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可加性評價函數(shù)及其判別* 本文受燕山大學(xué)博士科研啟動基金資助劉新建* 劉新建，1963年生，工學(xué)博士，燕山大學(xué)經(jīng)濟管理學(xué)院副教授，主要研究方向：投入產(chǎn)出技術(shù)與系統(tǒng)評價。E-mail： （燕山大學(xué)經(jīng)濟管理學(xué)院，秦皇島，）摘要 本文首先提出了系統(tǒng)評價模式的基本分類：總和評價模式、因果評價模式和果因評價模式，在此基礎(chǔ)上指出，評價函數(shù)形式選擇的首要問題不是線性和非線性的選擇，而是加型函數(shù)和非加型函數(shù)的選擇。然后，用無相互作用概念給出了可加性評價函數(shù)的一個判別定理，即:當(dāng)各評價指標(biāo)對總指標(biāo)是無相互作用時, 其評價函數(shù)是加型函數(shù)。關(guān)鍵詞 系統(tǒng)評價 評價函數(shù) 非線性 可加性 1 引言在系統(tǒng)評價的理論與實踐中,評價函數(shù)的線性和非線性選擇一直是人們討論的一個焦點問題，如有加權(quán)算術(shù)平均法和加權(quán)幾何平均法之說1，但是,我們的研究結(jié)果表明, 問題的實質(zhì)是評價函數(shù)的可加性與非可加性選擇。王雪標(biāo)等最近給出了評價函數(shù)可以表示為評價指標(biāo)的線性組合的充要條件2,本文的可加性概念對其有所擴展。2 評價模式的三種基本類型對于各種各樣的綜合評價模式，我們可以將其概括為三種基本類型：總和評價模式、因果評價模式和果因評價模式。很顯然, 這種分類是根據(jù)總指標(biāo)與評價指標(biāo)之間的綜合關(guān)系即因果關(guān)系的類型做出的。所謂總和評價模式,即在總指標(biāo)與評價指標(biāo)之間不存在直接的因果關(guān)系, 總指標(biāo)的評價值簡單地等于各評價指標(biāo)取值的和。 例如, 高考總分等于各科成績之和, 國民經(jīng)濟總產(chǎn)值等于各部門總產(chǎn)值之和。 所謂因果評價模式, 即總指標(biāo)的評價值是由其形成原因的各個因素作為評價指標(biāo), 根據(jù)它們之間的函數(shù)關(guān)系計算出來。 所謂果因評價模式,與因果評價模式相反, 總指標(biāo)是各評價指標(biāo)的共同結(jié)果之一。由總指標(biāo)與評價指標(biāo)之間的因果關(guān)系可以發(fā)現(xiàn), 它們之間的函數(shù)關(guān)系是線性或非線性, 實質(zhì)上并不是可以任意選擇的, 而是由一定的客觀存在所決定。在科學(xué)實踐中, 它實際是通過一定的實驗或統(tǒng)計數(shù)據(jù)用一定的統(tǒng)計學(xué)方法得出的。而且, 這種關(guān)系的線性或非線性是與指標(biāo)的量化定義模式有關(guān)的。例如物理學(xué)中,若改變溫度的量化定義, 許多物理定律的簡單性特征就會失去。在一般系統(tǒng)評價尤其是社會系統(tǒng)評價中, 主觀評價因素影響很大, 指標(biāo)的量化定義模式具有很大的任意性, 所以, 評價函數(shù)的線性或非線性特征很難直接判定。但是, 根據(jù)評價因子之間的因果特征, 我們可以比較規(guī)范地判別評價函數(shù)的可加性。下面,我們就因果評價模式討論其評價函數(shù)的可加性問題。3 已有的三種評價函數(shù)形式判別方法關(guān)于評價函數(shù)形式的判別問題, 已提出過一些方法, 此舉三例作為我們提出一般判別原理的基礎(chǔ)。方法一 直觀法.如果各評價指標(biāo)之間是相互補充，例如各部門產(chǎn)值對總產(chǎn)值，就是線性形式；如果是相互作用，例如技術(shù)與管理對總產(chǎn)出，就用“非線性形式”。方法二 正交試驗分析（或方差分析） 3 在正交試驗?zāi)Ｐ椭校ㄒ詢梢蛩貫槔?