bA概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件.ppt

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)目錄,第一章 隨機(jī)事件及其概率 1.1 隨機(jī)事件及其運(yùn)算 1.2 隨機(jī)事件的概率 1.3 條件概率與全概率公式 1.4 隨機(jī)事件的獨(dú)立性 第二章 隨機(jī)變量及其分布 2.1 離散型隨機(jī)變量及其分布律,2.2 隨機(jī)變量的分布函數(shù) 2.3 連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度 2.4 幾種常見(jiàn)的連續(xù)型隨機(jī)變量 2.5 隨機(jī)變量函數(shù)的分布 2.6 二維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布函數(shù) 2.7 二維離散型隨機(jī)變量 2.8 二維連續(xù)型隨機(jī)變量,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)目錄,2.9 隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性 2.10 兩個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的分布 第三章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 3.1 數(shù)學(xué)期望 3.2 方差 3.3 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù) 第四章 大數(shù)定律與中心極限定理,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)目錄,4.1 大數(shù)定律 4.2 中心極限定理 第五章 統(tǒng)計(jì)量及其分布 5.1 總體和隨機(jī)樣本 5.2 統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布 第六章 參數(shù)估計(jì) 6.1 點(diǎn)估計(jì),概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)目錄,6.2 估計(jì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn) 6.3 區(qū)間估計(jì) 6.4 正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì) 第七章 假設(shè)檢驗(yàn) 復(fù) 習(xí),概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)目錄,6,1.1 隨機(jī)事件及其運(yùn)算,1 概率論中一般研究的是隨機(jī)試驗(yàn),以后簡(jiǎn)稱試驗(yàn),用字母E,E1,E2,表示。理解教材P3例子。 2. 基本事件和樣本空間是集合，樣本點(diǎn)是元素。 3. 樣本空間可能會(huì)隨著試驗(yàn)?zāi)康牡牟煌煌?如例2，考慮正面出現(xiàn)的次數(shù)).,Definition 1.1 現(xiàn)象(確定性現(xiàn)象,隨機(jī)現(xiàn)象) 統(tǒng)計(jì)規(guī)律性 試驗(yàn) 隨機(jī)試驗(yàn)： 1. 可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行； 每次實(shí)驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，并且能事先明確實(shí)驗(yàn)的所有可能結(jié)果； 3. 進(jìn)行一次實(shí)驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)。,一、基本概念,Definition 1.2 將隨機(jī)試驗(yàn) E 的每一種結(jié)果稱為該試驗(yàn)的基本事件,其所有可能結(jié)果組成的集合稱為 E 的樣本空間,記為 或U .樣本空間的元素,即 E 的每個(gè)結(jié)果,稱為樣本點(diǎn),記為 或e .,7,1 事件中的樣本點(diǎn)一般是滿足某種條件的人們常關(guān)心的某些樣本點(diǎn)。 2. 理解事件發(fā)生與否的意義：隨機(jī)事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)它所包含的一個(gè)樣本點(diǎn)在試驗(yàn)中出現(xiàn)。 3. 注意應(yīng)用事件發(fā)生與否來(lái)理解事件間的關(guān)系和運(yùn)算結(jié)果。 4. A B C? 5. 牢記差事件的幾種等價(jià)形式。,Definition 1.3 樣本空間的子集稱為隨機(jī)事件(簡(jiǎn)稱事件).常用大寫(xiě)字母A,B,C,D表示。 注意理解下述概念的區(qū)別： 隨機(jī)事件 : 樣本空間的子集； 基本事件 : 由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集； 必然事件 : 樣本空間 本身； 不可能事件 : 空集。,1.包含：AB(B發(fā)生則A發(fā)生) 2.相等：A=B(B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A發(fā)生) 3.和(并)事件：AB(A、B至少發(fā)生一個(gè)) 4.積(交)事件：AB(A、B都發(fā)生) 5.差事件：A-B=A-AB=AB 6.互斥事件：AB= 7.對(duì)立事件：AB=,AB=,此時(shí)A=B,B=A. 8.完備事件組：樣本空間的一個(gè)劃分。,二、隨機(jī)事件間的關(guān)系,8,1 運(yùn)算律的作用是化為需要的形式。 2. 對(duì)偶律的作用是交并互轉(zhuǎn)。,1.交換律：AB=BA,AB=BA 2.結(jié)合律：A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C 3.分配律：A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC),三、隨機(jī)事件間的運(yùn)算,4.對(duì)偶律：,Example 1.1 有一個(gè)問(wèn)題,甲先答,若甲答錯(cuò),由乙答,若記事件A=甲答對(duì),事件B=乙答對(duì),求此問(wèn)題最終由乙答出的表示法.,Example 1.2 教材P10例6.,Example 1.3 教材P10例7.,9,1.2 隨機(jī)事件的概率,頻率性質(zhì)：非負(fù)性、規(guī)范性、可加性。 2. 頻率具有“穩(wěn)定性”，即第一節(jié)所講的 “統(tǒng)計(jì)規(guī)律性”，見(jiàn)教材P15。 3. 概率的統(tǒng)計(jì)定義可以幫助理解概率，但利用這個(gè)定義求解具體問(wèn)題的概率比較困難。 4. 概率也有相應(yīng)的3條性質(zhì)。