《哈密頓力學(xué)》PPT課件.ppt

理論力學(xué)（二）,哈密頓力學(xué) 2009.10,拉格朗日方程的降階,拉格朗日函數(shù)是以廣義坐標(biāo)和廣義速度描述系統(tǒng)的。通過拉格朗日方程，可以得到二階微分方程組。這與牛頓力學(xué)通過力的各個分量的分析，得到運(yùn)動的加速度滿足的方程具有類似的形式。 可以用廣義速度為中間變量vi，把二階微分方程變?yōu)橐浑A微分方程，代價是變量個數(shù)加倍。,廣義動量作為中間變量,這2s個方程中，計算 qi 的時間微商太簡單，而計算 vi 的時間微商太復(fù)雜。中間變量取 vi 并不合適。從拉格朗日方程看，直接可以計算廣義動量 pi ，因而把它取為中間變量是合適的。 但是，拉格朗日函數(shù)中，自變量含有廣義速度，而不含有廣義動量。需要反解出廣義速度用廣義動量來表達(dá)。 哈密頓力學(xué)的理論研究了如何取自變量和系統(tǒng)函數(shù)來描述力學(xué)體系，使所得方程更加簡單易解：,勒讓德變換,系統(tǒng)函數(shù)以誰為自變量，則它的全微分就寫成這些變量的微分之線性組合，系數(shù)就是該自變量的共軛變量，也即系統(tǒng)函數(shù)對該自變量的偏微分。 勒讓德變換可以將系統(tǒng)函數(shù)的某個自變量（如下例的x）換為它的共軛變量（u），同時，系統(tǒng)函數(shù)也有相應(yīng)變化。例如：,拉格朗日函數(shù)變換為哈密頓函數(shù),拉格朗日函數(shù)為系統(tǒng)函數(shù)時，廣義速度和廣義動量是共軛坐標(biāo)。 如果想以 pi 為自變量，則進(jìn)行勒讓德變換：,哈密頓函數(shù),定義哈密頓函數(shù)H(p,q,t)，數(shù)值上等于廣義能量積分，但必須以廣義動量為自變量。 則對應(yīng)有：,哈密頓正則方程,得到哈密頓正則方程（共2s個）： 方程給出了2s個變量隨時間的變化率，可一步步積分求出以后各個時刻的值。其中前s個給出廣義速度和廣義動量之間的關(guān)系，后s個等價于原來的s個拉格朗日方程。 p 和 q 稱為正則共軛變量，正則方程具有對稱形式。,哈密頓正則方程中的循環(huán)坐標(biāo),從對應(yīng)關(guān)系 得知，如果拉格朗日函數(shù)不顯含某個廣義坐標(biāo)，即存在某循環(huán)坐標(biāo)，則哈密頓函數(shù)也不顯含它，對應(yīng)的廣義動量守恒，因而可以將系統(tǒng)的自由度減少一維（可遺坐標(biāo)） 2s個正則變量只要其中一個在哈密頓函數(shù)中不顯含，它對應(yīng)的正則共軛變量就是常數(shù)，系統(tǒng)的自由度就可以減少一維（可遺）。 如果拉格朗日函數(shù)不顯含時間，則哈密頓函數(shù)也不顯含時間，廣義能量積分或哈密頓量守恒。,哈密頓正則方程與拉格朗日方程比較,拉格朗日函數(shù)及方程可以直接得到。而哈密頓函數(shù)需要通過廣義動量代替廣義速度之后，從拉格朗日函數(shù)經(jīng)過變換得到。 拉格朗日方程是二階的微分方程，而哈密頓方程是一階的。但哈密頓方程的變量個數(shù)增大了一倍。 對于循環(huán)坐標(biāo)，哈密頓正則方程處理起來方便很多，無論哈密頓函數(shù)缺少任意一個q，p，t，都可以找到它相應(yīng)的守恒量。 拉格朗日方程和哈密頓方程本質(zhì)上是等價的。,勞斯函數(shù),經(jīng)過對比得知，哈密頓正則方程擅長對循環(huán)坐標(biāo)處理，而拉格朗日方程對普通坐標(biāo)處理較為簡便。若只對循環(huán)坐標(biāo)采用勒讓德變換，使其處理用哈密頓正則方程，而對其余則不做變換，所得的為勞斯函數(shù)。設(shè)q1qm是循環(huán)坐標(biāo)，其余不是，則勞斯函數(shù)為,勞斯方程,同時， 對應(yīng)可得,由哈密頓原理推導(dǎo)哈密頓正則方程,由哈密頓原理出發(fā)，將p，q都看成是獨(dú)立變量，變分之后能得到哈密頓正則方程。,第15次課,哈密頓正則方程解題步驟,用哈密頓正則方程解題的步驟大致有 確定系統(tǒng)的自由度，選取廣義坐標(biāo)。 寫出系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)。 計算廣義動量，并用廣義動量來表示廣義速度。 通過勒讓德變換計算哈密頓函數(shù)H。得到的H表達(dá)式中的廣義速度用廣義動量替換。 列出哈密頓正則方程。 求解方程，得到廣義坐標(biāo)隨時間的變化關(guān)系。并結(jié)合初始條件確定積分常數(shù)。,哈密頓正則方程舉例一,一維彈簧振子,哈密頓正則方程舉例二,平方反比有心力場中的運(yùn)動 不能因?yàn)閜q是恒量而直接替去L中的 ，而是應(yīng)該用勞斯函數(shù)，其中pq才能當(dāng)常數(shù)處理。,哈密頓正則方程舉例三,帶電粒子在電磁場中運(yùn)動,哈密頓正則方程舉例四,相對論粒子在電磁場中運(yùn)動,正則變換,通過對拉格朗日函數(shù)做勒讓德變換，以廣義動量為自變量替換了廣義速度，得到哈密頓正則方程。