bA概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件.pptVIP

概率論與數(shù)理統(tǒng)計目錄,第一章 隨機事件及其概率 1.1 隨機事件及其運算 1.2 隨機事件的概率 1.3 條件概率與全概率公式 1.4 隨機事件的獨立性 第二章 隨機變量及其分布 2.1 離散型隨機變量及其分布律,2.2 隨機變量的分布函數(shù) 2.3 連續(xù)型隨機變量及其密度 2.4 幾種常見的連續(xù)型隨機變量 2.5 隨機變量函數(shù)的分布 2.6 二維隨機變量及其聯(lián)合分布函數(shù) 2.7 二維離散型隨機變量 2.8 二維連續(xù)型隨機變量,概率論與數(shù)理統(tǒng)計目錄,2.9 隨機變量的相互獨立性 2.10 兩個隨機變量函數(shù)的分布 第三章 隨機變量的數(shù)字特征 3.1 數(shù)學期望 3.2 方差 3.3 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù) 第四章 大數(shù)定律與中心極限定理,概率論與數(shù)理統(tǒng)計目錄,4.1 大數(shù)定律 4.2 中心極限定理 第五章 統(tǒng)計量及其分布 5.1 總體和隨機樣本 5.2 統(tǒng)計量與抽樣分布 第六章 參數(shù)估計 6.1 點估計,概率論與數(shù)理統(tǒng)計目錄,6.2 估計量的評價標準 6.3 區(qū)間估計 6.4 正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計 第七章 假設(shè)檢驗 復 習,概率論與數(shù)理統(tǒng)計目錄,6,1.1 隨機事件及其運算,1 概率論中一般研究的是隨機試驗,以后簡稱試驗,用字母E,E1,E2,表示。理解教材P3例子。 2. 基本事件和樣本空間是集合，樣本點是元素。 3. 樣本空間可能會隨著試驗目的的不同而不同(如例2，考慮正面出現(xiàn)的次數(shù)).,Definition 1.1 現(xiàn)象(確定性現(xiàn)象,隨機現(xiàn)象) 統(tǒng)計規(guī)律性 試驗 隨機試驗： 1. 可以在相同的條件下重復進行； 每次實驗的可能結(jié)果不止一個，并且能事先明確實驗的所有可能結(jié)果； 3. 進行一次實驗之前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn)。,一、基本概念,Definition 1.2 將隨機試驗 E 的每一種結(jié)果稱為該試驗的基本事件,其所有可能結(jié)果組成的集合稱為 E 的樣本空間,記為 或U .樣本空間的元素,即 E 的每個結(jié)果,稱為樣本點,記為 或e .,7,1 事件中的樣本點一般是滿足某種條件的人們常關(guān)心的某些樣本點。 2. 理解事件發(fā)生與否的意義：隨機事件發(fā)生當且僅當它所包含的一個樣本點在試驗中出現(xiàn)。 3. 注意應用事件發(fā)生與否來理解事件間的關(guān)系和運算結(jié)果。 4. A B C? 5. 牢記差事件的幾種等價形式。,Definition 1.3 樣本空間的子集稱為隨機事件(簡稱事件).常用大寫字母A,B,C,D表示。 注意理解下述概念的區(qū)別： 隨機事件 : 樣本空間的子集； 基本事件 : 由一個樣本點組成的單點集； 必然事件 : 樣本空間 本身； 不可能事件 : 空集。,1.包含：AB(B發(fā)生則A發(fā)生) 2.相等：A=B(B發(fā)生當且僅當A發(fā)生) 3.和(并)事件：AB(A、B至少發(fā)生一個) 4.積(交)事件：AB(A、B都發(fā)生) 5.差事件：A-B=A-AB=AB 6.互斥事件：AB= 7.對立事件：AB=,AB=,此時A=B,B=A. 8.完備事件組：樣本空間的一個劃分。,二、隨機事件間的關(guān)系,8,1 運算律的作用是化為需要的形式。 2. 對偶律的作用是交并互轉(zhuǎn)。,1.交換律：AB=BA,AB=BA 2.結(jié)合律：A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C 3.分配律：A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC),三、隨機事件間的運算,4.對偶律：,Example 1.1 有一個問題,甲先答,若甲答錯,由乙答,若記事件A=甲答對,事件B=乙答對,求此問題最終由乙答出的表示法.,Example 1.2 教材P10例6.,Example 1.3 教材P10例7.,9,1.2 隨機事件的概率,頻率性質(zhì)：非負性、規(guī)范性、可加性。 2. 頻率具有“穩(wěn)定性”，即第一節(jié)所講的 “統(tǒng)計規(guī)律性”，見教材P15。 3. 概率的統(tǒng)計定義可以幫助理解概率，但利用這個定義求解具體問題的概率比較困難。 4. 概率也有相應的3條性質(zhì)。,一、概率的統(tǒng)計定義,Definition 1.4 在相同的條件下,進行了n 次試驗, 在這 n 次試驗中,事件A發(fā)生的次數(shù) nA稱為事件 A 發(fā)生的頻數(shù).比值 nA /n 稱為事件A 發(fā)生的頻率,并記成 fn(A) .,Definition 1.5 設(shè)隨機事件E的重復次數(shù)n充分大時,事件A發(fā)生的頻率fn(A)總在區(qū)間0，1上的一個確定的常數(shù)p附近作微小擺動,并逐漸穩(wěn)定于p,則稱常數(shù)p是事件A 發(fā)生的概率,記為P(A).,10,1.計算時一定要認清試驗結(jié)果(基本事件)是等可能性的本質(zhì).例：擲二枚骰子,求事件A為出現(xiàn)點數(shù)之和等于3的概率。 