,一、概率的統(tǒng)計(jì)定義,Definition 1.4 在相同的條件下,進(jìn)行了n 次試驗(yàn), 在這 n 次試驗(yàn)中,事件A發(fā)生的次數(shù) nA稱為事件 A 發(fā)生的頻數(shù).比值 nA /n 稱為事件A 發(fā)生的頻率,并記成 fn(A) .,Definition 1.5 設(shè)隨機(jī)事件E的重復(fù)次數(shù)n充分大時(shí),事件A發(fā)生的頻率fn(A)總在區(qū)間0，1上的一個(gè)確定的常數(shù)p附近作微小擺動(dòng),并逐漸穩(wěn)定于p,則稱常數(shù)p是事件A 發(fā)生的概率,記為P(A).,10,1.計(jì)算時(shí)一定要認(rèn)清試驗(yàn)結(jié)果(基本事件)是等可能性的本質(zhì).例：擲二枚骰子,求事件A為出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和等于3的概率。 2. 一般來(lái)說(shuō)求分母相對(duì)簡(jiǎn)單,但分子在特定要求下較繁瑣. 3.為了以后計(jì)算的方便我們首先復(fù)習(xí)：排列與組合的基本概念。,Definition 1.6 若試驗(yàn)具有下列兩個(gè)特征： 樣本空間的元素只有有限個(gè)； 每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相同. 則稱此試驗(yàn)為古典概型試驗(yàn)(等可能概型) 。,二、概率的古典定義,乘法原理:設(shè)完成一件事需分兩步,第一步有n1種方法,第二步有n2種方法,則完成這件事共有n1n2種方法.,Definition 1.7 設(shè)古典概型試驗(yàn)E的樣本空間中包含n個(gè)樣本點(diǎn)，隨機(jī)事件A中包含m個(gè)樣本點(diǎn)，則事件A發(fā)生的概率 P(A)=m/n.,從n個(gè)中抽取k個(gè)的排列組合公式: 排列:Pkn=Akn(無(wú)重復(fù)) ,nk(有重復(fù)); 組合:Ckn,11,1.牽涉到排列組合的概率問(wèn)題一般都是古典概型，可按定義求解概率。 2. 抽簽原理：抽到簽與抽簽的次序無(wú)關(guān)。 3.此模型稱為超幾何分布。,Example 1.5 一口袋裝有 a 只白球,b 只紅球,求無(wú)放回取球中第k次取出的是白球的概率.,模型一：隨機(jī)取球模型,Example 1.4 一口袋有外型相同的10個(gè)球，4個(gè)白球，6個(gè)紅球,現(xiàn)從中任取3個(gè)，試求： 取出的3個(gè)球都是紅球的概率； 取出的3個(gè)球中恰有一個(gè)是白球的概率。,Example 1.6 設(shè)有 N 件產(chǎn)品,其中有 M 件次品,今從中任取 n 件,問(wèn)其中恰有 k ( k M ) 件次品的概率是多少(不放回抽樣)?,12,Example 1.7 將 n 只球隨機(jī)的放入 N (N n) 個(gè)盒子中去,求每個(gè)盒子至多有一球的概率(設(shè)盒子容量不限）(P22，例6).,Example 1.8 將 15 名新生隨機(jī)地平均分配到 3 個(gè)班中去,這15 名新生中有 3 名是優(yōu)秀生.問(wèn): (1) 每個(gè)班各分配到一 名優(yōu)秀生的概率是多少? (2) 3 名優(yōu)秀生分配到同一個(gè)班級(jí)的概率是多少?,模型二：分房問(wèn)題,1.生日問(wèn)題：n個(gè)人的班級(jí)里沒(méi)有兩人生日相同的概率是多少？,13,1. 測(cè)度可能是長(zhǎng)度、面積、體積，甚至是質(zhì)量。,Definition 1.8 若試驗(yàn)具有下列兩個(gè)特征： 樣本空間的元素有無(wú)限個(gè)； 每個(gè)樣本點(diǎn)的發(fā)生具有某種等可能性. 則稱此試驗(yàn)為幾何概型試驗(yàn)。,三、概率的幾何定義,Definition 1.9 設(shè)試驗(yàn)的每個(gè)樣本點(diǎn)是等可能落入?yún)^(qū)域上的隨機(jī)點(diǎn)M ，且D ( ) ，則M點(diǎn)落入子區(qū)域D(事件A)上的概率為: P(A)=m(D)/m(). 其中m()為自然測(cè)度.,14,Example 1.10 (會(huì)面問(wèn)題)甲、乙二人約定在點(diǎn)到點(diǎn)之間在某地會(huì)面,先到者等30分鐘后即離去，設(shè)二人在這段時(shí)間內(nèi)的各時(shí)刻到達(dá)是等可能的,且二人互不影響.求二人能會(huì)面的概率.,Example 1.9 (對(duì)表問(wèn)題).小明的表停了，他打開(kāi)收音機(jī)，想聽(tīng)電臺(tái)定點(diǎn)報(bào)時(shí)，求等待時(shí)間不超過(guò)10分鐘的概率.,1.一維情形：測(cè)度是長(zhǎng)度。 2.二維情形：測(cè)度是面積。,15,1. 這3條公理是基礎(chǔ)，應(yīng)用最多的是由此推出的性質(zhì)。,四、概率的公理化定義,Definition 1.10 設(shè) 是給定試驗(yàn)E的樣本空間,對(duì)于任一事件 A 賦予一個(gè)實(shí)數(shù)P(A),若P(A)滿足 非負(fù)性：0 P(A) 1； 規(guī)范性：P() =1； 可列可加性：當(dāng)事件A1,A2, ,An兩兩互斥時(shí) P(A1+A2+An+) = P(An) 則稱P(A)為事件A的概率。,16,2. 還可以考慮n個(gè)事件的情形，見(jiàn)教材P30。,概率的性質(zhì)：,1. P() =0; 2. 若A1, A2 , An兩兩互斥，則 P(A1+A2+An) = P(An) 3. P(A) = 1P(A) 4. 若AB,則P(A B) = P(A) P(B) 5. P(AB) = P(A)+P(B) P(AB) 推廣: P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C) P(AB) P(AB) P(AB)+P(ABC),17,Example 1.11 設(shè)在12件產(chǎn)品中有3件次品，現(xiàn) 從中隨機(jī)抽取5件，試求： 取出的5件產(chǎn)品中至少有一件次品的概率； 取出的5件產(chǎn)品中至多有一件次品的概率。,Example 1.12 在 1099 的整數(shù)中隨機(jī)的取一個(gè)數(shù)，問(wèn)取到的整數(shù)能被 2 或 3 整除的概率是多少？,18,1.3 條件概率與全概率公式,1. 條件概率等同于樣本空間縮小后求解的概率。,一、條件概率,Example 1.12 設(shè)箱內(nèi)有100件電子元件，其中有甲廠生產(chǎn)的正品30件，次品5件，乙廠生產(chǎn)的正品50件，次品15件?，F(xiàn)從箱內(nèi)任取一件產(chǎn)品，設(shè)A=取到甲廠的產(chǎn)品，B=取到次品，試求： 取到甲廠的產(chǎn)品且為次品的概率； 已知取到甲廠的產(chǎn)品下，取到次品的概率。,19,2. 條件概率仍是一種概率，具有概率的一般結(jié)論(3條公理,5條性質(zhì))。 3. 