進(jìn)一步，考慮用一組新的自變量 Qi(q,p,t)，Pi(q,p,t) 和新的系統(tǒng)函數(shù) K(Q,P,t) 和方程來描述力學(xué)體系的演化，有可能使得方程求解更加簡便。 如果新的變量和函數(shù)之間仍然滿足正則方程，則從q，p，H到Q，P，K的變換為正則變換。,正則變換的等價條件,如果到Q，P，K的變換為正則變換，則有 反之，將Q，P視為獨(dú)立變量，也可以得到正則方程，因而是正則變換。 進(jìn)一步，如果有 （其中 f 是任意函數(shù)），則顯然也能滿足積分的變分為0的條件，也即能判斷是正則變換。這是因?yàn)檎鎸?shí)運(yùn)動過程的作用量最小，無論用新舊變量描述，只相差一個全微分。,正則變換的生成函數(shù),雖然 f 任意，按照其全微分應(yīng)該寫為各個變量微分的線性組合的原則，這里 f 稱為生成函數(shù)，它的自變量應(yīng)該是 f1 = f(q,Q,t)。因此 對應(yīng)各項(xiàng)系數(shù)，有,正則變換的第2種類型,還可以通過勒讓德變換，用 p 或 P 作為 f 的自變量，能得到其他3種類型的正則變換。 對應(yīng)各項(xiàng)系數(shù)有,正則變換的3、4種類型,第3種類型的正則變換的生成函數(shù)和系數(shù)對應(yīng)關(guān)系為： 第4種類型的關(guān)系為：,第16次課,幾個簡單的正則變換,廣義坐標(biāo)和廣義動量互換，生成函數(shù)為 相空間平移,正則變換實(shí)例,給定P，Q表達(dá)式，求證為正則變換的問題，通過化 為全微分即可（若沒給 K 則取 K=H）。 例：證明 Q = ln(sin(p)/q)，P = q cot(p) 為正則變換。,正則變換實(shí)例,證明給定P=P(p,q)，Q=Q(p,q)是正則變換的充分必要條件為雅克比行列式 證：,正則變換實(shí)例,給出變換求生成函數(shù)。 已知有一變換Q=qncos(mp)，P=qnsin(mp)，其中m,n是常數(shù)。求該變換為正則變換時m,n的值。(2)正則變換時的第3類生成函數(shù)。 證：,正則變換實(shí)例,給出生成函數(shù)求變換并求解。 對于諧振子哈密頓函數(shù) 進(jìn)行正則變換 ，求解系統(tǒng)的運(yùn)動。 解：,正則變換實(shí)例,給出生成函數(shù)求變換并求解。 已知生成函數(shù) 給出相應(yīng)的正則變換，并求解拋體的運(yùn)動問題。 解：,泊松括號,泊松括號定義為 對于只含單個p,q的情況是雅克比行列式。 利用正則方程，任意函數(shù)的全微分可表示為： 用以判斷該物理量是否守恒。,第17次課,泊松括號基本性質(zhì),反對稱性 是否配對 正則變換時 微分 分配律 結(jié)合律 泊松恒等式 正則不變性,泊松定理,如果f(q,p,t)和g(q,p,t)是守恒量，則由他們組成的泊松括號也是守恒量。利用全微分算符和偏微分算符可交換的性質(zhì)，有 即可得證。由泊松定理，可以從兩個已知的守恒量推導(dǎo)出更多的守恒量，但大多得到的是常數(shù)或原來運(yùn)動積分的線性組合。,泊松括號的正則不變性,進(jìn)行了正則變換之后，用新的P，Q作為泊松括號表達(dá)式中作偏導(dǎo)數(shù)的自變量，其泊松括號不變，即柏松括號的正則不變性。 對于自由度為1的情況，有 即可得證。多維的情況證明從略。,泊松括號例題,Jx，Jy，Jz和J分別是相對原點(diǎn)的角動量的三個分量和總角動量。求Jx，Jy，Jx，J，說明Jx，Jy不能同時成為廣義動量，若他們兩個都是運(yùn)動積分，則Jz也是運(yùn)動積分。 證： 兩個廣義動量的泊松括號必為0而Jx，Jy0。,哈密頓-雅可比方程的由來,取適當(dāng)?shù)纳珊瘮?shù)，正則變換之后，有可能使得系統(tǒng)函數(shù)特別簡單，從而方程的求解也很簡單。最簡單的情況是，系統(tǒng)函數(shù)變?yōu)?。這時，由P，Q滿足的正則方程可得： 因此，P，Q均為常數(shù)。同時，若是第2類生成函數(shù)，則有,哈密頓-雅可比方程,這樣，牛頓力學(xué)中求解方程的問題，轉(zhuǎn)化為如何尋找適合的生成函數(shù)的問題。設(shè)生成函數(shù)（主函數(shù)）是S，則有 這就是哈密頓-雅可比方程。通過求解此方程，可以得到包含s+1個積分常數(shù)（記為P0，P1，.，PS）的生成函數(shù)S。,哈密頓主函數(shù)中的積分常數(shù),這s+1個積分常數(shù)，正是哈密頓-雅可比方程中s+1個自變量的偏微分經(jīng)過積分得到的。其中，P0不起任何作用，也沒有物理意義，可以舍去或取為0。其余s個，取作生成函數(shù)中的P，即正則變換的新廣義動量。 由正則變換，可以得到s個運(yùn)動積分Q：,哈密頓主函數(shù)的物理意義,哈密頓主函數(shù)S其實(shí)正是作用量函數(shù)，這可以從下式中看出： 哈密頓主函數(shù)S也被稱為哈密頓作用量函數(shù)。 哈密頓函數(shù)如果不顯含時間 t，則它為守恒量，從而主函數(shù)可以積分得到如： 其中 W 不含時間，稱為哈密頓特征函數(shù)。