鄭忠喜量子力學.ppt

4 Schrodinger 方程,（一） 引 言 （二） 自由粒子滿足的方程 （三） 勢場 V (r) 中運動的粒子 （四） 多粒子體系的Schrodinger方程,這些問題在1926年Schrodinger 提出了波動方程之后得到了圓滿解決。,微觀粒子量子狀態(tài)用波函數(shù)完全描述，波函數(shù)確定之后，粒子的任何一個力學量的平均值及其測量的可能值和相應的幾率分布也都被完全確定，波函數(shù)完全描寫微觀粒子的狀態(tài)。因此量子力學最核心的問題就是要解決以下兩個問題：,(1)在各種情況下，找出描述系統(tǒng)的各種可能的波函數(shù)； (2)波函數(shù)如何隨時間演化。,（一） 引 言,（一） 自由粒子滿足的方程,將上式對 t 微商，得：,(1)(2)式,(1)(2)式,（二）勢場 V(r) 中運動的粒子,該方程稱為 Schrodinger 方程，也常稱為波動方程。,（三）多粒子體系的 Schrodinger 方程,設體系由 N 個粒子組成， 質量分別為 i (i = 1, 2,., N) 體系波函數(shù)記為 ( r1, r2, ., rN ; t) 第i個粒子所受到的外場 Ui(ri) 粒子間的相互作用 V(r1, r2, ., rN) 則多粒子體系的 Schrodinger 方程可表示為：,多粒子體系 Hamilton 量,對有 Z 個電子的原子，電子間相互作用為 Coulomb 排斥作用：,而原子核對第 i 個電子的 Coulomb 吸引能為：,假定原子核位于坐標原點，無窮遠為勢能零點。,例如：,（一） 定域幾率守恒,考慮低能非相對論實物粒子情況，因沒有粒子的產生和湮滅問題，粒子數(shù)保持不變。對一個粒子而言，在全空間找到它的幾率總和應不隨時間改變，即,在討論了狀態(tài)或波函數(shù)隨時間變化的規(guī)律后，我們進一步討論粒子在一定空間區(qū)域內出現(xiàn)的幾率將怎樣隨時間變化。粒子在 t 時刻 r 點周圍單位體積內粒子出現(xiàn)的幾率即幾率密度是：,5 粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律,證：,考慮 Schrodinger 方程及其共軛式：,取共軛,在空間閉區(qū)域中將上式積分，則有：,閉區(qū)域上找到粒子的總幾率在單位時間內的增量,J是幾率流密度，是一矢量。,所以(7)式是幾率（粒子數(shù)）守恒的積分表示式。,令 Eq.（7）趨于 ，即讓積分對全空間進行，考慮到任何真實的波函數(shù)應該是平方可積的，波函數(shù)在無窮遠處為零，則式右面積分趨于零，于是 Eq.（7）變?yōu)椋?其微分形式與流體力學中連續(xù)性方程的形式相同,使用 Gauss 定理,單位時間內通過的封閉表面 S 流入（面積分前面的負號）內的幾率,討論：,表明，波函數(shù)歸一化不隨時間改變，其物理意義是粒子既未產生也未消滅。,（1） 這里的幾率守恒具有定域性質，當空間某處幾率減少了，必然另外一些地方幾率增加，使總幾率不變，并伴隨著某種流來實現(xiàn)這種變化。,同理可得量子力學的電荷守恒定律：,表明電荷總量不隨時間改變,（二）再論波函數(shù)的性質,1. 由 Born 的統(tǒng)計解釋可知，描寫粒子的波函數(shù)已知后，就知道了粒子在空間的幾率分布，即 d (r, t) = |(r, t)|2 d 2. 已知 (r, t)， 則任意力學量的平均值、可能值及相應的幾率就都知道了，也就是說，描寫粒子狀態(tài)的一切力學量就都知道了。所以波函數(shù)又稱為狀態(tài)波函數(shù)或態(tài)函數(shù)。 3.知道體系所受力場和相互作用及初始時刻體系的狀態(tài)后，由Schrodinger方程即可確定以后時刻的狀態(tài)。,（1）波函數(shù)完全描述粒子的狀態(tài),（2）波函數(shù)標準條件,1. 根據(jù)Born統(tǒng)計解釋 (r, t) = *(r, t) (r, t)是粒子在t時刻出現(xiàn)在 r點的幾率，這是一個確定的數(shù)，所以要求(r, t)應是 r, t的單值函數(shù)且有限。,式右含有及其對坐標一階導數(shù)的積分，由于積分區(qū)域是任意選取的，所以S是任意閉合面。要是積分有意義，必須在變數(shù)的全部范圍，即空間任何一點都應是有限、連續(xù)且其一階導數(shù)亦連續(xù)。,2.根據(jù)粒子數(shù)守恒定律 :,概括之，波函數(shù)在全空間每一點通常應滿足單值、有限、連續(xù)三個條件，該條件稱為波函數(shù)的標準條件。,6 定態(tài)Schrodinger方程,（一）定態(tài)Schrodinger方程 （二）Hamilton算符和能量本征值方程 （三）求解定態(tài)問題的步驟 （四）定態(tài)的性質,（一）定態(tài)Schrodinger方程,現(xiàn)在讓我們討論 有外場情況下的定態(tài) Schrodinger 方程：,令：,于是：,V(r)與t無關時，可以分離變量,等式兩邊是相互無關的物理量，故應等于與 t, r 無關的常數(shù),該方程稱為定態(tài) Schrodinger 方程，(r)也可稱為定態(tài)波函數(shù)，或可看作是t=0時刻(r,0)的定態(tài)波函數(shù)。,此波函數(shù)與時間t的關系是正弦型的，其角頻率=2E/h。 由de Broglie關系可知： E 就是體系處于波函數(shù)(r,t)所描寫的狀態(tài)時的能量。也就是說，此時體系能量有確定的值，所以這種狀態(tài)稱為定態(tài)，波函數(shù)(r,t)稱為定態(tài)波函數(shù)。,（1）一個算符作用于一個函數(shù)上得到一個常數(shù)乘以該函數(shù)這與數(shù)學物理方法中的本征值方程相似。 數(shù)學物理方法中：微分方程 + 邊界條件構成本征值問題；,（2）量子力學中：波函數(shù)要滿足三個標準條件，對應數(shù)學物理方法中的邊界條件，稱為波函數(shù)的自然邊界條件。因此在量子力學中稱與上類似的方程為本征值方程。常量 E 稱為算符 H 的本征值；稱為算符 H 的本征函數(shù)。 （3）由上面討論可知，當體系處于能量算符本征函數(shù)所描寫的狀態(tài)（簡稱能量本征態(tài)）時，粒子能量有確定的數(shù)值，這個數(shù)值就是與這個本征函數(shù)相應的能量算符的本征值。,（二）Hamilton算符和能量本征值方程,（三）定態(tài)的性質,（2）幾率流密度與時間無關,（1）粒子在空間幾率密度與時間無關,綜上所述，當滿足下列三個等價條件中的任何一個時，就