AEBC，先由ABC是等邊三角形得出AC=AB=BC=5，根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AE=CD，BD=BE，故可得出AE+AD=AD+CD=AC=5，由EBD=60，BE=BD即可判斷出BDE是等邊三角形，故DE=BD=4，故AED的周長=AE+AD+DE=AC+BD=9，問題得解ABC是等邊三角形，ABC=C=60，將BCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60，得到BAE，EAB=C=ABC=60，AEBC，故選項(xiàng)A正確；ABC是等邊三角形，AC=AB=BC=5，BAEBCD逆時(shí)針旋旋轉(zhuǎn)60得出，AE=CD，BD=BE，EBD=60，AE+AD=AD+CD=AC=5，EBD=60，BE=BD，BDE是等邊三角形，故選項(xiàng)C正確；DE=BD=4，AED的周長=AE+AD+DE=AC+BD=9，故選項(xiàng)D正確；而選項(xiàng)B沒有條件證明ADE=BDC，結(jié)論錯(cuò)誤的是B，故選：B題模二：等邊的判定例1.2.1 如圖所示，AD是的中線，把沿直線AD折疊后，點(diǎn)C落在位置，則的長為_.ACDB【答案】 4【解析】 本題考察的是等邊三角形由題意， ，有一個(gè)角為的等腰三角形為等邊三角形， 故本題的答案是4例1.2.2 已知：如圖，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，都是等邊三角形，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)（1）求證：；（2）求證：為等邊三角形【答案】 見解析【解析】 （1），是等邊三角形，即在和中，（2），又，在和中，為等腰三角形，又，為等邊三角形例1.2.3 如圖，六邊形ABCDEF的六個(gè)內(nèi)角都相等，若AB=1，BC=CD=3，DE=2，則這個(gè)六邊形的周長等于_【答案】 15 【解析】 如圖，分別作直線AB、CD、EF的延長線和反向延長線使它們交于點(diǎn)G、H、P六邊形ABCDEF的六個(gè)角都是120，六邊形ABCDEF的每一個(gè)外角的度數(shù)都是60AHF、BGC、DPE、GHP都是等邊三角形GC=BC=3，DP=DE=2GH=GP=GC+CD+DP=3+3+2=8，F(xiàn)A=HA=GH-AB-BG=8-1-3=4，EF=PH-HF-EP=8-4-2=2六邊形的周長為1+3+3+2+4+2=15故答案為：15題模三：30的角直角三角形等于斜邊的一邊例1.3.1 如圖，已知中，則下列關(guān)系式正確的為（ ）A B C D 【答案】B【解析】 該題考查的是特殊的直角三角形，為等腰三角形，在中，故選B例1.3.2 如圖，OP平分，于D，交OA于C.若，則_， _.【答案】【解析】 該題考查的是角平分線的性質(zhì)定理和含30直角三角形的性質(zhì)OP平分，過P作于點(diǎn)E，ODBPCAE，OP平分，在中，例1.3.3 如圖，在ABC中，AB=AC，D、E是ABC內(nèi)兩點(diǎn)，AD平分BAC，EBC=E=60，若BE=6cm，DE=2cm，則BC=_【答案】 8cm【解析】 延長ED交BC于M，延長AD交BC于N，作DFBC，AB=AC，AD平分BAC，ANBC，BN=CN，EBC=E=60，BEM為等邊三角形，EFD為等邊三角形，BE=6cm，DE=2cm，DM=4cm，BEM為等邊三角形，EMB=60，ANBC，DNM=90，NDM=30，NM=2cm，BN=4cm，BC=2BN=8cm故答案為：8cm題模四：等邊三角形與全等三角形綜合例1.4.1 已知：如圖，等邊三角形ABD與等邊三角形ACE具有公共頂點(diǎn)A，連接CD，BE，交于點(diǎn)P（1）觀察度量，的度數(shù)為_（直接寫出結(jié)果）（2）若繞點(diǎn)A將ACE旋轉(zhuǎn)，使得，請(qǐng)你畫出變化后的圖形（示意圖）（3）在（2）的條件下，求出的度數(shù)【答案】 （1）120（2）見解析（3）120【解析】 本題考查等邊三角形及全等三角形的性質(zhì)與判定（1）的度數(shù)為120，理由為：證明：ABD與ACE都是等邊三角形，即，在DAC與BAE中，DACBAE（SAS），；（2）作出相應(yīng)的圖形，如圖所示；（3）ABD與ACE都是等邊三角形，即，在DAC與BAE中，DACBAE（SAS），例1.4.2 如圖，是邊長為的等邊三角形，是等腰三角形，且以為頂點(diǎn)作一個(gè)角，使其兩邊分別交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，則的周長為_【答案】 6【解析】 延長到，連接，使，連接為等邊三角形，為等腰三角形，且，又，在和中，例1.4.3 如圖ABC為等邊三角形，直線aAB，D為直線BC上任一動(dòng)點(diǎn)，將一60角的頂點(diǎn)置于點(diǎn)D處，它的一邊始終經(jīng)過點(diǎn)A，另一邊與直線a交于點(diǎn)E（1）若D恰好在BC的中點(diǎn)上（如圖1）求證：ADE是等邊三角形；（2）若D為直線BC上任一點(diǎn)（如圖2），其他條件不變，上述（1）的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說明理由【答案】 