，認為：如果因素與因素之間存在交互作用，則試驗結(jié)果由下式表示： ()如果與之間不存在交互作用，則試驗結(jié)果由下式表示： ()顯然，（）式中的不是和的可加性函數(shù)，否則就變成了（）式。方法三 效用無差異判別法。文獻4在效用理論下給出了一個更形式化的判別準則，現(xiàn)簡要介紹如下：定義（全集），則每一個的元素是一個維向量。定義（對策結(jié)果集），j，。其中可解釋為對策結(jié)果為的概率。定義（集合）：一個結(jié)果對，當(dāng)且僅當(dāng)，且對， (3)這里： , 定義（相互獨立）對給定，說n個是相互獨立的，當(dāng)且僅當(dāng)：在效用意義下，對一切 有 (4)其中表示結(jié)果和在效用意義下是無差異的。如果有一對不滿足（4）式, 那么就認為各在效用意義下是相互依存的。定理 對給定，各在效用意義下相互獨立的充要條件為：對任意,有 (5)其中W1=(.定理 對給定 各在效用意義下相互獨立的充要條件是：存在函數(shù),使對一切xX有 (6)其中表示結(jié)果帶來的效用值。當(dāng)?shù)膮⒄拯c和單位不變時，除相差一個常數(shù)外,各,i=1,2, n是唯一的，即 且. 顯然，這是一種因果評價法，進一步思考我們就會發(fā)現(xiàn)，定義所說的相互獨立并不是通常概率意義下的相互獨立，其獨立的意義在實質(zhì)上指的也是沒有相互作用。4 評價函數(shù)可加性判別定理觀察以上三種關(guān)于可加性結(jié)合的判別原則，第一種雖名為線性與非線性判別, 實質(zhì)上是關(guān)于可加性的判別, 但所說的兩種評價方法屬于不同的評價模式, 前一個屬于總和評價模式,后一個屬于因果評價模式。三種判別方法都指出， 可加性結(jié)合形式的要求條件是：對于產(chǎn)生結(jié)果來說，各指標(biāo)之間是沒有相互作用的。 在以上三種方法的基礎(chǔ)上, 我們給出“無相互作用”的一個形式化定義及可加性評價函數(shù)的判別定理。定義 設(shè)是評價指標(biāo)向量值全集（值域），既表示一個評價指標(biāo)也表示該評價指標(biāo)的值域，是xX產(chǎn)生的結(jié)果。如果對任意一對這樣的,且 有 （7)則稱與其它對是無相互作用的。如果(7)式對任意都成立，則稱對G是無相互作用的。由定義顯然可推出下面的定理：定理 對給定的和G, 對是無相互作用的充要條件是：存在一組，i=1,2,n，對xX有： (8)顯然,定理3也可以作為對G無相互作用的定義。推論：設(shè),i=1,2,n滿足（8）式，則當(dāng)?shù)膮⒄拯c和度量單位都固定時，所有滿足（）式的都屬于下面的集合： (9) 需要注意的是：不要把定義中的無相互作用與概率論中的相互獨立相混淆，這里是在因果評價法意義下定義的。如中的X1與X2可以是概率意義下的相互獨立，但決不能是因果評價法意義下的無相互作用。5 加法結(jié)合與非加法結(jié)合的實驗判別上述的原理并不能直接用來進行判別，直接判別需要實驗事實。當(dāng)因果評價法是多目標(biāo)決策問題時，定理提供了一種方法。因為，在多目標(biāo)決策中，使每個目標(biāo)都達到他們單獨考慮時的最大值一般是不可能的，所以只好來個折衷，于是就設(shè)立一個總指標(biāo)：效用，這每個指標(biāo)與總指標(biāo)的關(guān)系顯然是因果關(guān)系。根據(jù)定理，各目標(biāo)之間有無相互作用的判別的基本思想是：想象有兩種決策方案，第一種決策方案可能得到的各目標(biāo)結(jié)果是，第二種方案的可能結(jié)果是，此（W1,W2）滿足集合的元素的條件。然后讓決策者對這兩個方案進行總體評價：若他認為W1和W2對他是同樣的滿意，就認為各目標(biāo)在效用上是無相互作用的，因而可用加法結(jié)合形式得到總效用，否則就得用非加法結(jié)合形式。當(dāng)分目標(biāo)個數(shù)較少且各目標(biāo)的取值范圍比較狹窄時，這種方法確實是一種簡潔有效的方法。但是，對于目標(biāo)個數(shù)較多（如大于）和目標(biāo)值域較寬的評價問題，受限于人的直觀判斷能力，這種方法就缺乏現(xiàn)實可行性。另外，有大量評價問題也不適宜轉(zhuǎn)化為風(fēng)險決策問題。