2. 一般來說求分母相對簡單,但分子在特定要求下較繁瑣. 3.為了以后計算的方便我們首先復習：排列與組合的基本概念。,Definition 1.6 若試驗具有下列兩個特征： 樣本空間的元素只有有限個； 每個樣本點發(fā)生的可能性相同. 則稱此試驗為古典概型試驗(等可能概型) 。,二、概率的古典定義,乘法原理:設(shè)完成一件事需分兩步,第一步有n1種方法,第二步有n2種方法,則完成這件事共有n1n2種方法.,Definition 1.7 設(shè)古典概型試驗E的樣本空間中包含n個樣本點，隨機事件A中包含m個樣本點，則事件A發(fā)生的概率 P(A)=m/n.,從n個中抽取k個的排列組合公式: 排列:Pkn=Akn(無重復) ,nk(有重復); 組合:Ckn,11,1.牽涉到排列組合的概率問題一般都是古典概型，可按定義求解概率。 2. 抽簽原理：抽到簽與抽簽的次序無關(guān)。 3.此模型稱為超幾何分布。,Example 1.5 一口袋裝有 a 只白球,b 只紅球,求無放回取球中第k次取出的是白球的概率.,模型一：隨機取球模型,Example 1.4 一口袋有外型相同的10個球，4個白球，6個紅球,現(xiàn)從中任取3個，試求： 取出的3個球都是紅球的概率； 取出的3個球中恰有一個是白球的概率。,Example 1.6 設(shè)有 N 件產(chǎn)品,其中有 M 件次品,今從中任取 n 件,問其中恰有 k ( k M ) 件次品的概率是多少(不放回抽樣)?,12,Example 1.7 將 n 只球隨機的放入 N (N n) 個盒子中去,求每個盒子至多有一球的概率(設(shè)盒子容量不限）(P22，例6).,Example 1.8 將 15 名新生隨機地平均分配到 3 個班中去,這15 名新生中有 3 名是優(yōu)秀生.問: (1) 每個班各分配到一 名優(yōu)秀生的概率是多少? (2) 3 名優(yōu)秀生分配到同一個班級的概率是多少?,模型二：分房問題,1.生日問題：n個人的班級里沒有兩人生日相同的概率是多少？,13,1. 測度可能是長度、面積、體積，甚至是質(zhì)量。,Definition 1.8 若試驗具有下列兩個特征： 樣本空間的元素有無限個； 每個樣本點的發(fā)生具有某種等可能性. 則稱此試驗為幾何概型試驗。,三、概率的幾何定義,Definition 1.9 設(shè)試驗的每個樣本點是等可能落入?yún)^(qū)域上的隨機點M ，且D ( ) ，則M點落入子區(qū)域D(事件A)上的概率為: P(A)=m(D)/m(). 其中m()為自然測度.,14,Example 1.10 (會面問題)甲、乙二人約定在點到點之間在某地會面,先到者等30分鐘后即離去，設(shè)二人在這段時間內(nèi)的各時刻到達是等可能的,且二人互不影響.求二人能會面的概率.,Example 1.9 (對表問題).小明的表停了，他打開收音機，想聽電臺定點報時，求等待時間不超過10分鐘的概率.,1.一維情形：測度是長度。 2.二維情形：測度是面積。,15,1. 這3條公理是基礎(chǔ)，應用最多的是由此推出的性質(zhì)。,四、概率的公理化定義,Definition 1.10 設(shè) 是給定試驗E的樣本空間,對于任一事件 A 賦予一個實數(shù)P(A),若P(A)滿足 非負性：0 P(A) 1； 規(guī)范性：P() =1； 可列可加性：當事件A1,A2, ,An兩兩互斥時 P(A1+A2+An+) = P(An) 則稱P(A)為事件A的概率。,16,2. 還可以考慮n個事件的情形，見教材P30。,概率的性質(zhì)：,1. P() =0; 2. 若A1, A2 , An兩兩互斥，則 P(A1+A2+An) = P(An) 3. P(A) = 1P(A) 4. 若AB,則P(A B) = P(A) P(B) 5. P(AB) = P(A)+P(B) P(AB) 推廣: P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C) P(AB) P(AB) P(AB)+P(ABC),17,Example 1.11 設(shè)在12件產(chǎn)品中有3件次品，現(xiàn) 從中隨機抽取5件，試求： 取出的5件產(chǎn)品中至少有一件次品的概率； 取出的5件產(chǎn)品中至多有一件次品的概率。,Example 1.12 在 1099 的整數(shù)中隨機的取一個數(shù)，問取到的整數(shù)能被 2 或 3 整除的概率是多少？,18,1.3 條件概率與全概率公式,1. 條件概率等同于樣本空間縮小后求解的概率。,一、條件概率,Example 1.12 設(shè)箱內(nèi)有100件電子元件，其中有甲廠生產(chǎn)的正品30件，次品5件，乙廠生產(chǎn)的正品50件，次品15件?，F(xiàn)從箱內(nèi)任取一件產(chǎn)品，設(shè)A=取到甲廠的產(chǎn)品，B=取到次品，試求： 取到甲廠的產(chǎn)品且為次品的概率； 已知取到甲廠的產(chǎn)品下，取到次品的概率。,19,2. 條件概率仍是一種概率，具有概率的一般結(jié)論(3條公理,5條性質(zhì))。 3. 求條件概率的典型語句形式：將條件語句(若,且,已知)刪去,仍然是一個完整的概率問題.,一、條件概率,Definition 1.11 在E的樣本空間上有兩事件A,B,且P(A)0,則稱 P(B|A)=P(AB)/P(A) 為已知事件A 發(fā)生條件下,事件B發(fā)生的條件概率.,Example 1.13 某燈泡按設(shè)計要求使用壽命超過10年的概率為0.8，超過15年的概率為0.5，試求該燈泡在使用10年之后，將在5年內(nèi)損壞的概率是多少？,20,乘法公式不僅僅是條件概率定義的簡單變形,它還給出了求交集概率的另一種求法。 2.注意Example 1.14 將并集轉(zhuǎn)交集的方法：對偶公式。