求條件概率的典型語(yǔ)句形式：將條件語(yǔ)句(若,且,已知)刪去,仍然是一個(gè)完整的概率問(wèn)題.,一、條件概率,Definition 1.11 在E的樣本空間上有兩事件A,B,且P(A)0,則稱 P(B|A)=P(AB)/P(A) 為已知事件A 發(fā)生條件下,事件B發(fā)生的條件概率.,Example 1.13 某燈泡按設(shè)計(jì)要求使用壽命超過(guò)10年的概率為0.8，超過(guò)15年的概率為0.5，試求該燈泡在使用10年之后，將在5年內(nèi)損壞的概率是多少？,20,乘法公式不僅僅是條件概率定義的簡(jiǎn)單變形,它還給出了求交集概率的另一種求法。 2.注意Example 1.14 將并集轉(zhuǎn)交集的方法：對(duì)偶公式。,若P(A)0，則P(AB)=P(A)P(B|A) 若P(B)0，則P(AB)= P(B)P(A|B) 稱上式為概率的乘法公式。,推廣到多個(gè)事件：當(dāng)P(A1A2An-1)0時(shí)， P(A1A2 An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) P(An|A1A2An-1),二、乘法公式,Example 1.14 小明忘記電話號(hào)碼的最后一個(gè)數(shù)字，因而任意地按最后一個(gè)數(shù)，試求： 不超過(guò)三次能打通電話的概率； 若已知最后一個(gè)是偶數(shù)，則不超過(guò)三次能打通電話的概率。,21, 運(yùn)用全概公式的關(guān)鍵：找到樣本空間的一個(gè)恰當(dāng)劃分。 2.當(dāng)已知試驗(yàn)結(jié)果并且要推測(cè)“原因”時(shí)，一般使用逆概公式。,三、全概率公式與貝葉斯公式,Theorem 1.1 設(shè)E的樣本空間為，事件A1A2 An為的一個(gè)劃分，且P(Ai)0,(i=1,2,n)，則對(duì)任一事件B，有：,全概率公式:,貝葉斯公式: （逆概公式）,Example 1.15 一商店銷售的某公司三個(gè)分廠生產(chǎn)的同型號(hào)空調(diào)，而這三個(gè)分廠的空調(diào)比例為3:1:2，它們的不合格率依次為0.01，0.12，0.05。某人從這批空調(diào)中任選一臺(tái)，試求： 此人購(gòu)得不合格空調(diào)的概率； 若已知購(gòu)到不合格空調(diào)，則這空調(diào)是哪個(gè)分廠生產(chǎn)的可能性較大？,22,Example 1.16（肺結(jié)核確診率問(wèn)題） 假設(shè)患肺結(jié)核的人通過(guò)接受胸部透視，被診斷出的概率為0.95；而未患肺結(jié)核的人通過(guò)接受胸部透視，被診斷出的概率為0.002.又設(shè)某城市成年居民患肺結(jié)核的概率為0.1%，若從中任選一人，通過(guò)透視被診斷為肺結(jié)核，則此人確實(shí)患有肺結(jié)核的概率為多少？,23,1.4 隨機(jī)事件的獨(dú)立性,1. 獨(dú)立可直觀解釋為：A發(fā)生對(duì)B無(wú)影響.類似, A不發(fā)生對(duì)B也無(wú)影響,即若P(A)0, P(B|A)=P(B)。 2.注意獨(dú)立、互斥、對(duì)立概念的區(qū)別。,一、事件的相互獨(dú)立性,Definition 1.13 對(duì)于事件A,B,若P(AB)=P(A)P(B) 則稱事件A ,B相互獨(dú)立.,Theorem 1.2 設(shè)P(A)0,則A、B相互獨(dú)立的充要條件是 P(B|A)=P(B)., 兩個(gè)事件相互獨(dú)立的定義,問(wèn)題：設(shè)袋中有外型相同的6個(gè)紅球，4個(gè)白球，現(xiàn)有放回地抽取兩次，每次抽取一個(gè)。A=第一次取到白球， B=第二次取到白球，求P(A)， P(B)， P(AB)， P(B|A)。,24,3. 用定義判斷獨(dú)立性常用在理論推導(dǎo)和證明，而在實(shí)際問(wèn)題中，往往根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義來(lái)判斷獨(dú)立性。,Theorem 1.3 下列命題等價(jià)(獨(dú)立性性質(zhì)) (1)A與B相互獨(dú)立; (2)A與B相互獨(dú)立； (3)A與B相互獨(dú)立;(4)A與B相互獨(dú)立。,Example 1.17 設(shè)甲乙兩個(gè)射手，他們每次射擊命中目標(biāo)的概率分別為0.8，0.7?，F(xiàn)兩人同時(shí)向一目標(biāo)射擊一次，試求 ： (1)目標(biāo)被命中的概率； (2)若已知目標(biāo)被命中，則它是甲命中的概率是多少？,25,Definition 1.14 對(duì)于事件A,B,C，若下面四個(gè)式子都成立 P(AB)=P(A)P(B) , P(BC)=P(B)P(C), P(AC)=P(A) P(C), P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 則稱事件A ,B,C相互獨(dú)立., 三個(gè)事件相互獨(dú)立的定義, n個(gè)事件相互獨(dú)立的定義,Definition 1.15 設(shè)有n個(gè)事件A1,A2,An, k為任意整數(shù),且1k n,若恒有 P(Ai1Ai2 Aik)=P(Ai1)P(Ai2)P(Aik) 成立,則稱n個(gè)事件A1,A2,An相互獨(dú)立.,1. 獨(dú)立條件下,能把積事件的概率化為概率的積。 2.一共有2n-n-1個(gè)表達(dá)式,必須同時(shí)成立,思考P53.4 。 3. n個(gè)事件兩兩獨(dú)立與n個(gè)事件相互獨(dú)立的區(qū)別。,26,1. 對(duì) n個(gè)事件， Th 1.3仍成立，只需將其中任意s個(gè)事件換成它們的對(duì)立事件即可。,Theorem 1.4 設(shè)n個(gè)事件A1,A2,An相互獨(dú)立， k, s為任意整數(shù),且1k s n,則 P(Ai1AikAi(k+1) Ais) =P(Ai1)P(Aik)P(Ai(k+1)P(Ais),Example 1.20 設(shè)三門高炮一齊向一架敵機(jī)各發(fā)一炮,其命中率分別為15,20,25.試求： (1)恰有一門炮命中敵機(jī)的概率； (2)至少有一門炮命中敵機(jī)的概率.,Example 1.21 （系統(tǒng)的可靠性問(wèn)題）P48.例4.,27,1.這里“重復(fù)”是指每次試驗(yàn)中事件 A 發(fā)生的概率(即每次試驗(yàn)中“成功”的概率)不變。 2. 對(duì)伯努利概型，關(guān)心的是n次試驗(yàn)中， A發(fā)生的次數(shù)。,二、伯努利概型(Bernoulli)與二項(xiàng)概率公式,Def 1.15 如果隨機(jī)試驗(yàn)E只有兩個(gè)結(jié)果A 與A,則稱E為Bernoulli試驗(yàn). 若獨(dú)立、重復(fù)地進(jìn)行n次Bernoulli試驗(yàn), 則稱該試驗(yàn)為n重Bernoulli 試驗(yàn).,Theorem 1.6 （二項(xiàng)概率公式） 在n重Bernoulli 試驗(yàn)中,設(shè)事件A發(fā)生的概率為p,則事件A 恰好發(fā)生k次的概率為 Pn(k)=Cknpk(1- p)n-k,k=0,1,2,n.,Example 1.23 某射手每射一發(fā)子彈的命中率均為p，現(xiàn)對(duì)同一目標(biāo)重復(fù)射擊3發(fā)子彈，求：恰有2發(fā)命中的概率。