對于一般因果評價問題，作為目前可利用的各種實驗判別方法，我認為：結(jié)合方差分析思想，并利用典型樣本建模技術(shù)5，設(shè)計具體的實驗（調(diào)查）方法的路線應(yīng)當(dāng)首先被考慮，其理由有三：(1)對于一般評價變量，人們對典型樣本的判別可靠性是比較高的，當(dāng)最主要的典型點的值確定以后，利用建立起來的評價模式對一般對象進行評價，誤差的范圍就會得到有效控制。(2)方差分析技術(shù)是比較成熟的統(tǒng)計分析技術(shù)，有現(xiàn)成的程序可以利用。當(dāng)然，當(dāng)變量的取值范圍較廣時，經(jīng)典的方差分析技術(shù)是不夠用的，應(yīng)當(dāng)建立一般的效應(yīng)分析技術(shù)。(3)同一數(shù)據(jù)，既可以被用來分析可加性，也可以用來估計已確定的結(jié)合形式的參數(shù)，一舉兩得。6 非加法結(jié)合形式的一種選擇評價實踐中，人們偏好一種指數(shù)結(jié)合形式的非線性評價函數(shù)，即這是受經(jīng)濟學(xué)中生產(chǎn)函數(shù)的啟發(fā)。但是，對這種形式必須注意其限制條件，這里指出:(1)這種形式用于因果評價法時，將其中的評價指標(biāo)看成生產(chǎn)投入要素，看作是產(chǎn)出。(2)注意其函數(shù)性質(zhì):(a)該函數(shù)是一階齊次的,當(dāng)各指標(biāo)的值同時增大相同的倍數(shù)時,總指標(biāo)也增大同樣倍數(shù);(b)當(dāng)單獨一個指標(biāo)以相同幅度連續(xù)增大時,總指標(biāo)的增大額越來越小,即所謂邊際效益遞減;(c)總指標(biāo)對各評價指標(biāo)的彈性系數(shù)對各指標(biāo)分別是一個常數(shù),即: 對評價指標(biāo),有參考文獻1 胡永宏，賀思輝. 綜合評價方法. 科學(xué)出版社，2000：45-522 王雪標(biāo)，龔兆仁，鄭曉薇. 線性綜合評價函數(shù)的充要條件及權(quán)數(shù)的確定. 系統(tǒng)工程理論與實踐，2000，20(10)：58-623 張堯庭，方開泰. 多元統(tǒng)計分析引論.科學(xué)出版社，1982: 379-3974 Fishbbun P.C. Independence in Utility Theory with Whole Product Sets. Operations Research, Jan.-Feb., 1965: 28-455 劉新建. 目標(biāo)策劃與系統(tǒng)評價建模. 載于策劃與策劃支持系統(tǒng).中國經(jīng)濟出版社，1994:269-273Additive Evaluation Function in Systems Evaluation and its DiscriminationLiu Xinjian(School of Economics and Management, Yanshan University, Qinhuangdao, )Abstract At first, this paper gives the basic classification of systems evaluation models-summation model, reasons-result model and results-reason model; then we point out that the problem above all to select an evaluation function form is to select an additive or non-additive function instead of a linear or nonlinear function. At last, we give a discriminate theorem for additive evaluation function that the evaluation function is additive whe