,若P(A)0，則P(AB)=P(A)P(B|A) 若P(B)0，則P(AB)= P(B)P(A|B) 稱上式為概率的乘法公式。,推廣到多個事件：當P(A1A2An-1)0時， P(A1A2 An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) P(An|A1A2An-1),二、乘法公式,Example 1.14 小明忘記電話號碼的最后一個數(shù)字，因而任意地按最后一個數(shù)，試求： 不超過三次能打通電話的概率； 若已知最后一個是偶數(shù)，則不超過三次能打通電話的概率。,21, 運用全概公式的關(guān)鍵：找到樣本空間的一個恰當劃分。 2.當已知試驗結(jié)果并且要推測“原因”時，一般使用逆概公式。,三、全概率公式與貝葉斯公式,Theorem 1.1 設(shè)E的樣本空間為，事件A1A2 An為的一個劃分，且P(Ai)0,(i=1,2,n)，則對任一事件B，有：,全概率公式:,貝葉斯公式: （逆概公式）,Example 1.15 一商店銷售的某公司三個分廠生產(chǎn)的同型號空調(diào)，而這三個分廠的空調(diào)比例為3:1:2，它們的不合格率依次為0.01，0.12，0.05。某人從這批空調(diào)中任選一臺，試求： 此人購得不合格空調(diào)的概率； 若已知購到不合格空調(diào)，則這空調(diào)是哪個分廠生產(chǎn)的可能性較大？,22,Example 1.16（肺結(jié)核確診率問題） 假設(shè)患肺結(jié)核的人通過接受胸部透視，被診斷出的概率為0.95；而未患肺結(jié)核的人通過接受胸部透視，被診斷出的概率為0.002.又設(shè)某城市成年居民患肺結(jié)核的概率為0.1%，若從中任選一人，通過透視被診斷為肺結(jié)核，則此人確實患有肺結(jié)核的概率為多少？,23,1.4 隨機事件的獨立性,1. 獨立可直觀解釋為：A發(fā)生對B無影響.類似, A不發(fā)生對B也無影響,即若P(A)0, P(B|A)=P(B)。 2.注意獨立、互斥、對立概念的區(qū)別。,一、事件的相互獨立性,Definition 1.13 對于事件A,B,若P(AB)=P(A)P(B) 則稱事件A ,B相互獨立.,Theorem 1.2 設(shè)P(A)0,則A、B相互獨立的充要條件是 P(B|A)=P(B)., 兩個事件相互獨立的定義,問題：設(shè)袋中有外型相同的6個紅球，4個白球，現(xiàn)有放回地抽取兩次，每次抽取一個。A=第一次取到白球， B=第二次取到白球，求P(A)， P(B)， P(AB)， P(B|A)。,24,3. 用定義判斷獨立性常用在理論推導和證明，而在實際問題中，往往根據(jù)問題的實際意義來判斷獨立性。,Theorem 1.3 下列命題等價(獨立性性質(zhì)) (1)A與B相互獨立; (2)A與B相互獨立； (3)A與B相互獨立;(4)A與B相互獨立。,Example 1.17 設(shè)甲乙兩個射手，他們每次射擊命中目標的概率分別為0.8，0.7?，F(xiàn)兩人同時向一目標射擊一次，試求 ： (1)目標被命中的概率； (2)若已知目標被命中，則它是甲命中的概率是多少？,25,Definition 1.14 對于事件A,B,C，若下面四個式子都成立 P(AB)=P(A)P(B) , P(BC)=P(B)P(C), P(AC)=P(A) P(C), P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 則稱事件A ,B,C相互獨立., 三個事件相互獨立的定義, n個事件相互獨立的定義,Definition 1.15 設(shè)有n個事件A1,A2,An, k為任意整數(shù),且1k n,若恒有 P(Ai1Ai2 Aik)=P(Ai1)P(Ai2)P(Aik) 成立,則稱n個事件A1,A2,An相互獨立.,1. 獨立條件下,能把積事件的概率化為概率的積。 2.一共有2n-n-1個表達式,必須同時成立,思考P53.4 。 3. n個事件兩兩獨立與n個事件相互獨立的區(qū)別。,26,1. 對 n個事件， Th 1.3仍成立，只需將其中任意s個事件換成它們的對立事件即可。,Theorem 1.4 設(shè)n個事件A1,A2,An相互獨立， k, s為任意整數(shù),且1k s n,則 P(Ai1AikAi(k+1) Ais) =P(Ai1)P(Aik)P(Ai(k+1)P(Ais),Example 1.20 設(shè)三門高炮一齊向一架敵機各發(fā)一炮,其命中率分別為15,20,25.試求： (1)恰有一門炮命中敵機的概率； (2)至少有一門炮命中敵機的概率.,Example 1.21 （系統(tǒng)的可靠性問題）P48.例4.,27,1.這里“重復”是指每次試驗中事件 A 發(fā)生的概率(即每次試驗中“成功”的概率)不變。 2. 對伯努利概型，關(guān)心的是n次試驗中， A發(fā)生的次數(shù)。,二、伯努利概型(Bernoulli)與二項概率公式,Def 1.15 如果隨機試驗E只有兩個結(jié)果A 與A,則稱E為Bernoulli試驗. 若獨立、重復地進行n次Bernoulli試驗, 則稱該試驗為n重Bernoulli 試驗.,Theorem 1.6 （二項概率公式） 在n重Bernoulli 試驗中,設(shè)事件A發(fā)生的概率為p,則事件A 恰好發(fā)生k次的概率為 Pn(k)=Cknpk(1- p)n-k,k=0,1,2,n.,Example 1.23 某射手每射一發(fā)子彈的命中率均為p，現(xiàn)對同一目標重復射擊3發(fā)子彈，求：恰有2發(fā)命中的概率。,28,Example 1.24 某車間有5臺同型號的縫紉機，每臺機由于種種原因時常需停機，設(shè)各機停車或開車相互獨立，且停車概率為0.3，求任何時刻： 恰有一臺機處于停機狀態(tài)的概率； 至少有一臺機處于停機狀態(tài)的概率； 至多有一臺機處于停機狀態(tài)的概率。