,哈密頓-雅可比方程的解法,求解偏微分的哈密頓-雅可比方程，一般常用分離變量法。如前面對哈密頓函數(shù)不含時間 t 的處理，即是分離變量 t 。 一般來說，如果哈密頓函數(shù)中只含有某個坐標(biāo) qk 和 pk 的組合 g(qk,pk)，則在哈密頓-雅可比方程中，可以令 而在哈密頓-雅可比出現(xiàn)這個組合的地方用這個常數(shù)代替，使方程中減少了這個變量。,第18次課,哈密頓-雅可比方程實(shí)例,用哈密頓-雅可比方程求解一維簡諧振蕩。 解：,哈密頓-雅可比方程實(shí)例,用哈密頓-雅可比方程求解開普勒問題。 解：,哈密頓-雅可比方程分離變量實(shí)例,用哈密頓-雅可比方程求解哈密頓函數(shù)為 的問題。 解：,分析力學(xué)的應(yīng)用連續(xù)體系,連續(xù)體系：由無限多個相互關(guān)聯(lián)的介質(zhì)或場構(gòu)成的、空間上連續(xù)變化的力學(xué)體系。如彈性固體，流體，甚至電磁場，都可以當(dāng)作連續(xù)體系處理。 以一維彈性體為例，將連續(xù)體系看作是各個離散的質(zhì)點(diǎn)，單位體積的拉格朗日函數(shù)為：,連續(xù)體系的拉格朗日函數(shù),連續(xù)體系的特點(diǎn)是具有以時間和空間為自變量的場量。 在彈性力學(xué)中，E是楊氏模量，代表物體的彈性。l是物體的線密度。偏離平衡位置的位移量作為連續(xù)體系的場量。 全空間的拉格朗日函數(shù)為： 其中，廣義速度在保留一階小量時可以寫為q對時間的偏微分。,連續(xù)體系的拉格朗日方程,連續(xù)體系的特點(diǎn)是具有以時間和空間為自變量的場量。拉格朗日密度函數(shù)一般含有場量對時間的偏微分和對空間的偏微分。從而可以運(yùn)用哈密頓最小作用量原理求出場量所遵循的拉格朗日方程。,連續(xù)體系的拉格朗日方程,通過對時間和空間分部積分得到：,第19次課,一維彈性體的拉格朗日方程,對于一維彈性體，可得： 這是一個以速度 vs 傳播震動的波動方程。,電磁場的拉格朗日函數(shù),對于電磁場本身貢獻(xiàn)的部分，必須是與坐標(biāo)選取無關(guān)的標(biāo)量（注意到dVdt是4維時空的“體積”，是與坐標(biāo)選取無關(guān)的量）：,電磁場的拉格朗日方程,而帶電粒子與場的相互作用部分為： 從而： 應(yīng)用哈密頓原理得拉格朗日方程：,電磁場的麥克斯韋方程,從而：,電磁場的麥克斯韋方程,加上本身具有的性質(zhì)： 構(gòu)成了麥克斯韋方程組。并且，4維空間的方程具有簡潔的形式，在相對論的洛侖茲變換下方程的形式不變。愛因斯坦的相對論論文題目就是“論運(yùn)動物體的電動力學(xué)”。在電動力學(xué)中，光在不同坐標(biāo)系中的速度不變是一個基本的事實(shí)。真空中電磁波滿足波動方程與坐標(biāo)系無關(guān)：,第20次課,量子力學(xué)的建立,經(jīng)典物理學(xué)在描述微觀世界時，遇到了很大的困難。在新的觀念和假設(shè)下，量子力學(xué)得以建立，能成功地描述很多微觀物理現(xiàn)象。量子力學(xué)是研究微觀粒子的運(yùn)動規(guī)律的物理學(xué)分支學(xué)科，它主要研究原子、分子、凝聚態(tài)物質(zhì)，以及原子核和基本粒子的結(jié)構(gòu)、性質(zhì)的基礎(chǔ)理論，它與相對論一起構(gòu)成了現(xiàn)代物理學(xué)的理論基礎(chǔ)。量子力學(xué)不僅是近代物理學(xué)的基礎(chǔ)理論之一，而且在化學(xué)、半導(dǎo)體器件、激光等有關(guān)學(xué)科和許多近代技術(shù)中也得到了廣泛的應(yīng)用。,舊量子論,量子力學(xué)在舊量子論的基礎(chǔ)上發(fā)展起來，舊量子論包括： 普朗克的量子假說 愛因斯坦的光量子理論 玻爾的原子理論 1900年，普朗克提出輻射量子假說，假定電磁場和物質(zhì)交換能量是以間斷的形式(能量子)實(shí)現(xiàn)的，能量子的大小同輻射頻率成正比，比例常數(shù)稱為普朗克常數(shù)，從而得出黑體輻射能量分布公式，成功地解釋了黑體輻射現(xiàn)象。,愛因斯坦的光量子理論,1905年，愛因斯坦引進(jìn)光量子(光子)的概念，并給出了光子的能量、動量與輻射的頻率和波長的關(guān)系，成功地解釋了光電效應(yīng)。其后，他又提出固體的振動能量也是量子化的，從而解釋了低溫下固體比熱問題。 愛因斯坦獲得諾貝爾獎是因?yàn)樗墓怆娦?yīng)理論，而不是因?yàn)樗莫M義相對論和廣義相對論的工作。,玻爾的原子理論,1913年，玻爾在盧瑟福有核原子模型的基礎(chǔ)上建立起原子的量子理論。按照這個理論，原子中的電子只能在分立的軌道上運(yùn)動，原子具有確定的能量，它所處的這種狀態(tài)叫“定態(tài)”，而且原子只有從一個定態(tài)到另一個定態(tài)，才能吸收或輻射能量。這個理論雖然有許多成功之處，但對于進(jìn)一步解釋實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象還有許多困難。