經(jīng)濟數(shù)學44換元積分法.ppt

,ESC,4.4 換元積分法,4.4 換元積分法,不定積分的第一換元積分法（湊微分法）,不定積分的第二換元積分法及定積分的換元積分法,ESC,這是因為,例如,所以,換元 積分法,要解決上述問題,可進行適當?shù)淖兞刻鎿Q,在利用基本積分公式對被積函數(shù) 求不定積分 時,要求積分變量 與被積函數(shù) 中的元(即 )必須嚴格對 應(yīng).只有這樣才能直接積分.否則,就不能利用直接積分法.,一、 第一換元積分法,ESC,這是因為,例如,的原函數(shù).,不是,換元 積分法,所以,令,則,被積函數(shù),被積表達式,所以,換元 積分法,一、第一換元積分法,ESC,換元 積分法,令,則,由于,即 是 的原函數(shù).所求不定積分是正確的.,上述方法具有普遍性,是否正 確呢?,一、第一換元積分法,ESC,分析,案例1,求不定積分,微分法,積分法,對于復(fù)合函數(shù),令,則,對 的導數(shù)為,將上式右端求不定積分:,復(fù)合函 數(shù)導數(shù),以上積 分過程,一、第一換元積分法,ESC,第一換元 積分法,設(shè),若 是可微函數(shù), 則有,一、第一換元積分法,ESC,換元積分法公式,這是 的函數(shù),案例的計算過程,這是 的函數(shù),這是 的導數(shù),這是 的導數(shù),一、第一換元積分法,例1,求,解,ESC,被積函數(shù)是兩個因子: 和 的乘積,注意到,視,則,的函數(shù),而因子,設(shè),則,于是,可用換元 積分法,一、第一換元積分法,例2,求,解,ESC,被積函數(shù)是兩個因子: 和 的乘積,視,于是被積函數(shù)具有形式,則,于是,可用換元 積分法,因,設(shè),一、第一換元積分法,例2,求,解,ESC,被積函數(shù)是兩個因子: 和 的乘積,視,于是被積函數(shù)具有形式,可用換元 積分法,因,本例可不設(shè)出中間變量 ,按如下格式書寫:,一、第一換元積分法,例3,求,解,ESC,因,且,若視,則,可用換元 積分法,一、第一換元積分法,例4,求,解,ESC,若視,則,可用換元 積分法,注意到 是線性函數(shù),是線性函數(shù) 的函數(shù),即,一、第一換元積分法,例5,解,ESC,于是,用降冪公式,求,并注意到,由不定積分 的運算性質(zhì),由換元 積分法,一、第一換元積分法,例6,解,ESC,求 ,一、第一換元積分法,ESC,解,求 ,例7,一、第一換元積分法,ESC,用類似的方法還可以求得,一、第一換元積分法,ESC,例8 求 ,解 由于 ，所以,一、第一換元積分法,ESC,例9 求,解,一、第一換元積分法,ESC,例10 求 ,解 因為 ，而 ,所以,一、第一換元積分法,ESC,一、第一換元積分法,ESC,例11 求,解,一、第一換元積分法,ESC,解,例12 求,一、第一換元積分法,ESC,例13,解法一,解法二,一、第一換元積分法,ESC,例14 求 ,解 因為 ，所以,一、第一換元積分法,ESC,一、第一換元積分法,ESC,例15 求 ,解,(利用例14的結(jié)果),一、第一換元積分法,ESC,一、第一換元積分法,ESC,一、第一換元積分法,案例2,計算定積分,注意到,本案例是求定積分.在用牛頓萊布尼茨公式之前,需先求出被積函數(shù)的一個原函數(shù).,有,于是,由牛頓萊 布尼茨公式,ESC,一、第一換元積分法,案例2,計算定積分,本案例一般按下 面的方式書寫,由牛頓萊 布尼茨公式,ESC,一、第一換元積分法,例16,計算定積分,由于,解,故,由牛頓萊 布尼茨公式,ESC,練習：求下列不定積分 1. 2. 3. 4. 5. 6.,一、第一換元積分法,ESC,二、第二換元積分法,第二換元 積分法,如果不定積分 不易直接應(yīng)用基本積分表計算，也可以引入新變量 ，并選擇代換 ，其中 可導，且 連續(xù)，將不定積分 化為,ESC,二、第二換元積分法,ESC,二、第二換元積分法,這類求不定積分的方法，稱為第二類換元法,例17 求,解 設(shè) ，則 ， ,ESC,二、第二換元積分法,應(yīng)注意，在最后的結(jié)果中必須代入 ，返回到原積分變量 ,ESC,二、第二換元積分法,計算 定積分,案例3,本案例是求定積分.在用牛頓萊布尼茨公式之前,需先求出被積函數(shù)的一個原函數(shù).,令,得,則,為去掉被積函 數(shù)中的根式,當 時,當 時,于是,例18,解,ESC,二、第二換元積分法,計算定積分,令,得,則,當 時,當 時,于是,出新元, 換新限; 新元不出現(xiàn), 上下限不變.,例19,解,ESC,二、第二換元積分法,計算 定積分,當 時,在4.1例2中,我們已由定 積分的幾何意義得到該定積 分的結(jié)果,令,得,當 時,由偶函數(shù)在對稱區(qū) 間上定積分的結(jié)論,這里用換元積分法計算該定積分.,解,ESC,二、第二換元積分法,令,當 時,因,例20,計算 定積分,得,當 時,例19、例20的被積函數(shù)中均含有根式,都是通過變量換元使被積函數(shù)有理化,從而求得積分結(jié)果.按被積函數(shù)所含根式的形式可歸納為如下一般情況,ESC,二、第二換元積分法,被積函數(shù)含有根式( ):,ESC,二、第二換元積分法,被積函數(shù)含有根式( ):,“出新元 , 換新限 !” “新元不出現(xiàn) , 上下限不變.”,ESC,內(nèi)容小結(jié),一、應(yīng)用第一類換元法的常見的積分類型如下：,ESC,內(nèi)容小結(jié),ESC,內(nèi)容小結(jié),ESC,內(nèi)容小結(jié),二、本節(jié)一些例題的結(jié)果，可以當做公式使用將這些常用的積分公式列舉如下：,(1) .,(2) .,(3) ,ESC,內(nèi)容小結(jié),(4) (5) ,(6) ,ESC,內(nèi)容小結(jié),(7) ,(8) ,ESC,內(nèi)容小結(jié),三、第二換元積分法,第一類換元法解決的問題,易求,難求,若所求積分,易求,則得第二類換元積分法 .,難求,ESC,內(nèi)容小結(jié),第二類換元