,Example 1.25 設(shè)有批量很大的一批產(chǎn)品，次品率為0.005，現(xiàn)抽取100件。試求取出的100件產(chǎn)品中至少有10件次品的概率。,1.當產(chǎn)品數(shù)很大，抽樣數(shù)相對較小時，無放回抽樣近似可看作有放回抽樣。,29,2.1 離散型隨機變量及其分布律,1.隨機變量的取值伴隨一定的概率.是隨機變量與普通函數(shù)的本質(zhì)區(qū)別。 2. 隨機變量常用大寫英文字母X,Y,Z或希臘字母表示。隨機變量的具體取值用小寫字母x,y,z表示。 3. 隨機變量的取值可以是有限的,可列的,或不可列的。,一、隨機變量的定義,Example 2.1 袋中有3只黑球,2只白球,從中任意取出3只球,觀察取出的3只球中的黑球的個數(shù).將黑球的個數(shù)記為X,則X是變量,且取值是隨機的.,Definition 2.1 設(shè)隨機試驗E 的樣本空間=, 若對于每一個樣本點 ， 都由唯一確定的實數(shù) X ( )與之相對應，則稱X ( )是一個隨機變量，簡記為X。,無論隨機試驗的結(jié)果是否直接表現(xiàn)為數(shù)量，我們總是可以使其數(shù)量化，使隨機試驗的結(jié)果對應于一個數(shù)，從而引入隨機變量的概念。如擲一枚硬幣，規(guī)定正面對應于1，反面對應于0。,引入隨機變量后，隨機試驗中出現(xiàn)的各個事件，就可通過隨機變量的關(guān)系式表達出來了。,30,1. 離散型隨機變量的概率問題由其取值及其每個取值對應的概率決定。 2. 分布律也可以表現(xiàn)為表格形式。,二、離散型隨機變量及其分布律,Definition 2.2 如果隨機變量的取值為有限個或可列個,則稱它是離散型隨機變量.,Definition 2.3 設(shè)離散型隨機變量 X 的所有可能取值為x1, x2 , , xi , ，對應的概率為 pi=P(X=xi) (i=1,2,) 則稱其為離散型隨機變量X的概率分布律,簡稱為分布律。,分布律的性質(zhì)：(1) pi0, (i=1,2,),(2) pi=1.,31,3. 注意這個題型,涉及性質(zhì)的應用.,Example 2.2 袋中有4個紅球，1個白球。從中隨機抽取兩次，每次取一個，令X=取出的白球數(shù)。試求 X 的分布律： (1)有放回； (2)無放回。,Example 2.3 設(shè)隨機變量 X 的分布律為： P(X=n)=c/4n (n=1,2,),求常數(shù)c.,32,1. 兩點分布的背景:伯努利試驗。 2. 二項分布的背景：n重伯努利試驗。 3.超幾何分布的背景：無放回抽樣檢查。 4.當N10n時： 超幾何分布二項分布。 5.當試驗次數(shù)n很大時，稀有事件A發(fā)生的次數(shù)可以近似用泊松分布來描述，而=np為n次中A發(fā)生的平均次數(shù)。,1.兩點分布:,三、常用的離散型隨機變量,Example 2.4 一張考卷上有5道選擇題,每道題列出4個可能答案,其中只有一個答案是正確的。某學生靠猜測至少能答對4道題的概率是多少?,3.超幾何分布:,4.泊松分布：,Example 2.5 設(shè)隨機變量 X 服從參數(shù)為的泊松分布,且已知P(X=1)=P(X=2),試求P(X=4).,P(X=k)=ke-/k!,(k=0,1,),記作P(),P(X=k)=CkMCn-kN-M/CnN,(k=0,1,n),P(X=k)=Cknpk(1-p)n-k,(k=0,1,n) 記作B(n,p),P(X=k)=pk(1-p)1-k,(k=0,1) ,記作B(1,p),2.二項分布:,33,1.當n10, p0.1, np5時：二項分布泊松分布。,Example 2.6 設(shè)有若干臺同型車床，各臺工作是相互獨立的,發(fā)生故障的概率都是 0.01。在通常情況下,一臺設(shè)備的故障可由一人維修，若由3人負責維修80臺車床，求出當車床發(fā)生故障時，需要等待維修的概率。,Example 2.7（壽命保險問題）在某保險公司，有2500個同一年齡，同一階層的人參加了人壽保險。設(shè)在一年里每人死亡的概率為0.002，每個參加保險的人在1月1日付12元保險費，而在死亡時家屬可從公司領(lǐng)2000元。問： (1)保險公司虧本的概率是多少？ (2)5年中有2年虧本的概率是多少？ (3)保險公司獲利不少于10000元的概率是多少？,34,2.2 隨機變量的分布函數(shù),1. 取值為不可列個情形的隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律無法用第一節(jié)概念表達,需引進新的概念。 2. 注意分布律和分布函數(shù)的互轉(zhuǎn)方法.,一、分布函數(shù)的概念,Definition 2.4 設(shè) X 是一個隨機變量，x 是任意實數(shù),函數(shù) F(x)= P(Xx) 稱為 X 的分布函數(shù)，也記作FX(x).,Example 2.8 設(shè)隨機變量 X 的分布律為：,-1 2 3,(1)求 X 的分布函數(shù)并畫圖；,(2)求 p(X0) ， p(-1X3/2),35,1. 分布函數(shù)能表達所有類型隨機變量的概率問題. 2. 注意這個題型,涉及性質(zhì)的應用。,二、分布函數(shù)的性質(zhì),1. 0F(x)1;,Example 2.10 見教材P71.A.3,Example 2.9 見教材P70.A.1,2. F()=0,F(+)=1 ;,3. F(x)是單調(diào)不減的;,4. F(x)是右連續(xù)的.,36,2.3 連續(xù)型隨機變量及其密度,1.從定義還可看出此時的分布函數(shù)是連續(xù)的。 2.