,28,Example 1.24 某車間有5臺(tái)同型號(hào)的縫紉機(jī)，每臺(tái)機(jī)由于種種原因時(shí)常需停機(jī)，設(shè)各機(jī)停車或開(kāi)車相互獨(dú)立，且停車概率為0.3，求任何時(shí)刻： 恰有一臺(tái)機(jī)處于停機(jī)狀態(tài)的概率； 至少有一臺(tái)機(jī)處于停機(jī)狀態(tài)的概率； 至多有一臺(tái)機(jī)處于停機(jī)狀態(tài)的概率。,Example 1.25 設(shè)有批量很大的一批產(chǎn)品，次品率為0.005，現(xiàn)抽取100件。試求取出的100件產(chǎn)品中至少有10件次品的概率。,1.當(dāng)產(chǎn)品數(shù)很大，抽樣數(shù)相對(duì)較小時(shí)，無(wú)放回抽樣近似可看作有放回抽樣。,29,2.1 離散型隨機(jī)變量及其分布律,1.隨機(jī)變量的取值伴隨一定的概率.是隨機(jī)變量與普通函數(shù)的本質(zhì)區(qū)別。 2. 隨機(jī)變量常用大寫(xiě)英文字母X,Y,Z或希臘字母表示。隨機(jī)變量的具體取值用小寫(xiě)字母x,y,z表示。 3. 隨機(jī)變量的取值可以是有限的,可列的,或不可列的。,一、隨機(jī)變量的定義,Example 2.1 袋中有3只黑球,2只白球,從中任意取出3只球,觀察取出的3只球中的黑球的個(gè)數(shù).將黑球的個(gè)數(shù)記為X,則X是變量,且取值是隨機(jī)的.,Definition 2.1 設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E 的樣本空間=, 若對(duì)于每一個(gè)樣本點(diǎn) ， 都由唯一確定的實(shí)數(shù) X ( )與之相對(duì)應(yīng)，則稱X ( )是一個(gè)隨機(jī)變量，簡(jiǎn)記為X。,無(wú)論隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果是否直接表現(xiàn)為數(shù)量，我們總是可以使其數(shù)量化，使隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果對(duì)應(yīng)于一個(gè)數(shù)，從而引入隨機(jī)變量的概念。如擲一枚硬幣，規(guī)定正面對(duì)應(yīng)于1，反面對(duì)應(yīng)于0。,引入隨機(jī)變量后，隨機(jī)試驗(yàn)中出現(xiàn)的各個(gè)事件，就可通過(guò)隨機(jī)變量的關(guān)系式表達(dá)出來(lái)了。,30,1. 離散型隨機(jī)變量的概率問(wèn)題由其取值及其每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率決定。 2. 分布律也可以表現(xiàn)為表格形式。,二、離散型隨機(jī)變量及其分布律,Definition 2.2 如果隨機(jī)變量的取值為有限個(gè)或可列個(gè),則稱它是離散型隨機(jī)變量.,Definition 2.3 設(shè)離散型隨機(jī)變量 X 的所有可能取值為x1, x2 , , xi , ，對(duì)應(yīng)的概率為 pi=P(X=xi) (i=1,2,) 則稱其為離散型隨機(jī)變量X的概率分布律,簡(jiǎn)稱為分布律。,分布律的性質(zhì)：(1) pi0, (i=1,2,),(2) pi=1.,31,3. 注意這個(gè)題型,涉及性質(zhì)的應(yīng)用.,Example 2.2 袋中有4個(gè)紅球，1個(gè)白球。從中隨機(jī)抽取兩次，每次取一個(gè)，令X=取出的白球數(shù)。試求 X 的分布律： (1)有放回； (2)無(wú)放回。,Example 2.3 設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布律為： P(X=n)=c/4n (n=1,2,),求常數(shù)c.,32,1. 兩點(diǎn)分布的背景:伯努利試驗(yàn)。 2. 二項(xiàng)分布的背景：n重伯努利試驗(yàn)。 3.超幾何分布的背景：無(wú)放回抽樣檢查。 4.當(dāng)N10n時(shí)： 超幾何分布二項(xiàng)分布。 5.當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí)，稀有事件A發(fā)生的次數(shù)可以近似用泊松分布來(lái)描述，而=np為n次中A發(fā)生的平均次數(shù)。,1.兩點(diǎn)分布:,三、常用的離散型隨機(jī)變量,Example 2.4 一張考卷上有5道選擇題,每道題列出4個(gè)可能答案,其中只有一個(gè)答案是正確的。某學(xué)生靠猜測(cè)至少能答對(duì)4道題的概率是多少?,3.超幾何分布:,4.泊松分布：,Example 2.5 設(shè)隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為的泊松分布,且已知P(X=1)=P(X=2),試求P(X=4).,P(X=k)=ke-/k!,(k=0,1,),記作P(),P(X=k)=CkMCn-kN-M/CnN,(k=0,1,n),P(X=k)=Cknpk(1-p)n-k,(k=0,1,n) 記作B(n,p),P(X=k)=pk(1-p)1-k,(k=0,1) ,記作B(1,p),2.二項(xiàng)分布:,33,1.當(dāng)n10, p0.1, np5時(shí)：二項(xiàng)分布泊松分布。,Example 2.6 設(shè)有若干臺(tái)同型車床，各臺(tái)工作是相互獨(dú)立的,發(fā)生故障的概率都是 0.01。在通常情況下,一臺(tái)設(shè)備的故障可由一人維修，若由3人負(fù)責(zé)維修80臺(tái)車床，求出當(dāng)車床發(fā)生故障時(shí)，需要等待維修的概率。,Example 2.7（壽命保險(xiǎn)問(wèn)題）在某保險(xiǎn)公司，有2500個(gè)同一年齡，同一階層的人參加了人壽保險(xiǎn)。設(shè)在一年里每人死亡的概率為0.002，每個(gè)參加保險(xiǎn)的人在1月1日付12元保險(xiǎn)費(fèi)，而在死亡時(shí)家屬可從公司領(lǐng)2000元。問(wèn)： (1)保險(xiǎn)公司虧本的概率是多少？ (2)5年中有2年虧本的概率是多少？ (3)保險(xiǎn)公司獲利不少于10000元的概率是多少？,34,2.2 隨機(jī)變量的分布函數(shù),1. 取值為不可列個(gè)情形的隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律無(wú)法用第一節(jié)概念表達(dá),需引進(jìn)新的概念。 2. 注意分布律和分布函數(shù)的互轉(zhuǎn)方法.,一、分布函數(shù)的概念,Definition 2.4 設(shè) X 是一個(gè)隨機(jī)變量，x 是任意實(shí)數(shù),函數(shù) F(x)= P(Xx) 稱為 X 的分布函數(shù)，也記作FX(x).,Example 2.8 設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布律為：,-1 2 3,(1)求 X 的分布函數(shù)并畫(huà)圖；,(2)求 p(X0) ， p(-1X3/2),35,1. 