,量子力學(xué)與經(jīng)典理論,從經(jīng)典力學(xué)過渡到量子力學(xué)的過程中，需要對舊量子論涉及的物理現(xiàn)象有理論解釋。量子理論在宏觀世界中應(yīng)該與經(jīng)典力學(xué)的描述一致。有關(guān)的工作有： 德布羅意的波粒二象性的假說 薛定諤方程 海森伯的測不準(zhǔn)關(guān)系 狹義相對論量子理論,德布羅意的波粒二象性的假說,在人們認(rèn)識到光具有波動和微粒的二象性之后，為了解釋一些經(jīng)典理論無法解釋的現(xiàn)象，法國物理學(xué)家德布羅意于1923年提出微觀粒子具有波粒二象性的假說。德布羅意認(rèn)為：正如光具有波粒二象性一樣，實(shí)體的微粒(如電子、原子等)也具有這種性質(zhì)，即既具有粒子性也具有波動性。這一假說不久就為實(shí)驗(yàn)所證實(shí)。 由于微觀粒子具有波粒二象性，微觀粒子所遵循的運(yùn)動規(guī)律就不同于宏觀物體的運(yùn)動規(guī)律，描述微觀粒子運(yùn)動規(guī)律的量子力學(xué)也就不同于描述宏觀物體運(yùn)動規(guī)律的經(jīng)典力學(xué)。當(dāng)粒子的大小由微觀過渡到宏觀時，它所遵循的規(guī)律也由量子力學(xué)過渡到經(jīng)典力學(xué)。,薛定諤方程,量子力學(xué)與經(jīng)典力學(xué)的差別首先表現(xiàn)在對粒子的狀態(tài)和力學(xué)量的描述及其變化規(guī)律上。在量子力學(xué)中，粒子的狀態(tài)用波函數(shù)描述，它是坐標(biāo)和時間的復(fù)函數(shù)。為了描寫微觀粒子狀態(tài)隨時間變化的規(guī)律，就需要找出波函數(shù)所滿足的運(yùn)動方程。這個方程是薛定諤在1926年首先找到的，被稱為薛定諤方程。 這個方程，可以看作源自經(jīng)典力學(xué)的哈密頓-雅可比方程，經(jīng)過一些轉(zhuǎn)換獲得。,海森伯的測不準(zhǔn)關(guān)系,當(dāng)微觀粒子處于某一狀態(tài)時，它的力學(xué)量(如坐標(biāo)、動量、角動量、能量等)一般不具有確定的數(shù)值，而具有一系列可能值，每個可能值以一定的幾率出現(xiàn)。當(dāng)粒子所處的狀態(tài)確定時，力學(xué)量具有某一可能值的幾率也就完全確定。這就是1927年，海森伯得出的測不準(zhǔn)關(guān)系，同時玻爾提出了并協(xié)原理，對量子力學(xué)給出了進(jìn)一步的闡釋。,相對論量子力學(xué),量子力學(xué)和狹義相對論的結(jié)合產(chǎn)生了相對論量子力學(xué)。經(jīng)狄拉克、海森伯和泡利等人的工作發(fā)展了量子電動力學(xué)。20世紀(jì)30年代以后形成了描述各種粒子場的量子化理論量子場論，它構(gòu)成了描述基本粒子現(xiàn)象的理論基礎(chǔ)。,新量子論,1925年，海森堡基于物理理論只處理可觀察量的認(rèn)識，拋棄了不可觀察的軌道概念，并從可觀察的輻射頻率及其強(qiáng)度出發(fā)，和玻恩、約爾丹一起建立起矩陣力學(xué)；1926年，薛定諤基于量子性是微觀體系波動性的反映這一認(rèn)識，找到了微觀體系的運(yùn)動方程，從而建立起波動力學(xué)，其后不久還證明了波動力學(xué)和矩陣力學(xué)的數(shù)學(xué)等價性；狄拉克和約爾丹各自獨(dú)立地發(fā)展了一種普遍的變換理論，給出量子力學(xué)簡潔、完善的數(shù)學(xué)表達(dá)形式,量子力學(xué)的理論形式,量子力學(xué)的三種形式： 海森伯，矩陣描述。 狄拉克，費(fèi)米，路徑積分形式。 薛定諤，波動方程。 通過不同的假設(shè)和理論線路創(chuàng)建并完善量子力學(xué)理論，得到的結(jié)果在數(shù)學(xué)上是等價的。相當(dāng)于經(jīng)典力學(xué)中，正則變換將一種理論形式轉(zhuǎn)變?yōu)榱硗庖环N理論形式。,薛定諤對作用量函數(shù)的代換,薛定諤的波動量子力學(xué)從哈密頓-雅可比方程入手，對經(jīng)典的作用量函數(shù)（特征函數(shù)）作變量代換： 這個代換，從數(shù)學(xué)上講沒有任何問題，但這里很自然地引入了普朗克常數(shù)作為作用量函數(shù)的單位，而這個常數(shù)與玻爾的氫原子理論中的量子化常數(shù)是相同的。,對氫原子模型的處理,對于氫原子模型，實(shí)際上就是經(jīng)典力學(xué)中的開普勒問題，用經(jīng)典力學(xué)的結(jié)果解釋不了實(shí)際的氫原子。以氫原子為例，可以讓我們了解如何從經(jīng)典力學(xué)過渡到量子力學(xué)的。哈密頓-雅可比方程變?yōu)椋?