求解連續(xù)型隨機變量的概率問題只需做到兩步： 明了密度形式， 會求解積分。,一、連續(xù)型隨機變量的概率密度,Definition 2.5 如果對于隨機變量X 的分布函數(shù)F(x),存在非負的實值函數(shù) f (x),使得對于任意實數(shù) xR,有,則稱X為連續(xù)型隨機變量， f (x)為X的概率分布密度函數(shù),簡稱為概率密度或密度。,引例：設(shè)隨機變量X在0,1上取值，且對于 任意a0,1，概率p(0Xa)與a2成 正比。試求X的分布函數(shù)F(x) 。,37,1. 對連續(xù)型隨機變量： 概率密度是分布函數(shù)的導數(shù)，分布函數(shù)是概率密度的一個原函數(shù)。 2.概率P與f(x)成正比，但f(x)本身并不表示概率。 3.性質(zhì)5的后式在f(x)的連續(xù)點處一定成立,在不連續(xù)點處的取值因不影響積分值, 故可以任意給定,見P76.例2.,二、密度函數(shù)的性質(zhì),f (x),1,38,1. 求連續(xù)型隨機變量在某區(qū)間上的概率,可不考慮區(qū)間的端點。 2. 考查分段函數(shù)積分的計算.,三、連續(xù)型隨機變量的性質(zhì),若X為連續(xù)型隨機變量, C為任意常數(shù),則 P(X=C)= F(C) F(C0) = 0,Example 2.11 設(shè) X 是連續(xù)型隨機變量, 密度為,Example 2.12 設(shè)連續(xù)型隨機變量X的密度為,試求X的分布函數(shù)。,39,四、離散型與連續(xù)型隨機變量的比較,40,2.4 幾種常見的連續(xù)型隨機變量,1. 若X服從 (a，b)區(qū)間上的均勻分布，則X出現(xiàn)在 (a，b)區(qū)間內(nèi)的概率為1。 2.均勻分布隨機變量X落入(a，b)子區(qū)間上的概率和子區(qū)間的位置無關(guān)，僅與子區(qū)間長度成正比。 3. 應用：數(shù)值計算中，研究四舍五入引起的誤差。,Definition 2.6 若隨機變量 X 的密度函數(shù)為,則稱隨機變量 X 服從區(qū)間(a，b)上的均勻分布.記作 X U (a，b)。,性質(zhì)：(1) P(Xa)=P(Xb)=0.,41,1. 可利用簡捷的方式計算概率。,Example 2.14 設(shè)公共汽車站從上午7時起每隔15分鐘來一班車,如果某乘客到達此站的時間是 7:00 到7:30之間的均勻隨機變量試求該乘客候車時間不超過5分鐘的概率。,Example 2.15 設(shè)隨機變量服從區(qū)間(-3，6)上的均勻分布,試求方程 4x2+4x+2=0 有實根的概率,42,1. 指數(shù)分布又稱為“永遠青年”的分布。 2.性質(zhì)4稱為“無記憶性”。 3. 應用：描述衰老作用不明顯的壽命分布； 1/為壽命X的平均值。,Definition 2.7 若隨機變量 X 的密度函數(shù)為,則稱隨機變量 X 服從參數(shù)為的指數(shù)分布(0).記作 X E ().,性質(zhì)：,43,Example 2.15 某電子元件的壽命X(小時)滿足 X E (1/100)。求5個同類型的元件在使用的前150小時內(nèi)恰有2個需要更換的概率。,44,1.密度函數(shù)的特征：關(guān)于x=對稱; 的大小反映峰值的大小, 愈小峰值愈大,隨機變量的取值就愈集中.,定義2.8 若隨機變量 X 的密度函數(shù)為,則稱 X 服從參數(shù)為(，2)的正態(tài)分布, 記作 X N ( , 2).,若=0，2=1,則稱N(0，1)為標準正態(tài)分布：,45,1. 應用標準正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形特征容易說明相關(guān)結(jié)論。 2. 定理的證明思想和下一節(jié)內(nèi)容息息相關(guān),要掌握。,正態(tài)分布的概率計算：,(4)P(|X| a) =2(1 (a).,定理 2.1 (一般正態(tài)分布的標準化),(2)P(X a) =( a)=1 (a)；,(3)P(|X| a) =2(a) 1；, 設(shè)XN(0，1)，a0，則： (1)P(X a) =(a)；,46,1. 企業(yè)管理中，經(jīng)常應用3-規(guī)則進行質(zhì)量檢查。 2. 這個定義將在第六章經(jīng)常用到。, 設(shè)XN(，2)，則,設(shè)XN(,2), 則 P(-3X+3) =,3-規(guī)則：,0.9973,47,例 2.17 公共汽車車門的高度是按男子與車門頂頭碰頭機會在0.01以下來設(shè)計的。設(shè)男子身高XN(170,62),問車門高度應如何確定?,1.正態(tài)分布的重要性： 大量的隨機現(xiàn)象服從或近似服從正態(tài)分布； 當一個量可以看成由許多微小的獨立的隨機因素作用的總后果，這個量都服從或近似服從正態(tài)分布。,48,2.5 隨機變量函數(shù)的分布,1. 離散型隨機變量的函數(shù)仍然為離散型隨機變量，其分布常表現(xiàn)為分布律形式。,一、離散型隨機變量函數(shù)的分布,例 2.18 設(shè)隨機變量 X 具有以下的分布律，,試求:(1) Y1=2X+1，(2)Y2 = X2 的分布律.,若X的分布律為：,則,49,1. 若X連續(xù)，則一般Y=g(X) 也連續(xù). 2.分布函數(shù)法： 先求Y的分布函數(shù),然后求導。 3. 掌握變上下限積分求導公式。,二、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布,分布函數(shù)法：,特別：,50,公式法：,1. 要注意公式法的條件。,51,例 2.21 P95 A.4,定理 2.2 設(shè) XN(, 2)， Y=aX+b (a0)，則： YN(a+b, a22 ) 。