分布函數(shù)能表達(dá)所有類型隨機(jī)變量的概率問(wèn)題. 2. 注意這個(gè)題型,涉及性質(zhì)的應(yīng)用。,二、分布函數(shù)的性質(zhì),1. 0F(x)1;,Example 2.10 見(jiàn)教材P71.A.3,Example 2.9 見(jiàn)教材P70.A.1,2. F()=0,F(+)=1 ;,3. F(x)是單調(diào)不減的;,4. F(x)是右連續(xù)的.,36,2.3 連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度,1.從定義還可看出此時(shí)的分布函數(shù)是連續(xù)的。 2.求解連續(xù)型隨機(jī)變量的概率問(wèn)題只需做到兩步： 明了密度形式， 會(huì)求解積分。,一、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度,Definition 2.5 如果對(duì)于隨機(jī)變量X 的分布函數(shù)F(x),存在非負(fù)的實(shí)值函數(shù) f (x),使得對(duì)于任意實(shí)數(shù) xR,有,則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量， f (x)為X的概率分布密度函數(shù),簡(jiǎn)稱為概率密度或密度。,引例：設(shè)隨機(jī)變量X在0,1上取值，且對(duì)于 任意a0,1，概率p(0Xa)與a2成 正比。試求X的分布函數(shù)F(x) 。,37,1. 對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量： 概率密度是分布函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分布函數(shù)是概率密度的一個(gè)原函數(shù)。 2.概率P與f(x)成正比，但f(x)本身并不表示概率。 3.性質(zhì)5的后式在f(x)的連續(xù)點(diǎn)處一定成立,在不連續(xù)點(diǎn)處的取值因不影響積分值, 故可以任意給定,見(jiàn)P76.例2.,二、密度函數(shù)的性質(zhì),f (x),1,38,1. 求連續(xù)型隨機(jī)變量在某區(qū)間上的概率,可不考慮區(qū)間的端點(diǎn)。 2. 考查分段函數(shù)積分的計(jì)算.,三、連續(xù)型隨機(jī)變量的性質(zhì),若X為連續(xù)型隨機(jī)變量, C為任意常數(shù),則 P(X=C)= F(C) F(C0) = 0,Example 2.11 設(shè) X 是連續(xù)型隨機(jī)變量, 密度為,Example 2.12 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度為,試求X的分布函數(shù)。,39,四、離散型與連續(xù)型隨機(jī)變量的比較,40,2.4 幾種常見(jiàn)的連續(xù)型隨機(jī)變量,1. 若X服從 (a，b)區(qū)間上的均勻分布，則X出現(xiàn)在 (a，b)區(qū)間內(nèi)的概率為1。 2.均勻分布隨機(jī)變量X落入(a，b)子區(qū)間上的概率和子區(qū)間的位置無(wú)關(guān)，僅與子區(qū)間長(zhǎng)度成正比。 3. 應(yīng)用：數(shù)值計(jì)算中，研究四舍五入引起的誤差。,Definition 2.6 若隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù)為,則稱隨機(jī)變量 X 服從區(qū)間(a，b)上的均勻分布.記作 X U (a，b)。,性質(zhì)：(1) P(Xa)=P(Xb)=0.,41,1. 可利用簡(jiǎn)捷的方式計(jì)算概率。,Example 2.14 設(shè)公共汽車站從上午7時(shí)起每隔15分鐘來(lái)一班車,如果某乘客到達(dá)此站的時(shí)間是 7:00 到7:30之間的均勻隨機(jī)變量試求該乘客候車時(shí)間不超過(guò)5分鐘的概率。,Example 2.15 設(shè)隨機(jī)變量服從區(qū)間(-3，6)上的均勻分布,試求方程 4x2+4x+2=0 有實(shí)根的概率,42,1. 指數(shù)分布又稱為“永遠(yuǎn)青年”的分布。 2.性質(zhì)4稱為“無(wú)記憶性”。 3. 應(yīng)用：描述衰老作用不明顯的壽命分布； 1/為壽命X的平均值。,Definition 2.7 若隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù)為,則稱隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為的指數(shù)分布(0).記作 X E ().,性質(zhì)：,43,Example 2.15 某電子元件的壽命X(小時(shí))滿足 X E (1/100)。求5個(gè)同類型的元件在使用的前150小時(shí)內(nèi)恰有2個(gè)需要更換的概率。,44,1.密度函數(shù)的特征：關(guān)于x=對(duì)稱; 的大小反映峰值的大小, 愈小峰值愈大,隨機(jī)變量的取值就愈集中.,定義2.8 若隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù)為,則稱 X 服從參數(shù)為(，2)的正態(tài)分布, 記作 X N ( , 2).,若=0，2=1,則稱N(0，1)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：,45,1. 應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形特征容易說(shuō)明相關(guān)結(jié)論。 2. 定理的證明思想和下一節(jié)內(nèi)容息息相關(guān),要掌握。,正態(tài)分布的概率計(jì)算：,(4)P(|X| a) =2(1 (a).,定理 2.1 (一般正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化),(2)P(X a) =( a)=1 (a)；,(3)P(|X| a) =2(a) 1；, 設(shè)XN(0，1)，a0，則： (1)P(X a) =(a)；,46,1. 企業(yè)管理中，經(jīng)常應(yīng)用3-規(guī)則進(jìn)行質(zhì)量檢查。 2. 這個(gè)定義將在第六章經(jīng)常用到。, 設(shè)XN(，2)，則,設(shè)XN(,2), 則 P(-3X+3) =,3-規(guī)則：,0.9973,47,例 2.17 公共汽車車門的高度是按男子與車門頂頭碰頭機(jī)會(huì)在0.01以下來(lái)設(shè)計(jì)的。設(shè)男子身高XN(170,62),問(wèn)車門高度應(yīng)如何確定?,1.正態(tài)分布的重要性： 大量的隨機(jī)現(xiàn)象服從或近似服從正態(tài)分布； 當(dāng)一個(gè)量可以看成由許多微小的獨(dú)立的隨機(jī)因素作用的總后果，這個(gè)量都服從或近似服從正態(tài)分布。,48,2.5 隨機(jī)變量函數(shù)的分布,1. 離散型隨機(jī)變量的函數(shù)仍然為離散型隨機(jī)變量，其分布常表現(xiàn)為分布律形式。