薛定諤對方程的假設(shè),事實(shí)上，薛定諤并不是直接求解此方程，而是認(rèn)為該方程左端的空間積分的變分為0： 利用對于連續(xù)體系積分的變分處理，可得到：,量子力學(xué)的物理量和算符,方程可改寫為： 與經(jīng)典力學(xué)相比，哈密頓量成為算符，動量也成為算符： 從經(jīng)典力學(xué)的哈密頓-雅可比方程過渡到薛定諤方程，所產(chǎn)生的變化是：物理量成為算符，算符的次序不可交換性導(dǎo)致泊松括號的結(jié)果不為0，每個物理量都對波函數(shù)作用。,氫原子的能量量子化,從氫原子方程求出的本征值E為： 這個結(jié)果與玻爾的氫原子模型所得的完全相同。這說明當(dāng)初預(yù)先假設(shè)氫原子的能量是量子化的是不必要的，而只是因?yàn)楸菊髦凳橇孔踊慕Y(jié)果。如果對于另外一些方程的本征值可以取連續(xù)的值，則能量也是連續(xù)的。,一維諧振子的解,薛定諤方程示例：一維諧振子問題 若 有解,第21次課,劉維爾定理,相空間。由多個粒子構(gòu)成的體系中，以廣義坐標(biāo)和廣義動量為自變量構(gòu)成的空間。又稱為G空間，自變量(q1,.,q3n;p1,.,p3n)。 代表點(diǎn)。系統(tǒng)處于某個初始坐標(biāo)和動量，可用在相空間中一個代表點(diǎn)來表示。 統(tǒng)計系綜。對于相空間中的一群代表點(diǎn)作統(tǒng)計平均。 劉維爾定理：相空間的代表點(diǎn)的統(tǒng)計系綜的分布密度在運(yùn)動過程中保持不變。,相空間的連續(xù)性方程,考慮在相空間G的一個小的方體積元DV內(nèi)，單位時間內(nèi)流出這個側(cè)面和進(jìn)入體積的一個側(cè)面相對的另一個側(cè)面的粒子個數(shù)之差為： 這些凈流出的粒子使小體積元內(nèi)密度減小，即得相空間的連續(xù)性方程,劉維爾定理的證明,由于相空間的內(nèi)粒子滿足正則方程，則： 即在相空間的代表點(diǎn)的密度在運(yùn)動過程中不改變。,劉維爾定理的應(yīng)用,由于物理量 r 的變化可以表示為： 在系統(tǒng)達(dá)到了平衡時，各處的密度將不再隨時間變化，即 因此有 由此可推導(dǎo)各種平衡態(tài)的分布函數(shù)（即相空間的密度 r），特別是當(dāng)分布函數(shù)是以H為自變量的函數(shù)時，顯然滿足條件 r, H = 0，可作為平衡時的分布函數(shù)。,劉維爾定理的應(yīng)用,例如，平衡狀態(tài)的氣體的速度分布為： 描述等離子體狀態(tài)的動力論方程，即為劉維爾定理的又一個應(yīng)用 其中，f 是分布函數(shù)，也即相空間的粒子密度，F(xiàn) 是粒子受力，m是粒子質(zhì)量，二者相除得到加速度，是速度變量（代替廣義動量）的時間全導(dǎo)數(shù)。,位力定理,如果一個系統(tǒng)，其中所有粒子所處的區(qū)域和其動量都是有限的，可定義有限量： 它隨著時間的變化為： 其中，右式的第二項(xiàng)稱為系統(tǒng)的位力。對此式做長時間的平均，得：,位力定理,這樣可以求出動能的平均值： 當(dāng)力為保守力時， 特別地，當(dāng)保守力是距離的n次方時，有： 對于平方反比力 n= -2，有 這是對于橢圓軌道成立。對于雙曲線和拋物線，由于位置不是有限的，結(jié)果不成立。 對于諧振子 n=1，有,理想氣體狀態(tài)方程,位力定理應(yīng)用于理想氣體，假設(shè)氣體局限在有限體積內(nèi)，其邊界面S受到壓力P 由此得到理想氣體的狀態(tài)方程。其中，k 是波爾茲曼常數(shù)。N是系統(tǒng)的粒子個數(shù)。每個粒子的動能在三個自由度上均分。,第22次課,對一些周期運(yùn)動的處理,在用哈密頓-雅可比方程解力學(xué)問題的過程中，我們常用分離變量法。 若一個系統(tǒng) 哈密頓函數(shù)不顯含時間 廣義坐標(biāo)具有周期的性質(zhì) 哈密頓特征函數(shù)中，能將各坐標(biāo)分離變量 則可應(yīng)用作用變量和角變量的方法進(jìn)行求解。此時，取第二類正則變換的母函數(shù)為不含時的特征函數(shù)：,特征函數(shù)的方程解法,此時，要求經(jīng)過正則變換之后，系統(tǒng)函數(shù)為常數(shù)： 相應(yīng)的有 應(yīng)用分離變量法，可以求出每個Wi，并產(chǎn)生相應(yīng)的積分常數(shù)ci ( i=2,3,.,s )，且,作用變量,分離變量法之后，對于每個廣義坐標(biāo)qi可以求出相對應(yīng)的特征函數(shù) Wi(qi) 以及積分常數(shù)ci，但我們不用這些積分常數(shù) E, c2, cs 作為廣義動量 P1, P2, Ps ，而是重新定義 為新的廣義動量P。該量又稱為作用變量，原因是它具有作用量的量綱。這里的帶圈積分符號的意義是做一個周期的積分。,作用變量和角變量,反解積分常數(shù) E, c2, cs 可得他們作為新的廣義動量 J1, J2, Js 的函數(shù)： 另外，新廣義坐標(biāo)Qi 稱為角變量，正則變換之后滿足正則方程。,作用變量的意義,這說明新的廣義動量（作用變量） Ji 是常數(shù)，是守恒量。