,52,2.6 二維隨機變量及其聯(lián)合分布函數(shù),1. (X, Y) 應看成一個整體,它的二個分量是有內(nèi)在聯(lián)系的。 2. 從幾何上可以將(X, Y) 看成二維平面上的一個隨機點。,一、二維隨機變量的概念,定義 2.10 設(shè) = 是某一個隨機試驗E的樣本空間，X=X()和Y=Y()是定義在上的隨機變量。稱有序二元總體 (X, Y) 為一個二維隨機變量(或二維隨機向量)，并稱X和Y是二維隨機變量 (X, Y)的兩個分量。,舉例:(1)某地區(qū)學齡兒童的身體發(fā)育狀況： 需采集身高X和體重Y的分布組成二維隨機變量(X, Y);,(2) 向一平面靶射箭： 擊中點需用二維隨機變量(X, Y)來刻畫。,53,1. F(x,y)在點(x,y)處的函數(shù)值就是隨機點(X,Y)落在以(x,y)為頂點, 位于該點左下方的無窮矩形域內(nèi)的概率 。,定義 2.11 設(shè)(X, Y)是一個二維隨機變量,對于任意一對實數(shù)(x, y), 稱 F(x,y)=P(Xx,Yy)=P(Xx)(Yy) 為(X, Y)的聯(lián)合分布函數(shù), 簡稱為分布函數(shù).,一個重要的公式：,二、聯(lián)合分布函數(shù)的定義與意義,54,1.若某二元函數(shù)具有這四條性質(zhì),則它必是某二維隨機變量的分布函數(shù)，并且這四條性質(zhì)缺一不可. 2.性質(zhì)4還給出了由聯(lián)合分布求分量分布的表達式。 3.聯(lián)合分布包含更多的信息,由聯(lián)合分布可以求出邊緣分布, 由邊緣分布一般無法求出聯(lián)合分布.,三、聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì),(2) F (x,y )是變量 x或y 的單調(diào)不減右連續(xù)函數(shù)；,-X的邊緣分布函數(shù),-Y的邊緣分布函數(shù),55,例 2.23 P99.1,例2.22 問二元函數(shù) 是否可作為某二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)？,56,2.7 二維離散型隨機變量,一、二維離散型隨機變量及聯(lián)合分布律,定義 2.12 如果二維隨機變量(X, Y)可能取的值只有有限個或可列個，則稱(X, Y)為二維離散型隨機變量。,定義 2.13 設(shè)二維離散型隨機變量(X, Y)所有可能取的值為(xi, yj) ， (i=1,2, j=1,2,) 則稱 PX =xi,Y =yj=pij, (i, j=1,2,) 為(X, Y)的聯(lián)合分布律，或稱為(X, Y)的分布律。,57,二維離散型隨機變量(X, Y) 分布律也可表為：,聯(lián)合分布律的性質(zhì)：,58,例 2.23 一個口袋中有外型相同的2紅、4白6個球,從袋中不放回地抽取兩次球，每次取一個. 設(shè)X=第一次取得白球的個數(shù), Y=第二次取得白球的個數(shù), 試求： (X, Y)的分布律；F(0.5，1)；P(XY).,59,1. 試求例2.23中X,Y 的邊緣分布律.,二、邊緣分布律,定義 2.14 設(shè) (X, Y)是二維離散型隨機變量， X的分布律：,Y的分布律：,稱為(X, Y)關(guān)于X的邊緣分布律；,稱為(X, Y)關(guān)于Y的邊緣分布律。,60,1. 條件分布律仍然是分布律,和一般分布律相比,在形式上多了一個條件. 它滿足性質(zhì)：,三、條件分布律,定義 2.15 設(shè) (X, Y)是二維離散型隨機變量，對于固定的 j ，若PY= yj0， 則Y= yj已發(fā)生的條件下，X= xi發(fā)生的概率：PX=xi|Y=yj=pij/pj (i=1,2,),稱為在Y= yj下X的條件分布律；,類似，若PX= xi0，則稱 PY=yj|X=xi=pij/pi (j=1,2,)為在X= xi下Y的條件分布律。,例2.24 p104,A.1,61,2.8 二維連續(xù)型隨機變量,1. 和一維情形一樣,要求：明了密度的形式會求解積分。 2. 從定義可看出此時的分布函數(shù)關(guān)于x或y均是連續(xù)的。 3. 幾何上 z = f (x,y)表示空間的一個曲面, P(X,Y)G 表示以 G 為底,以曲面z = f (x,y)為頂?shù)那斨w的體積。,一、聯(lián)合概率密度,定義 2.16 設(shè)二維隨機變量(X,Y) 的分布函數(shù)為F(x,y),如果存在非負實值函數(shù) f (x,y),使得對于任意實數(shù) x,yR,有,則稱(X,Y)為二維連續(xù)型隨機變量，f(x,y)為(X,Y)的聯(lián)合概率密度，簡稱為概率密度或密度。,62,1.性質(zhì)給出了二維連續(xù)型隨機變量問題一般和二重積分有關(guān),要熟練求解二重積分.,二、密度函數(shù)的性質(zhì),63,例 2.25 設(shè)二維隨機變量 (X, Y) 的密度為,例 2.26 設(shè)二維隨機變量 (X, Y) 的密度為,1,64,1.聯(lián)合分布包含更多的信息,由聯(lián)合分布可以求出邊緣分布,但由邊緣分布一般無法求出聯(lián)合分布. 2. 注意求解積分,二維情形最好畫出草圖。,三、邊緣概率密度,例 2.27 設(shè)二維隨機變量 (X, Y) 的密度為,試求兩個邊緣概率密度。,65,1.條件密度仍然是密度,和一般密度函數(shù)相比,在形式上多了一個條件。