,一、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布,例 2.18 設(shè)隨機(jī)變量 X 具有以下的分布律，,試求:(1) Y1=2X+1，(2)Y2 = X2 的分布律.,若X的分布律為：,則,49,1. 若X連續(xù)，則一般Y=g(X) 也連續(xù). 2.分布函數(shù)法： 先求Y的分布函數(shù),然后求導(dǎo)。 3. 掌握變上下限積分求導(dǎo)公式。,二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布,分布函數(shù)法：,特別：,50,公式法：,1. 要注意公式法的條件。,51,例 2.21 P95 A.4,定理 2.2 設(shè) XN(, 2)， Y=aX+b (a0)，則： YN(a+b, a22 ) 。,52,2.6 二維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布函數(shù),1. (X, Y) 應(yīng)看成一個(gè)整體,它的二個(gè)分量是有內(nèi)在聯(lián)系的。 2. 從幾何上可以將(X, Y) 看成二維平面上的一個(gè)隨機(jī)點(diǎn)。,一、二維隨機(jī)變量的概念,定義 2.10 設(shè) = 是某一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間，X=X()和Y=Y()是定義在上的隨機(jī)變量。稱有序二元總體 (X, Y) 為一個(gè)二維隨機(jī)變量(或二維隨機(jī)向量)，并稱X和Y是二維隨機(jī)變量 (X, Y)的兩個(gè)分量。,舉例:(1)某地區(qū)學(xué)齡兒童的身體發(fā)育狀況： 需采集身高X和體重Y的分布組成二維隨機(jī)變量(X, Y);,(2) 向一平面靶射箭： 擊中點(diǎn)需用二維隨機(jī)變量(X, Y)來(lái)刻畫(huà)。,53,1. F(x,y)在點(diǎn)(x,y)處的函數(shù)值就是隨機(jī)點(diǎn)(X,Y)落在以(x,y)為頂點(diǎn), 位于該點(diǎn)左下方的無(wú)窮矩形域內(nèi)的概率 。,定義 2.11 設(shè)(X, Y)是一個(gè)二維隨機(jī)變量,對(duì)于任意一對(duì)實(shí)數(shù)(x, y), 稱 F(x,y)=P(Xx,Yy)=P(Xx)(Yy) 為(X, Y)的聯(lián)合分布函數(shù), 簡(jiǎn)稱為分布函數(shù).,一個(gè)重要的公式：,二、聯(lián)合分布函數(shù)的定義與意義,54,1.若某二元函數(shù)具有這四條性質(zhì),則它必是某二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)，并且這四條性質(zhì)缺一不可. 2.性質(zhì)4還給出了由聯(lián)合分布求分量分布的表達(dá)式。 3.聯(lián)合分布包含更多的信息,由聯(lián)合分布可以求出邊緣分布, 由邊緣分布一般無(wú)法求出聯(lián)合分布.,三、聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì),(2) F (x,y )是變量 x或y 的單調(diào)不減右連續(xù)函數(shù)；,-X的邊緣分布函數(shù),-Y的邊緣分布函數(shù),55,例 2.23 P99.1,例2.22 問(wèn)二元函數(shù) 是否可作為某二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)？,56,2.7 二維離散型隨機(jī)變量,一、二維離散型隨機(jī)變量及聯(lián)合分布律,定義 2.12 如果二維隨機(jī)變量(X, Y)可能取的值只有有限個(gè)或可列個(gè)，則稱(X, Y)為二維離散型隨機(jī)變量。,定義 2.13 設(shè)二維離散型隨機(jī)變量(X, Y)所有可能取的值為(xi, yj) ， (i=1,2, j=1,2,) 則稱 PX =xi,Y =yj=pij, (i, j=1,2,) 為(X, Y)的聯(lián)合分布律，或稱為(X, Y)的分布律。,57,二維離散型隨機(jī)變量(X, Y) 分布律也可表為：,聯(lián)合分布律的性質(zhì)：,58,例 2.23 一個(gè)口袋中有外型相同的2紅、4白6個(gè)球,從袋中不放回地抽取兩次球，每次取一個(gè). 設(shè)X=第一次取得白球的個(gè)數(shù), Y=第二次取得白球的個(gè)數(shù), 試求： (X, Y)的分布律；F(0.5，1)；P(XY).,59,1. 試求例2.23中X,Y 的邊緣分布律.,二、邊緣分布律,定義 2.14 設(shè) (X, Y)是二維離散型隨機(jī)變量， X的分布律：,Y的分布律：,稱為(X, Y)關(guān)于X的邊緣分布律；,稱為(X, Y)關(guān)于Y的邊緣分布律。,60,1. 條件分布律仍然是分布律,和一般分布律相比,在形式上多了一個(gè)條件. 它滿足性質(zhì)：,三、條件分布律,定義 2.15 設(shè) (X, Y)是二維離散型隨機(jī)變量，對(duì)于固定的 j ，若PY= yj0， 則Y= yj已發(fā)生的條件下，X= xi發(fā)生的概率：PX=xi|Y=yj=pij/pj (i=1,2,),稱為在Y= yj下X的條件分布律；,類似，若PX= xi0，則稱 PY=yj|X=xi=pij/pi (j=1,2,)為在X= xi下Y的條件分布律。,例2.24 p104,A.1,61,2.8 二維連續(xù)型隨機(jī)變量,1. 和一維情形一樣,要求：明了密度的形式會(huì)求解積分。 2. 從定義可看出此時(shí)的分布函數(shù)關(guān)于x或y均是連續(xù)的。 3. 幾何上 z = f (x,y)表示空間的一個(gè)曲面, P(X,Y)G 表示以 G 為底,以曲面z = f (x,y)為頂?shù)那斨w的體積。,一、聯(lián)合概率密度,定義 2.16 設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y) 的分布函數(shù)為F(x,y),如果存在非負(fù)實(shí)值函數(shù) f (x,y),使得對(duì)于任意實(shí)數(shù) x,yR,有,則稱(X,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，f(x,y)為(X,Y)的聯(lián)合概率密度，簡(jiǎn)稱為概率密度或密度。,62,1.性質(zhì)給出了二維連續(xù)型隨機(jī)變量問(wèn)題一般和二重積分有關(guān),要熟練求解二重積分.,二、密度函數(shù)的性質(zhì),63,例 2.25 設(shè)二維隨機(jī)變量 (X, Y) 的密度為,例 2.26 設(shè)二維隨機(jī)變量 (X, Y) 的密度為,1,64,1.聯(lián)合分布包含更多的信息,由聯(lián)合分布可以求出邊緣分布,但由邊緣分布一般無(wú)法求出聯(lián)合分布. 2. 注意求解積分,二維情形最好畫(huà)出草圖。,三、邊緣概率密度,例 2.27 設(shè)二維隨機(jī)變量 (X, Y) 的密度為,試求兩個(gè)邊緣概率密度。,65,1.條件密度仍然是密度,和一般密度函數(shù)相比,在形式上多了一個(gè)條件。