而它的意義是，當(dāng)廣義坐標(biāo)qi 變化一周期時，若回到原來的值，Ji 就是相空間 ( qi, pi ) 所圍成的面積；若增加到新的值，則是一個周期內(nèi)相空間中的運(yùn)動軌跡與 qi 坐標(biāo)軸圍成的面積。,角變量的意義,新的廣義坐標(biāo)（角變量） Qi 是隨時間線性變化的量，比例系數(shù) ni 是常數(shù)，其意義是頻率： 即每經(jīng)過一個周期，角變量 Qi 增加1，因此比例系數(shù) ni 是頻率。,周期運(yùn)動一維諧振子,一維諧振子的振動頻率。這是周期的運(yùn)動，僅是一維情況，不存在分離變量問題，滿足條件。其哈密頓函數(shù)為 相空間中，軌跡構(gòu)成一個橢圓，其組成的面積為常量： 其頻率為,周期運(yùn)動氫原子能級,氫原子的能級,第23次課,剛體的概念和性質(zhì),剛體是一種質(zhì)點(diǎn)系，其中所有質(zhì)點(diǎn)的相對位置一直保持不變。 剛體不發(fā)生任何形變。固體的物體受力時，如果形變較小，可以近似地視為剛體。 剛體有形狀，有大小，有質(zhì)量分布。我們研究宏觀世界的物體運(yùn)動時，如果物體的大小不能忽略，用質(zhì)點(diǎn)模型就不夠全面，這時可以使用剛體模型。,剛體的自由度,在三維空間中運(yùn)動的剛體，其自由度為6。 平動自由度3。決定了剛體上的一點(diǎn)的位置。 轉(zhuǎn)動自由度3。其中，2個自由度決定剛體上的某根軸線的方向，剩下的1個自由度決定剛體繞此軸旋轉(zhuǎn)的角度。 決定剛體上的一點(diǎn)的坐標(biāo)需要3個自由度。決定剛體上的另一點(diǎn)又需要2個自由度（3個自由度，減去這兩點(diǎn)之間的距離固定的約束條件）。決定第三個點(diǎn)還需要1個自由度（3個自由度，減去它與前這兩點(diǎn)之間的距離固定的2個約束條件）。再增加點(diǎn)自由度不增。一共還是6個自由度。,剛體的本體坐標(biāo),本體坐標(biāo)系是固定在剛體上的坐標(biāo)系。它是隨剛體一起運(yùn)動的。剛體上的任意一點(diǎn)在本體坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值恒定不變。 空間坐標(biāo)是我們所在的實(shí)驗(yàn)室慣性系的坐標(biāo)（可視為“靜止”坐標(biāo)）。 要表示一個剛體的狀態(tài)，首先要用三個空間坐標(biāo)表示本體坐標(biāo)系的原點(diǎn)位置，此外還要能表征本體坐標(biāo)的坐標(biāo)軸方向。,剛體的運(yùn)動方式,平動。剛體上任何一點(diǎn)都有相同的速度（和加速度）。本體坐標(biāo)方向保持不變?？梢杂脛傮w上的一點(diǎn)的運(yùn)動表征整個剛體的運(yùn)動。自由度為3（3個平動自由度）。 定軸轉(zhuǎn)動。剛體圍繞一個固定的軸作轉(zhuǎn)動。自由度為1。 平面運(yùn)動。剛體每個質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動都限制在一個平面內(nèi)，限制不同質(zhì)點(diǎn)的平面彼此平行。自由度為3（2個平動自由度，1個轉(zhuǎn)動自由度）。 定點(diǎn)轉(zhuǎn)動。剛體轉(zhuǎn)動時，其上某一點(diǎn)固定。（3個轉(zhuǎn)動自由度） 一般運(yùn)動。自由度為6（3個平動，3個轉(zhuǎn)動）,歐拉定理,定理：具有一個固定點(diǎn)的剛體的任意位移等效于繞該定點(diǎn)的某一軸線的轉(zhuǎn)動。 如果能尋找到軸線和旋轉(zhuǎn)的角度，使原始位置的剛體經(jīng)過一次旋轉(zhuǎn)就能到達(dá)指定位置，則歐拉定理即獲得證明。 實(shí)際上，由于原點(diǎn)不動，只需要本體坐標(biāo)的x軸單位向量和y軸單位向量到達(dá)目標(biāo)位，剛體整個就到達(dá)目標(biāo)位。,歐拉定理的證明,確定旋轉(zhuǎn)軸是xx的垂直平分面與yy的垂直平分面的交線。軸上任意一點(diǎn)到x和x等距，同時到y(tǒng)和y也等距。 圖中黑的球面三角與紅的球面三角全等。因此當(dāng)x轉(zhuǎn)到x時，y也同時轉(zhuǎn)到y(tǒng)。因此，剛體通過一次旋轉(zhuǎn)，到達(dá)了指定位置。這樣，描述原點(diǎn)固定的剛體的狀態(tài)就等價于描述一次轉(zhuǎn)動。,在繞軸旋轉(zhuǎn)一定角度q之后，剛體上的任意一點(diǎn)的新位置為： 其中e為轉(zhuǎn)軸的方向向量。 也可以用4元數(shù)來表示轉(zhuǎn)動。4元數(shù)是具有3個虛數(shù)單位(i,j,k)的4元復(fù)數(shù)，表示為,轉(zhuǎn)動的數(shù)學(xué)描述,4元數(shù)可以進(jìn)行加減乘除。其中 可見它的乘法不滿足交換律。但結(jié)合律和分配律都是滿足的，可進(jìn)行一般的代數(shù)運(yùn)算。將4元數(shù)q寫為純數(shù)n和矢量v兩部分，運(yùn)算結(jié)果為：,四元數(shù)的運(yùn)算規(guī)則,轉(zhuǎn)動可以用一個歸一化的4元數(shù)來表示。 