,四、條件概率密度,定義 2.17 設(shè) (X, Y)是二維連續(xù)型隨機變量,對于固定的 y , 若fY(y)0, 則稱 f(x|y)= fX|Y (x|y)= f(x,y)/fY(y) 為在Y= y下X的條件概率密度； 類似,對于固定的 x , 若fX(x)0, 則稱 f(y|x)= fY|X (y|x)= f(x,y)/fX(x) 為在X= x下Y的條件概率密度.,條件概率密度的性質(zhì):,66,定義 2.18 設(shè) (X, Y)是二維連續(xù)型隨機變量,對于固定的 y , 若fY(y)0, 則稱,為在Y= y下X的條件分布函數(shù)； 類似,對于固定的 x , 若fX(x)0, 則稱,為在X= x下Y的條件分布函數(shù).,1. 利用條件密度可以求解形如PXx|Y=y的概率,但要注意形如PXx|Yy的概率求解方法的不同.,67,例 2.28 設(shè)二維隨機變量 (X, Y) 的密度為,68,1. 若(X,Y)服從區(qū)域D上的均勻分布, (X,Y)出現(xiàn)在 D內(nèi)的概率為1. 2.若(X,Y)服從區(qū)域D上的均勻分布, 則(X,Y)落入D內(nèi)子區(qū)域D1上的概率與D1的位置及形狀無關(guān),僅與D1的面積呈正比,比例系數(shù)是1/A。 3. 雖然(X, Y)的聯(lián)合分布是二維均勻分布,但其邊緣分布卻不是一維均勻分布.,定義 2.19 設(shè)D是平面上的有界區(qū)域,面積為A,若隨機變量 (X,Y) 的密度函數(shù)為,則稱隨機變量 (X,Y) 服從區(qū)域D上的均勻分布.,五、兩種重要的二維連續(xù)型分布,例 2.29 設(shè)區(qū)域D由y=x2及y=x所圍, 隨機變量 (X, Y) 服從區(qū)域D上的均勻分布,求(X, Y)的聯(lián)合概率密度和各自的邊緣概率密度.,y=x,y=x2,1,69,1. 二維正態(tài)分布的密度不要求強記;但要理解5個參數(shù)范圍及其順序. 2. 通過定理要掌握： 二維正態(tài)分布的邊緣分布是一維正態(tài)分布,并且參數(shù)有相應的對應關(guān)系； 兩個邊緣分布和第5個參數(shù)沒有關(guān)系； 聯(lián)合分布能唯一確定邊緣分布,反之不成立。,定義 2.20 若隨機變量 (X,Y) 的密度函數(shù)為,則稱隨機變量 (X,Y) 服從參數(shù)為(1,2,12,22,) 的正態(tài)分布.記作(X,Y) N(1,2,12,22,) . 其中, 0,20,|1.,定理 2.4 若(X,Y) N(1,2,12,22,) ， 則X N(1, 12)， Y N(2,22).,70,2.9 隨機變量的相互獨立性,1. 可以引申為：由X和Y分布構(gòu)成的任意事件A與B相互獨立。 2. 由定義易見:在相互獨立條件下,聯(lián)合分布與邊緣分布相互決定。 3. 必須對所有的i，j都成立.,一、隨機變量相互獨立的定義,定義 2.21 設(shè) X ,Y是兩個隨機變量,若對任意實數(shù)x, y,都有 F(x,y)=P(Xx,Yy)=P(Xx)P(Yy)=FX(x)FY(y) 則稱 X與Y 相互獨立，簡稱X與Y 獨立.,二、離散型隨機變量獨立的充要條件,定理 2.5 若(X , Y ) 是離散型隨機變量，則X與Y相互獨立的充分必要條件是： pij=pipj ,(i,j=1,2,).,71,1. 對于實際問題也可以由實際意義判斷獨立性。,例 2.30 一個袋中有外型相同的1紅、4白5個球,從袋中連抽取兩次球，每次取一個.令,現(xiàn)采?。?1) 不放回抽??； (2) 有放回抽取； 試判斷X與Y的獨立性。,72,1.一般當聯(lián)合分布函數(shù)或聯(lián)合密度函數(shù)能分解成變量x與y各自無關(guān)的函數(shù)的積,隨機變量X與Y相互獨立。,三、連續(xù)型隨機變量獨立的充要條件,試判斷隨機變量X、Y是否相互獨立,定理 2.6 若(X , Y ) 是連續(xù)型隨機變量，則X與Y相互獨立的充分必要條件是： f(x,y) =fX(x)fY(y). 在聯(lián)合密度與邊緣密度的所有公共連續(xù)點處成立.,例 2.31 設(shè)二維隨機變量 (X, Y) 的密度為,定理 2.7 若(X,Y) N(1,2,12,22,) ， 則隨機變量X 、 Y相互獨立的充要條件是=0.,73,2.10 兩個隨機變量函數(shù)的分布,一、離散型情況,令Z=XY,求Z的分布.,例 2.32 設(shè)二維離散型隨機變量 (X, Y) 的分布律,1. 離散型隨機變量的函數(shù)仍然為離散型隨機變量，其分布常表現(xiàn)為分布律形式,故求出其取值及其對應概率即可。,例 2.33 P.126,3.,74,75,二、連續(xù)型情況,例2.34 設(shè)X, Y相互獨立,XN(0,1),YN(0,1) 令Z=(X2+Y2)1/2,求Z的密度函數(shù).,分布函數(shù)法：,76, Z=X+Y 的分布,當X, Y相互獨立時,有卷積公式:,例 2.35 設(shè)X, Y相互獨立，XN(0,1)，YN(0,1) 令Z=X+Y，求Z的密度函數(shù)。,兩種常用的分布：,y=z-x,y,x,o,u=z,u,x,o,u=y+x,77,定理 2.8（正態(tài)分布的可加性） 設(shè)X N(1, 12), Y N(2,22)， 且X，Y相互獨立,則XY N(1+2,12+22) .,1. 可將定理 2.8的結(jié)果推廣到到n個相互獨立隨機變量情形。,78, M=max(X, Y)及N=min(X, Y)的分布,1. 可將該結(jié)果推廣到到n個相互獨立隨機變量情形。 2. 若X,Y不具有獨立性也可處理,見P127.B.4.,設(shè)X, Y相互獨立，分布函數(shù)分別為FX(x),FY(y)，求M=max(X, Y)及N=min(X, Y)的分布.,79,例 2.36 系統(tǒng)L是由兩個相互獨立的子系統(tǒng)L1,L2并聯(lián)而成，Li的壽命為隨機變量 (i=1,2)，試求系統(tǒng)L的壽命Z的密度函數(shù)。 若系統(tǒng)是串連而成的呢？