見解析【解析】 （1）證明：aAB，且ABC為等邊三角形，ADBC，ABDACE，且，ADE是等邊三角形；（2）在AC上取點(diǎn)F，使，連結(jié)DF，DCF是等邊三角形，ADFEDC（AAS），又，ADE是等邊三角形自我總結(jié) 課后作業(yè)作業(yè)1 如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AC上，且DEAB，過點(diǎn)E作EFDE，交BC的延長線于點(diǎn)F（1）求F的度數(shù)； （2）若CD=2，求DF的長【答案】 （1）30（2）4【解析】 （1）ABC是等邊三角形，B=60，DEAB，EDC=B=60，EFDE，DEF=90，F(xiàn)=90EDC=30；（2）ACB=60，EDC=60，EDC是等邊三角形ED=DC=2，DEF=90，F(xiàn)=30，DF=2DE=4作業(yè)2 如圖所示，、與都是等邊三角形，和分別為和的中點(diǎn)，若時(shí)，則圖形外圍的周長是_【答案】 15【解析】 、與都是等邊三角形，和分別為和的中點(diǎn)，,圖形外圍的周長是作業(yè)3 如圖1，兩個(gè)等邊ABD，CBD的邊長均為1，將ABD沿AC方向向右平移到ABD的位置，得到圖2，則陰影部分的周長為_【答案】 2 【解析】 兩個(gè)等邊ABD，CBD的邊長均為1，將ABD沿AC方向向右平移到ABD的位置，AM=AN=MN，MO=DM=DO，OD=DE=OE，EG=EC=GC，BG=RG=RB，OM+MN+NR+GR+EG+OE=AD+CD=1+1=2；故答案為：2作業(yè)4 如圖所示，已知等邊ABC的邊長為a，P是ABC內(nèi)一點(diǎn)，PDAB，PEBC，PFAC，點(diǎn)D、E、F分別在BC、AC、AB上，猜想：_，并證明你的猜想【答案】 見解析【解析】 理由如下：如圖，延長EP交AB于G，延長FP交BC于H，PEBC，PFAC，ABC是等邊三角形，PFG是等邊三角形，同理可得PDH是等邊三角形，又PDAB，PEBC，四邊形BDPG是平行四邊形，故答案為a作業(yè)5 已知：如圖，是等邊三角形D、E是外兩點(diǎn)，連結(jié)BE交AC于M，連結(jié)AD交CE于N，AD交BE于F，當(dāng)度數(shù)多少時(shí)，是等邊三角形？并證明你的結(jié)論ACMFENDB【答案】 【解析】 該題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，理由如下：ABC是等邊三角形，且，又，在BCE和ACD中，1.BCEACD（SAS），即，ECD是等邊三角形作業(yè)6 在ABC中，將線段BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段BD（1）如圖1，直接寫出的大?。ㄓ煤氖阶颖硎荆?；（2）如圖2，判斷ABE的形狀并加以證明；（3）在（2）的條件下，連結(jié)DE，若，求的值A(chǔ)DBCADBCE【答案】 （1）（2）見解析（3）【解析】 該題考察的是三角形綜合（1），1分（2）ABE是等邊三角形， 2分 連結(jié)AD，CD， BDC是等邊三角形， 3分又， ABDACD， 4分，又， ABDEBC ABE是等邊三角形 5分（3）BDC是等邊三角形， 又，6分， 7分作業(yè)7 將一張矩形紙片ABCD如圖所示折疊，使頂點(diǎn)C落在點(diǎn)已知，則折痕DE的長為（ ）ABECDA 2B C 4D 1【答案】C【解析】 該題考查的是圖形的翻折因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以，由題意可知，所以所以，本題的正確答案是C作業(yè)8 如圖，在等邊ABC中，點(diǎn)P是AB邊上任意一點(diǎn)（點(diǎn)P可以與點(diǎn)A重合），過點(diǎn)P作PEBC，垂足為E，過點(diǎn)E作EFAC，垂足為F，過點(diǎn)F作FQAB，垂足為Q，求當(dāng)BP的長等于多少時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合？【答案】 【解析】 設(shè)，在直角三角形PBE中，則在直角EFC中，同理：當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時(shí)，即，解得故當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合作業(yè)9 如圖，為等邊三角形，AD平分,是等邊三角形，下列結(jié)論中，, ,.正確的個(gè)數(shù)為（ ）A 1B 2C 3D 4【答案】D【解析】 該題考查的是三角形的性質(zhì)ABC為等邊三角形，AD為角平分線，ADE是等邊三角形，在AEF和ADF中，AEFADF（SAS），同理，AEBADB，故正確的個(gè)數(shù)為4個(gè)，故本題答案為D作業(yè)10 如圖，過邊長