對比可知得到的是角度為2q的旋轉(zhuǎn)。,四元數(shù)表示旋轉(zhuǎn),兩次旋轉(zhuǎn)連續(xù)進(jìn)行可以復(fù)合為一次 連續(xù)多次的旋轉(zhuǎn)最后都能用一次旋轉(zhuǎn)替代，這與歐拉定理是一致的。 4元數(shù)用了4個分量表示一次旋轉(zhuǎn)，而旋轉(zhuǎn)的自由度為3，用矢量部分就能表示。冗余的1個量對應(yīng)于模為1的歸一化條件的約束。 用4元數(shù)表示旋轉(zhuǎn)的方法廣泛應(yīng)用于計算機(jī)的3維繪圖等方面。,旋轉(zhuǎn)的復(fù)合,第24次課,以z軸為轉(zhuǎn)軸，進(jìn)行一次轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動q之后剛體上任意一點(diǎn)的空間坐標(biāo)變?yōu)?變換矩陣為 同樣我們可以獲得繞x軸或繞y軸旋轉(zhuǎn)的變換矩陣。,剛體旋轉(zhuǎn)的矩陣表示,歐拉定理的矩陣證明,本體坐標(biāo)系從原始位置轉(zhuǎn)動到當(dāng)前位置，其3個軸的單位矢量為ex，ey，ez。把他們的空間坐標(biāo)排為3列，構(gòu)成矩陣R。 剛體上任意一點(diǎn)（本體坐標(biāo)為(x,y,z)）的空間位置為 r = xex + yey + zez = Rr。矩陣R給出旋轉(zhuǎn)的變換。此矩陣是正交歸一的。 找到轉(zhuǎn)軸X，它在旋轉(zhuǎn)變化下不變，即旋轉(zhuǎn)變換可以通過一次旋轉(zhuǎn)完成。,轉(zhuǎn)動自由度為3，可以用3個角度來表示剛體的轉(zhuǎn)動。首先，沿z軸旋轉(zhuǎn)j角。然后沿x軸旋轉(zhuǎn)q角。最后沿著z軸旋轉(zhuǎn)y角。 前兩次旋轉(zhuǎn)確定了z軸的指向，如同地球球面上的點(diǎn)用經(jīng)緯度確定，這兩個參量確定了z軸單位向量。,歐拉角,其中，角 j 稱為進(jìn)動角，角 q 稱為章動角，角 j 稱為自轉(zhuǎn)角。歐拉角經(jīng)過三次沿坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動之后剛體上任意一點(diǎn)的空間坐標(biāo)變?yōu)椋╡右肩標(biāo)是歐拉角旋轉(zhuǎn)的順序） 或反過來從空間坐標(biāo)求本體坐標(biāo)：,歐拉角旋轉(zhuǎn)的矩陣表示,旋轉(zhuǎn)的次序是不可交換的，例如同樣是做以x為軸轉(zhuǎn)90，再以y為軸轉(zhuǎn)90，z軸的方向指向-y，但如果次序相反，則z軸最終指向x，可見結(jié)果不同。同樣，如果旋轉(zhuǎn)用4元數(shù)表示，這意味著4元數(shù)相乘不滿足交換率。如果旋轉(zhuǎn)用矩陣表示，這等價于矩陣相乘也不滿足交換率。,有限角旋轉(zhuǎn)的不可交換性,但無限小角度的旋轉(zhuǎn)次序是可交換的。分析一下4元數(shù)相乘，不滿足交換率的項(xiàng)是叉乘項(xiàng) 當(dāng)轉(zhuǎn)動角是一階無窮小的2dq時候，q=1+edq，兩次連續(xù)進(jìn)行時，叉乘項(xiàng)是二階小量，可被忽略。 因此，無窮小角度旋轉(zhuǎn)是可交換的，且能表示為轉(zhuǎn)軸方向的大小為dq的矢量，并滿足合成法則。,無窮小角度旋轉(zhuǎn)的可交換性,無限小角度的旋轉(zhuǎn)可以用矢量edq表示，剛體上任意一點(diǎn)的位移為 定義轉(zhuǎn)動的角速度矢量為 因此，剛體上任意一點(diǎn)的速度為；,旋轉(zhuǎn)的角速度及剛體點(diǎn)速度,無限小角度的旋轉(zhuǎn)可以用矢量表示，因而角速度也是矢量。對于歐拉角隨時間變化產(chǎn)生的角速度本體坐標(biāo)為（e右肩標(biāo)是歐拉角旋轉(zhuǎn)的順序）：,角速度的歐拉角表示,無限小角度的旋轉(zhuǎn)可以用矢量表示，因而角速度也是矢量。對于歐拉角隨時間變化產(chǎn)生的角速度為：,歐拉角角速度的矩陣變換,旋轉(zhuǎn)的角加速度定義為 剛體上任意一點(diǎn)的速度為 因此，剛體上任意點(diǎn)的加速度由角加速度和向心（軸）加速度引起。,旋轉(zhuǎn)的角加速度及剛體點(diǎn)加速度,本體坐標(biāo)原點(diǎn)O移動時剛體上任意一點(diǎn)P的速度為： 若以剛體上另一點(diǎn)O為本體坐標(biāo)系原點(diǎn)則又有 因?yàn)镻點(diǎn)的任意性，可知 w = w，即角速度與本體坐標(biāo)的原點(diǎn)選擇無關(guān)。,一般運(yùn)動時剛體點(diǎn)的速度,第25次課,剛體做一般運(yùn)動時，本體坐標(biāo)中有一點(diǎn)C的速度為0： 這一點(diǎn)我們叫它轉(zhuǎn)動瞬心。若以這一點(diǎn)為本體坐標(biāo)系的原點(diǎn)，剛體在這一瞬間圍繞這點(diǎn)做純轉(zhuǎn)動。這時剛體上的任意一點(diǎn)P的速度為 而過C點(diǎn)且沿著 w 方向軸線上，各點(diǎn)速度都為0，我們稱這個軸線為轉(zhuǎn)動瞬軸。