2018_2019學年高中數(shù)學第二章圓錐曲線與方程2.2雙曲線2.2.1雙曲線及其標準方程講義含解析新人教A版.docx

22.1雙曲線及其標準方程預習課本P4548，思考并完成以下問題 1平面內滿足什么條件的點的軌跡是雙曲線？雙曲線的焦點、焦距分別是什么？2什么是雙曲線的標準方程？1雙曲線的定義把平面內與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距點睛平面內到兩定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值為非零常數(shù)，即|MF1|MF2|2a，關鍵詞“平面內”當2a|F1F2|時，軌跡不存在2雙曲線的標準方程焦點在x軸上焦點在y軸上標準方程1(a0，b0)1(a0，b0)圖形焦點坐標F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，c)，F(xiàn)2(0，c)a，b，c的關系c2a2b2點睛(1)標準方程的代數(shù)特征：方程右邊是1，左邊是關于x，y的平方差，并且分母大小關系不確定(2)a，b，c三個量的關系：標準方程中的兩個參數(shù)a和b，確定了雙曲線的形狀和大小，是雙曲線的定形條件，這里b2c2a2，與橢圓中b2a2c2相區(qū)別，且橢圓中ab0，而雙曲線中，a，b大小不確定1判斷下列命題是否正確(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)平面內到兩定點的距離的差等于常數(shù)(小于兩定點間距離)的點的軌跡是雙曲線()(2)在雙曲線標準方程1中，a0，b0且ab()(3)雙曲線標準方程中，a，b的大小關系是ab()答案：(1)(2)(3)2已知雙曲線1，則雙曲線的焦點坐標為()A(，0)，(，0)B(5,0)，(5,0)C(0，5)，(0,5) D(0，)，(0，)答案：B3平面內有兩個定點F1(5,0)和F2(5,0)，動點P滿足|PF1|PF2|6，則動點P的軌跡方程是()A.1(x4) B.1(x3)C.1(x4) D.1(x3)答案：D4雙曲線的兩焦點坐標是F1(0,3)，F(xiàn)2(0，3)，b2，則雙曲線的標準方程是_答案：1雙曲線標準方程的認識典例已知方程1對應的圖形是雙曲線，那么k的取值范圍是()Ak5Bk5或2k2或k2 D2k0.即或解得k5或2k2.答案B雙曲線方程的辨識方法將雙曲線的方程化為標準方程的形式，假如雙曲線的方程為1，則當mn0時，方程表示雙曲線若則方程表示焦點在x軸上的雙曲線；若則方程表示焦點在y軸上的雙曲線活學活用1已知雙曲線1，焦點在y軸上，若焦距為4，則a等于()A.B5C7 D.解析：選D根據(jù)題意可知，雙曲線的標準方程為1.由其焦距為4，得c2，則有c22a3a4，解得a.2在方程mx2my2n中，若mn0，則方程所表示的曲線是()A焦點在x軸上的橢圓 B焦點在x軸上的雙曲線C焦點在y軸上的雙曲線 D焦點在y軸上的橢圓解析：選C方程mx2my2n可化為1.由mn0知0，b0)，則有a2b2c28，1，解得a23，b25.故所求雙曲線的標準方程為1.1求雙曲線標準方程的步驟(1)定位：是指確定與坐標系的相對位置，在標準方程的前提下，確定焦點位于哪條坐標軸上，以確定方程的形式(2)定量：是指確定a2，b2的數(shù)值，常由條件列方程組求解2雙曲線標準方程的兩種求法(1)定義法：根據(jù)雙曲線的定義得到相應的a，b，c，再寫出雙曲線的標準方程(2)待定系數(shù)法：先設出雙曲線的標準方程1或1(a，b均為正數(shù))，然后根據(jù)條件求出待定的系數(shù)代入方程即可注意若焦點的位置不明確，應注意分類討論，也可以設雙曲線方程為mx2ny21的形式，注意標明條件mn0. 活學活用根據(jù)下列條件，求雙曲線的標準方程(1)與雙曲線1有公共焦點，且過點(3，2)；(2)雙曲線過兩點P，Q.解：(1)設雙曲線的標準方程為1(4k16)將點(3，2)代入，解得k4或k14(舍去)，雙曲線的標準方程為1.(2)設所求雙曲線方程為Ax2By21(AB0)點，在雙曲線上，解得雙曲線的標準方程為1.雙曲線定義的應用典例已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線1的左、右焦點，若P是雙曲線左支上的點，且|PF1|PF2|32.試求F1PF2的面積解因為P是雙曲線左支上的點，所以|PF2|PF1|6，兩邊平方得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36，所以|PF1|2|PF2|2362|PF1|PF2|36232100.在F1PF2中，由余弦定理，得cosF1PF20，所以F1PF290，所以SF1PF2|PF1|PF2|3216.一題多變1變條件，變設問若本例中雙曲線的標準方程不變，且其上一點P到焦點F1的距離為10.求點P到F2的距離解：由雙曲線的標準方程1，得a3，b4，c5.