,四、條件概率密度,定義 2.17 設(shè) (X, Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量,對(duì)于固定的 y , 若fY(y)0, 則稱 f(x|y)= fX|Y (x|y)= f(x,y)/fY(y) 為在Y= y下X的條件概率密度； 類似,對(duì)于固定的 x , 若fX(x)0, 則稱 f(y|x)= fY|X (y|x)= f(x,y)/fX(x) 為在X= x下Y的條件概率密度.,條件概率密度的性質(zhì):,66,定義 2.18 設(shè) (X, Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量,對(duì)于固定的 y , 若fY(y)0, 則稱,為在Y= y下X的條件分布函數(shù)； 類似,對(duì)于固定的 x , 若fX(x)0, 則稱,為在X= x下Y的條件分布函數(shù).,1. 利用條件密度可以求解形如PXx|Y=y的概率,但要注意形如PXx|Yy的概率求解方法的不同.,67,例 2.28 設(shè)二維隨機(jī)變量 (X, Y) 的密度為,68,1. 若(X,Y)服從區(qū)域D上的均勻分布, (X,Y)出現(xiàn)在 D內(nèi)的概率為1. 2.若(X,Y)服從區(qū)域D上的均勻分布, 則(X,Y)落入D內(nèi)子區(qū)域D1上的概率與D1的位置及形狀無(wú)關(guān),僅與D1的面積呈正比,比例系數(shù)是1/A。 3. 雖然(X, Y)的聯(lián)合分布是二維均勻分布,但其邊緣分布卻不是一維均勻分布.,定義 2.19 設(shè)D是平面上的有界區(qū)域,面積為A,若隨機(jī)變量 (X,Y) 的密度函數(shù)為,則稱隨機(jī)變量 (X,Y) 服從區(qū)域D上的均勻分布.,五、兩種重要的二維連續(xù)型分布,例 2.29 設(shè)區(qū)域D由y=x2及y=x所圍, 隨機(jī)變量 (X, Y) 服從區(qū)域D上的均勻分布,求(X, Y)的聯(lián)合概率密度和各自的邊緣概率密度.,y=x,y=x2,1,69,1. 二維正態(tài)分布的密度不要求強(qiáng)記;但要理解5個(gè)參數(shù)范圍及其順序. 2. 通過(guò)定理要掌握： 二維正態(tài)分布的邊緣分布是一維正態(tài)分布,并且參數(shù)有相應(yīng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系； 兩個(gè)邊緣分布和第5個(gè)參數(shù)沒(méi)有關(guān)系； 聯(lián)合分布能唯一確定邊緣分布,反之不成立。,定義 2.20 若隨機(jī)變量 (X,Y) 的密度函數(shù)為,則稱隨機(jī)變量 (X,Y) 服從參數(shù)為(1,2,12,22,) 的正態(tài)分布.記作(X,Y) N(1,2,12,22,) . 其中, 0,20,|1.,定理 2.4 若(X,Y) N(1,2,12,22,) ， 則X N(1, 12)， Y N(2,22).,70,2.9 隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性,1. 可以引申為：由X和Y分布構(gòu)成的任意事件A與B相互獨(dú)立。 2. 由定義易見(jiàn):在相互獨(dú)立條件下,聯(lián)合分布與邊緣分布相互決定。 3. 必須對(duì)所有的i，j都成立.,一、隨機(jī)變量相互獨(dú)立的定義,定義 2.21 設(shè) X ,Y是兩個(gè)隨機(jī)變量,若對(duì)任意實(shí)數(shù)x, y,都有 F(x,y)=P(Xx,Yy)=P(Xx)P(Yy)=FX(x)FY(y) 則稱 X與Y 相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱X與Y 獨(dú)立.,二、離散型隨機(jī)變量獨(dú)立的充要條件,定理 2.5 若(X , Y ) 是離散型隨機(jī)變量，則X與Y相互獨(dú)立的充分必要條件是： pij=pipj ,(i,j=1,2,).,71,1. 對(duì)于實(shí)際問(wèn)題也可以由實(shí)際意義判斷獨(dú)立性。,例 2.30 一個(gè)袋中有外型相同的1紅、4白5個(gè)球,從袋中連抽取兩次球，每次取一個(gè).令,現(xiàn)采?。?1) 不放回抽?。?(2) 有放回抽??； 試判斷X與Y的獨(dú)立性。,72,1.一般當(dāng)聯(lián)合分布函數(shù)或聯(lián)合密度函數(shù)能分解成變量x與y各自無(wú)關(guān)的函數(shù)的積,隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立。,三、連續(xù)型隨機(jī)變量獨(dú)立的充要條件,試判斷隨機(jī)變量X、Y是否相互獨(dú)立,定理 2.6 若(X , Y ) 是連續(xù)型隨機(jī)變量，則X與Y相互獨(dú)立的充分必要條件是： f(x,y) =fX(x)fY(y). 在聯(lián)合密度與邊緣密度的所有公共連續(xù)點(diǎn)處成立.,例 2.31 設(shè)二維隨機(jī)變量 (X, Y) 的密度為,定理 2.7 若(X,Y) N(1,2,12,22,) ， 則隨機(jī)變量X 、 Y相互獨(dú)立的充要條件是=0.,73,2.10 兩個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的分布,一、離散型情況,令Z=XY,求Z的分布.,例 2.32 設(shè)二維離散型隨機(jī)變量 (X, Y) 的分布律,1. 離散型隨機(jī)變量的函數(shù)仍然為離散型隨機(jī)變量，其分布常表現(xiàn)為分布律形式,故求出其取值及其對(duì)應(yīng)概率即可。,例 2.33 P.126,3.,74,75,二、連續(xù)型情況,例2.34 設(shè)X, Y相互獨(dú)立,XN(0,1),YN(0,1) 令Z=(X2+Y2)1/2,求Z的密度函數(shù).,分布函數(shù)法：,76, Z=X+Y 的分布,當(dāng)X, Y相互獨(dú)立時(shí),有卷積公式:,例 2.35 設(shè)X, Y相互獨(dú)立，XN(0,1)，YN(0,1) 令Z=X+Y，求Z的密度函數(shù)。,兩種常用的分布：,y=z-x,y,x,o,u=z,u,x,o,u=y+x,77,定理 2.8（正態(tài)分布的可加性） 設(shè)X N(1, 12), Y N(2,22)， 且X，Y相互獨(dú)立,則XY N(1+2,12+22) .,1. 可將定理 2.8的結(jié)果推廣到到n個(gè)相互獨(dú)立隨機(jī)變量情形。,78, M=max(X, Y)及N=min(X, Y)的分布,1. 可將該結(jié)果推廣到到n個(gè)相互獨(dú)立隨機(jī)變量情形。 2. 若X,Y不具有獨(dú)立性也可處理,見(jiàn)P127.B.4.,設(shè)X, Y相互獨(dú)立，分布函數(shù)分別為FX(x),FY(y)，求M=max(X, Y)及N=min(X, Y)的分布.,79,例 2.36 系統(tǒng)L是由兩個(gè)相互獨(dú)立的子系統(tǒng)L1,L2并聯(lián)而成，Li的壽命為隨機(jī)變量 (i=1,2)，試求系統(tǒng)L的壽命Z的密度函數(shù)。 