,轉(zhuǎn)動瞬心和瞬軸,轉(zhuǎn)動瞬心可以直接求解： 利用剛體上任意兩點(diǎn)P、Q的速度方向均分別與CP、CQ垂直的性質(zhì)，可以做垂線獲得交點(diǎn)，即為瞬心C點(diǎn)。 利用滾動接觸點(diǎn)找轉(zhuǎn)動瞬心。當(dāng)剛體與空間靜止的物體接觸并在其上做純滾動時，接觸點(diǎn)即為轉(zhuǎn)動瞬心。,轉(zhuǎn)動瞬心的尋找,各個時刻的轉(zhuǎn)動瞬心在空間坐標(biāo)中留下的軌跡稱為空間極跡。極跡，類似南北極點(diǎn)留下的軌跡。 由于不同時刻有不同的點(diǎn)成為轉(zhuǎn)動瞬心，轉(zhuǎn)動瞬心在本體坐標(biāo)系中也留下了軌跡，稱為本體極跡。 剛體的轉(zhuǎn)動可以看作是本體極跡在空間極跡軌道上做純滾動的過程。,空間極跡和本體極跡,將剛體看成質(zhì)點(diǎn)系，其動量為（帶撇為質(zhì)心系）： 即剛體的總動量等價于全部質(zhì)量集中在質(zhì)心的質(zhì)點(diǎn)的動量。而剛體的角動量為： 剛體的角動量等效于質(zhì)心的質(zhì)點(diǎn)的角動量，以及圍繞質(zhì)心的角動量 L 兩部分。,剛體的動量和角動量,質(zhì)心系中圍繞質(zhì)心的角動量 L 可表示為： 這里定義了慣量張量（其中I是單位張量）： 慣量張量這里寫為并矢形式，它也有矩陣形式。,剛體的角動量和慣量張量,角動量 L 寫成矩陣的表達(dá)式 可知慣量張量的矩陣表達(dá)為（離散和連續(xù)情況）：,角動量和慣量張量的矩陣表示,剛體的動能為： 也可表示為等效質(zhì)心質(zhì)點(diǎn)的動能和圍繞質(zhì)心旋轉(zhuǎn)的動能兩部分。,剛體的動能,慣量張量是對稱的矩陣。 在本體坐標(biāo)系中計算慣量張量，其分量保持不變。 慣量張量給出了剛體的力學(xué)性質(zhì)，用于計算角動量和動能十分便利。 慣量張量對角項(xiàng)總為正（0），稱為相應(yīng)的軸的轉(zhuǎn)動慣量，非對角項(xiàng)稱為慣量積，對于對稱情況，慣量積為0。 由于動能的非負(fù)性質(zhì)，慣量張量也是非負(fù)的二次型矩陣。特別地，當(dāng)慣量張量只有對角項(xiàng)不為0時，3個對角項(xiàng)都必須是非負(fù)的。,慣量張量的一些性質(zhì),一般情況下，角動量 L 的方向并不與角速度 w方向平行。只在特殊情況下兩者平行： 滿足這種條件的軸的方向稱為主軸方向，這個條件也等價于求方程的非零解，因此，要求線性方程組的系數(shù)行列式為0： 行列式為0的條件得到了關(guān)于 l 的一元三次方程，有3個解，都是非負(fù)的實(shí)數(shù)：,慣量張量的主軸,同時，l 也是慣量張量矩陣的本征值，非0解 w 的方向向量即為該本征值對應(yīng)的本征向量。由于慣量張量是對稱的，不同的本征值對應(yīng)的本征向量彼此垂直： 相同的本征值時（重根），它們的本征向量的線性組合也是本征向量，可在它們線性組合構(gòu)成的平面內(nèi)找到兩個相垂直的本征向量。,慣量張量的本征值和本征向量,以3個相互垂直的本征向量方向?yàn)檩S向建立本體直角坐標(biāo)系，即本征向量坐標(biāo)系，此時有 同樣處理另外兩個方向，可得慣量張量為對角陣,本征向量坐標(biāo)系中的慣量張量,一般情況下，本體坐標(biāo)系并非本征向量坐標(biāo)系，但可以通過一次旋轉(zhuǎn)，從本征向量坐標(biāo)系（不帶撇）變換到一般的本體坐標(biāo)系（帶撇）。旋轉(zhuǎn)矩陣R為歸一化的3個本征列向量并排排列得到。 旋轉(zhuǎn)矩陣R滿足正交歸一的條件，其逆矩陣即為自身的轉(zhuǎn)置。,本體坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換,第26次課,慣量張量的對角項(xiàng)是轉(zhuǎn)動慣量，特別是取本征向量坐標(biāo)系時，慣量張量只有對角項(xiàng)的轉(zhuǎn)動慣量不為零。當(dāng)質(zhì)心不在轉(zhuǎn)軸上時，有平行軸定理 均勻?qū)ΨQ簡單幾何體的轉(zhuǎn)動慣量為 這里 Lx Ly 是物體在x和y方向的尺度。N是與幾何體形狀有關(guān)的正整數(shù)（方3，圓4，球5）。,轉(zhuǎn)動慣量,轉(zhuǎn)動慣量的計算,定義任意方向的轉(zhuǎn)動慣量 I 使得剛體繞該方向軸線轉(zhuǎn)動時，動能為 轉(zhuǎn)動慣量 I 與方向有關(guān)，當(dāng)然與角速度大小無關(guān)。沿軸線方向截取長度為 的點(diǎn)，當(dāng)方向變動時，該點(diǎn)的軌跡就是一個橢球面： 這即為慣量橢球。,慣量橢球,利用主軸方向的3個主轉(zhuǎn)動慣量，可方便地構(gòu)建慣量橢球。 對于任意方向，從慣量橢球面到中心的距離 d，可得到轉(zhuǎn)動慣量 I=d-2 從而可計算動能T=I w2/2。 角動量的方向就是橢球面的法線方向。事實(shí)上，沿著橢球面法線方向即為橢球方程左端的梯度方向： 慣量橢球是較