由雙曲線定義得|PF1|PF2|2a6，|10|PF2|6，解得|PF2|4或|PF2|16.2變條件若本例條件“|PF1|PF2|32”改成“|PF1|PF2|25”其它條件不變，求F1PF2的面積解：由|PF1|PF2|25，|PF2|PF1|6，可知|PF2|10，|PF1|4，SF1PF2448.在解決雙曲線中與焦點有關的問題時，要注意定義中的條件|PF1|PF2|2a的應用；與三角形有關的問題要考慮正、余弦定理、勾股定理等另外在運算中要注意一些變形技巧和整體代換思想的應用 層級一學業(yè)水平達標1已知F1(8,3)，F(xiàn)2(2,3)，動點P滿足|PF1|PF2|10，則P點的軌跡是()A雙曲線B雙曲線的一支C直線 D一條射線解析：選DF1，F(xiàn)2是定點，且|F1F2|10，所以滿足條件|PF1|PF2|10的點P的軌跡應為一條射線2橢圓1與雙曲線1有相同的焦點，則a的值是()A. B1或2C1或 D1解析：選D依題意知解得a1.3焦點分別為(2,0)，(2,0)且經過點(2,3)的雙曲線的標準方程為()Ax21 B.y21Cy21 D.1解析：選A由雙曲線定義知，2a532，a1.又c2，b2c2a2413，因此所求雙曲線的標準方程為x21.4“0k3”是“方程1表示雙曲線”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選A0k3，方程1表示雙曲線；反之，方程1表示雙曲線，(k1)(k5)0，解得1k5.故“0k0，b0)，則c，即a2b25.設P(x，y)，由線段PF1的中點坐標為(0,2)，可知得即點P的坐標為(，4)，代入雙曲線方程，得1.聯(lián)立，得a21，b24，即雙曲線的標準方程為x21.故選B.6設m是常數(shù)，若點F(0,5)是雙曲線1的一個焦點，則m_.解析：由點F(0,5)可知該雙曲線1的焦點落在y軸上，所以m0，且m952，解得m16.答案：167設點P在雙曲線1上，F(xiàn)1，F(xiàn)2為雙曲線的兩個焦點，且|PF1|PF2|13，則F1PF2的周長等于_解析：由題意知|F1F2|210，|PF2|PF1|6，又|PF1|PF2|13，|PF1|3，|PF2|9，F(xiàn)1PF2的周長為391022.答案：228已知定點A，B且|AB|4，動點P滿足|PA|PB|3，則|PA|的最小值為_解析：如圖所示，點P是以A，B為焦點的雙曲線的右支上的點，當P在M處時，|PA|最小，最小值為ac2.答案：9求適合下列條件的雙曲線的標準方程：(1)a2，經過點A(2，5)，焦點在y軸上；(2)與橢圓1有共同的焦點，它們的一個交點的縱坐標為4.解：(1)因為雙曲線的焦點在y軸上，所以可設雙曲線的標準方程為1(a0，b0)由題設知，a2，且點A(2，5)在雙曲線上，所以解得故所求雙曲線的標準方程為1.(2)橢圓1的兩個焦點為F1(0，3)，F(xiàn)2(0,3)，雙曲線與橢圓的一個交點為(，4)(或(，4)設雙曲線的標準方程為1(a0，b0)，則解得故所求雙曲線的標準方程為1.10已知雙曲線過點(3，2)且與橢圓4x29y236有相同的焦點(1)求雙曲線的標準方程；(2)若點M在雙曲線上，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線的左、右焦點，且|MF1|MF2|6，試判斷MF1F2的形狀解：(1)橢圓的方程可化為1，焦點在x軸上，且c.故可設雙曲線方程為1(a0，b0)依題意得解得a23，b22.故雙曲線的標準方程為1.(2)不妨設M在雙曲線的右支上，則有|MF1|MF2|2.又|MF1|MF2|6，解得|MF1|4，|MF2|2.又|F1F2|2c2，因此在MF1F2中，|MF1|邊最長，由余弦定理可得cosMF2F10.所以MF2F1為鈍角，故MF1F2是鈍角三角形層級二應試能力達標1已知F1(5,0)，F(xiàn)2(5,0)，動點P滿足|PF1|PF2|2a，當a分別為3和5時，點P的軌跡分別為()A雙曲線和一條直線B雙曲線和一條射線C雙曲線的一支和一條射線D雙曲線的一支和一條直線解析：選C依題意，得|F1F2|10.當a3時，|PF1|PF2|2a6|F1F2|，可知點P的軌跡為雙曲線的右支；當a5時，|PF1|PF2|2a10|F1F2|，可知點P的軌跡為以F2為端點的一條射線故選C.2已知雙曲線過點P1和P2，則雙曲線的標準方程為()A.1B.1C.1 D.1解析：選B因為雙曲線的焦點位置不確定，所以設雙曲線的方程為mx2ny21(mn0)，則1，所以y，即|AF1|.又|AF2|AF1|2a24，所以|AF2|24.即所求距離分別為，.答案：，7已知ABC的兩個頂點A，B分別為橢圓x25y25的左焦點和右焦點，且三個內角A，B，C滿足關系式sin Bsin Asin C.(1)求線段AB的長度；(2)求頂點C的軌跡方程解：(1)將橢圓方程化為標準形式為y21.a25，b21，c2a2b24，則A(2,0)，B(2,0)，|AB|4.(2)sin Bsin Asin C，由正弦定理得|CA|CB|AB|21)8設圓C與兩圓(x)2y24，(x)2y24中的一個內切，另一個外切(1)求C的圓心軌跡L的方程；(2)已知點M，F(xiàn)(，0)，且P為L上動點求|MP|FP|的最大值解：(1)兩圓的圓心分別為A(，