若系統(tǒng)是串連而成的呢？,80,3.1 數(shù)學(xué)期望 (Mathematical expectation),1.甲,乙兩人射擊的平均環(huán)數(shù)反映了兩人射擊水平的差異。 2. 定義3.1給出計(jì)算均值的條件、方式。,例 3.1 甲,乙進(jìn)行射擊，成績(jī)?nèi)缦拢?一、離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望,甲,乙,PX=xi=pi,i=1,2, ,定義 3.1 設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為,EX =xipi,若|xi|pi+,則定義X的數(shù)學(xué)期望（或均值）為,問(wèn)誰(shuí)的槍法準(zhǔn)？,81,1.兩點(diǎn)分布：XB(1,p) ，,幾個(gè)常用的離散型隨機(jī)變量的EX:,2.二項(xiàng)分布：XB(n,p) ，,3.泊松分布：XP() ，,EX= p,EX= np,EX= ,82,1. 方案好壞在于化驗(yàn)次數(shù)多少，可用概率論來(lái)解決：從平均次數(shù)著手，即化驗(yàn)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望。 2.當(dāng)產(chǎn)品總數(shù)很大，抽樣數(shù)相對(duì)較小時(shí)：無(wú)放回抽樣有放回抽樣。,例 3.2 某城市流行絲蟲(chóng)病，為開(kāi)展防治工作， 要對(duì)全城居民驗(yàn)血，現(xiàn)有兩種方案： (1)逐個(gè)化驗(yàn)； (2)把4個(gè)人并為一組，混和化驗(yàn)，若是陰性，則4個(gè)人只需化驗(yàn)一次；若是陽(yáng)性，再對(duì)4個(gè)人逐個(gè)化驗(yàn)，共需5次. 假定對(duì)每個(gè)人來(lái)說(shuō)，化驗(yàn)是陽(yáng)性的概率為p=0.1，而這些人的反應(yīng)是相互獨(dú)立的，問(wèn)：哪種方案更好？,83,1.定義給出計(jì)算均值的前提和方式。 2. 考慮“絕對(duì)收斂”,二、連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望,定義 3.2 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為f(x),84,1. 隨機(jī)變量的參數(shù)和數(shù)字特征之間有非常重要的關(guān)系。,EX=(a+b)/2,1.均勻分布： XU(a,b) ，,幾個(gè)常用的連續(xù)型隨機(jī)變量的EX:,2.指數(shù)分布： XE()，,3.正態(tài)分布 ：XN(,2),EX=1/,EX=,85,1. 求EY時(shí)，不必知道Y的分布,只需已知的X分布 。,三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望,定理 3.1 設(shè)X是隨機(jī)變量，Y=g(X); (1)當(dāng)X是離散型隨機(jī)變量,分布律為： PX=xi=pi, （i=1,2,;） 若級(jí)數(shù)|g(xi)|pi+，則 EY= g(xi)pi., 一維隨機(jī)變量函數(shù)的情形：,(2)當(dāng)X是連續(xù)型隨機(jī)變量,概率密度為f(x)，,86,例 3.7（組織多少貨源收益最大） 設(shè)某種產(chǎn)品的市場(chǎng)需求量是隨機(jī)變量X(單位:t)， 且XU(2000,4000) 。若每銷售一噸該產(chǎn)品，則獲利3萬(wàn)元，若銷售不出囤積，則每噸需保管費(fèi)1萬(wàn)元。 問(wèn)：應(yīng)組織多少噸貨源才能 獲利最大？,87,定理 3.2 設(shè)(X,Y)是隨機(jī)變量，Z=g(X,Y) ： (1)當(dāng)(X,Y)是離散型隨機(jī)變量，其分布律為：,(2) 當(dāng)(X,Y)是連續(xù)型隨機(jī)變量，概率密度為f(x,y) ,PX=xi,Y=yj=pij, （i,j=1,2,;） 若級(jí)數(shù)g(xi,yj)pij絕對(duì)收斂，則 EZ=g(xi,yj)pij, 二維隨機(jī)變量函數(shù)的情形：,88,y=x,y,x,o,2,G,89,在給出相應(yīng)分布且滿足一定收斂性的條件下，下面流程圖幫助理解與記憶：,X Y=g(X) Z=g(X,Y),連續(xù)型:,離散型:,EX=xipi,定積分定義,EY= g(xi)pi,EZ=g(xi,yj)pij,90,1.若X,Y相互獨(dú)立則E(XEX) (YEY)=0. 2. 重點(diǎn)掌握如何應(yīng)用這些性質(zhì)簡(jiǎn)化問(wèn)題.,1. 若C是常數(shù)，則 E(C)=C.,四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),2.若C是常數(shù)，則 E(CX)=CE(X).,3.設(shè)X,Y為隨機(jī)變量，則 E(X+Y)=E(X)+E(Y)；,推廣：E(X1+X2+Xn)=E(X1)+E(X2)+E(Xn),4. 設(shè)X,Y為相互獨(dú)立隨機(jī)變量，則 E(XY)=E(X)E(Y),推廣：若X1,X2, ,Xn相互獨(dú)立,則 E(X1X2 Xn) E(X1)E(X2)E(Xn),91,例 3.10 設(shè)民航送客車載有20位乘客，離開(kāi)機(jī)場(chǎng)后共有10個(gè)停靠站，若無(wú)人下車則不停車。設(shè)乘客在各車站下車的可能性相等，且是否下車是獨(dú)立的，以X表示停車的次數(shù)，求EX. (P140,5.),92,3.2 方差(variance),1.數(shù)學(xué)期望：刻畫(huà)X分布的平均取值，但不能反映X分布的分散或集中狀況。 2.方差：刻畫(huà)X的取值相對(duì)于EX的平均偏離程度. 即：刻畫(huà)X分布離散或集中程度的數(shù)字特征。,一、方差的概念,DX= E(XEX)2=EX2 (EX)2,方差的等價(jià)表達(dá)式：,特別： (1)EX2 (EX)2,引入：甲、乙射擊運(yùn)動(dòng)員，他們射中的環(huán)數(shù)為X,Y，且EX=EY。經(jīng)平時(shí)記錄，甲成績(jī)較穩(wěn)定，X的取值集中在EX的附近，乙成績(jī)較不穩(wěn)定，Y的取值較分散，該選誰(shuí)參加奧運(yùn)會(huì)？,(2)EX2DX(EX)2,93,1. 掌握這些結(jié)論,理解常用分布參數(shù)的重要意義,在后面的章節(jié)中會(huì)經(jīng)常用到這些結(jié)果.,總結(jié)： X B(1,p) B(n,p) P() U(a,b) E() N(,2) EX p np (a+b)/2 DX p(1-p) np(1-p) ,二、常見(jiàn)分布的方差,DX=(a-b)2/12,DX=-2,4.均勻分布： XU(a,b) ，,5.指數(shù)分布： XE()，,6.正態(tài)分布 ：XN(,2),DX= 2,1.兩點(diǎn)分布：XB(1,p) ，,2.二項(xiàng)分布：XB(n,p) ，,3.泊松分布：XP() ，,DX= p(1-p),DX= np(1-p),DX= ,(a-b)2/12,-2,-1,2,94,1.可通過(guò)方差的意義、定