,80,3.1 數(shù)學期望 (Mathematical expectation),1.甲,乙兩人射擊的平均環(huán)數(shù)反映了兩人射擊水平的差異。 2. 定義3.1給出計算均值的條件、方式。,例 3.1 甲,乙進行射擊，成績?nèi)缦拢?一、離散型隨機變量數(shù)學期望,甲,乙,PX=xi=pi,i=1,2, ,定義 3.1 設(shè)離散型隨機變量X的分布律為,EX =xipi,若|xi|pi+,則定義X的數(shù)學期望（或均值）為,問誰的槍法準？,81,1.兩點分布：XB(1,p) ，,幾個常用的離散型隨機變量的EX:,2.二項分布：XB(n,p) ，,3.泊松分布：XP() ，,EX= p,EX= np,EX= ,82,1. 方案好壞在于化驗次數(shù)多少，可用概率論來解決：從平均次數(shù)著手，即化驗次數(shù)的數(shù)學期望。 2.當產(chǎn)品總數(shù)很大，抽樣數(shù)相對較小時：無放回抽樣有放回抽樣。,例 3.2 某城市流行絲蟲病，為開展防治工作， 要對全城居民驗血，現(xiàn)有兩種方案： (1)逐個化驗； (2)把4個人并為一組，混和化驗，若是陰性，則4個人只需化驗一次；若是陽性，再對4個人逐個化驗，共需5次. 假定對每個人來說，化驗是陽性的概率為p=0.1，而這些人的反應是相互獨立的，問：哪種方案更好？,83,1.定義給出計算均值的前提和方式。 2. 考慮“絕對收斂”,二、連續(xù)型隨機變量數(shù)學期望,定義 3.2 設(shè)連續(xù)型隨機變量X的概率密度為f(x),84,1. 隨機變量的參數(shù)和數(shù)字特征之間有非常重要的關(guān)系。,EX=(a+b)/2,1.均勻分布： XU(a,b) ，,幾個常用的連續(xù)型隨機變量的EX:,2.指數(shù)分布： XE()，,3.正態(tài)分布 ：XN(,2),EX=1/,EX=,85,1. 求EY時，不必知道Y的分布,只需已知的X分布 。,三、隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望,定理 3.1 設(shè)X是隨機變量，Y=g(X); (1)當X是離散型隨機變量,分布律為： PX=xi=pi, （i=1,2,;） 若級數(shù)|g(xi)|pi+，則 EY= g(xi)pi., 一維隨機變量函數(shù)的情形：,(2)當X是連續(xù)型隨機變量,概率密度為f(x)，,86,例 3.7（組織多少貨源收益最大） 設(shè)某種產(chǎn)品的市場需求量是隨機變量X(單位:t)， 且XU(2000,4000) 。若每銷售一噸該產(chǎn)品，則獲利3萬元，若銷售不出囤積，則每噸需保管費1萬元。 問：應組織多少噸貨源才能 獲利最大？,87,定理 3.2 設(shè)(X,Y)是隨機變量，Z=g(X,Y) ： (1)當(X,Y)是離散型隨機變量，其分布律為：,(2) 當(X,Y)是連續(xù)型隨機變量，概率密度為f(x,y) ,PX=xi,Y=yj=pij, （i,j=1,2,;） 若級數(shù)g(xi,yj)pij絕對收斂，則 EZ=g(xi,yj)pij, 二維隨機變量函數(shù)的情形：,88,y=x,y,x,o,2,G,89,在給出相應分布且滿足一定收斂性的條件下，下面流程圖幫助理解與記憶：,X Y=g(X) Z=g(X,Y),連續(xù)型:,離散型:,EX=xipi,定積分定義,EY= g(xi)pi,EZ=g(xi,yj)pij,90,1.若X,Y相互獨立則E(XEX) (YEY)=0. 2. 重點掌握如何應用這些性質(zhì)簡化問題.,1. 若C是常數(shù)，則 E(C)=C.,四、數(shù)學期望的性質(zhì),2.若C是常數(shù)，則 E(CX)=CE(X).,3.設(shè)X,Y為隨機變量，則 E(X+Y)=E(X)+E(Y)；,推廣：E(X1+X2+Xn)=E(X1)+E(X2)+E(Xn),4. 設(shè)X,Y為相互獨立隨機變量，則 E(XY)=E(X)E(Y),推廣：若X1,X2, ,Xn相互獨立,則 E(X1X2 Xn) E(X1)E(X2)E(Xn),91,例 3.10 設(shè)民航送客車載有20位乘客，離開機場后共有10個停靠站，若無人下車則不停車。設(shè)乘客在各車站下車的可能性相等，且是否下車是獨立的，以X表示停車的次數(shù)，求EX. (P140,5.),92,3.2 方差(variance),1.數(shù)學期望：刻畫X分布的平均取值，但不能反映X分布的分散或集中狀況。 2.方差：刻畫X的取值相對于EX的平均偏離程度. 即：刻畫X分布離散或集中程度的數(shù)字特征。,一、方差的概念,DX= E(XEX)2=EX2 (EX)2,方差的等價表達式：,特別： (1)EX2 (EX)2,引入：甲、乙射擊運動員，他們射中的環(huán)數(shù)為X,Y，且EX=EY。經(jīng)平時記錄，甲成績較穩(wěn)定，X的取值集中在EX的附近，乙成績較不穩(wěn)定，Y的取值較分散，該選誰參加奧運會？,(2)EX2DX(EX)2,93,1. 掌握這些結(jié)論,理解常用分布參數(shù)的重要意義,在后面的章節(jié)中會經(jīng)常用到這些結(jié)果.,總結(jié)： X B(1,p) B(n,p) P() U(a,b) E() N(,2) EX p np (a+b)/2 DX p(1-p) np(1-p) ,二、常見分布的方差,DX=(a-b)2/12,DX=-2,4.均勻分布： XU(a,b) ，,5.指數(shù)分布： XE()，,6.正態(tài)分布 ：XN(,2),DX= 2,1.兩點分布：XB(1,p) ，,2.二項分布：XB(n,p) ，,3.泊松分布：XP() ，,DX= p(1-p),DX= np(1-p),DX= ,(a-b)2/12,-2,-1,2,94,1.可通過方差的意義、定