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可加性評(píng)價(jià)函數(shù)及其判別* 本文受燕山大學(xué)博士科研啟動(dòng)基金資助劉新建* 劉新建，1963年生，工學(xué)博士，燕山大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院副教授，主要研究方向：投入產(chǎn)出技術(shù)與系統(tǒng)評(píng)價(jià)。E-mail： （燕山大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，秦皇島，）摘要 本文首先提出了系統(tǒng)評(píng)價(jià)模式的基本分類：總和評(píng)價(jià)模式、因果評(píng)價(jià)模式和果因評(píng)價(jià)模式，在此基礎(chǔ)上指出，評(píng)價(jià)函數(shù)形式選擇的首要問(wèn)題不是線性和非線性的選擇，而是加型函數(shù)和非加型函數(shù)的選擇。然后，用無(wú)相互作用概念給出了可加性評(píng)價(jià)函數(shù)的一個(gè)判別定理，即:當(dāng)各評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)總指標(biāo)是無(wú)相互作用時(shí), 其評(píng)價(jià)函數(shù)是加型函數(shù)。關(guān)鍵詞 系統(tǒng)評(píng)價(jià) 評(píng)價(jià)函數(shù) 非線性 可加性 1 引言在系統(tǒng)評(píng)價(jià)的理論與實(shí)踐中,評(píng)價(jià)函數(shù)的線性和非線性選擇一直是人們討論的一個(gè)焦點(diǎn)問(wèn)題，如有加權(quán)算術(shù)平均法和加權(quán)幾何平均法之說(shuō)1，但是,我們的研究結(jié)果表明, 問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是評(píng)價(jià)函數(shù)的可加性與非可加性選擇。王雪標(biāo)等最近給出了評(píng)價(jià)函數(shù)可以表示為評(píng)價(jià)指標(biāo)的線性組合的充要條件2,本文的可加性概念對(duì)其有所擴(kuò)展。2 評(píng)價(jià)模式的三種基本類型對(duì)于各種各樣的綜合評(píng)價(jià)模式，我們可以將其概括為三種基本類型：總和評(píng)價(jià)模式、因果評(píng)價(jià)模式和果因評(píng)價(jià)模式。很顯然, 這種分類是根據(jù)總指標(biāo)與評(píng)價(jià)指標(biāo)之間的綜合關(guān)系即因果關(guān)系的類型做出的。所謂總和評(píng)價(jià)模式,即在總指標(biāo)與評(píng)價(jià)指標(biāo)之間不存在直接的因果關(guān)系, 總指標(biāo)的評(píng)價(jià)值簡(jiǎn)單地等于各評(píng)價(jià)指標(biāo)取值的和。 例如, 高考總分等于各科成績(jī)之和, 國(guó)民經(jīng)濟(jì)總產(chǎn)值等于各部門(mén)總產(chǎn)值之和。 所謂因果評(píng)價(jià)模式, 即總指標(biāo)的評(píng)價(jià)值是由其形成原因的各個(gè)因素作為評(píng)價(jià)指標(biāo), 根據(jù)它們之間的函數(shù)關(guān)系計(jì)算出來(lái)。 所謂果因評(píng)價(jià)模式,與因果評(píng)價(jià)模式相反, 總指標(biāo)是各評(píng)價(jià)指標(biāo)的共同結(jié)果之一。由總指標(biāo)與評(píng)價(jià)指標(biāo)之間的因果關(guān)系可以發(fā)現(xiàn), 它們之間的函數(shù)關(guān)系是線性或非線性, 實(shí)質(zhì)上并不是可以任意選擇的, 而是由一定的客觀存在所決定。在科學(xué)實(shí)踐中, 它實(shí)際是通過(guò)一定的實(shí)驗(yàn)或統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)用一定的統(tǒng)計(jì)學(xué)方法得出的。而且, 這種關(guān)系的線性或非線性是與指標(biāo)的量化定義模式有關(guān)的。例如物理學(xué)中,若改變溫度的量化定義, 許多物理定律的簡(jiǎn)單性特征就會(huì)失去。在一般系統(tǒng)評(píng)價(jià)尤其是社會(huì)系統(tǒng)評(píng)價(jià)中, 主觀評(píng)價(jià)因素影響很大, 指標(biāo)的量化定義模式具有很大的任意性, 所以, 評(píng)價(jià)函數(shù)的線性或非線性特征很難直接判定。但是, 根據(jù)評(píng)價(jià)因子之間的因果特征, 我們可以比較規(guī)范地判別評(píng)價(jià)函數(shù)的可加性。下面,我們就因果評(píng)價(jià)模式討論其評(píng)價(jià)函數(shù)的可加性問(wèn)題。3 已有的三種評(píng)價(jià)函數(shù)形式判別方法關(guān)于評(píng)價(jià)函數(shù)形式的判別問(wèn)題, 已提出過(guò)一些方法, 此舉三例作為我們提出一般判別原理的基礎(chǔ)。方法一 直觀法.如果各評(píng)價(jià)指標(biāo)之間是相互補(bǔ)充，例如各部門(mén)產(chǎn)值對(duì)總產(chǎn)值，就是線性形式；如果是相互作用，例如技術(shù)與管理對(duì)總產(chǎn)出，就用“非線性形式”。方法二 正交試驗(yàn)分析（或方差分析） 3 在正交試驗(yàn)?zāi)Ｐ椭校ㄒ詢梢蛩貫槔?，認(rèn)為：如果因素與因素之間存在交互作用，則試驗(yàn)結(jié)果由下式表示： ()如果與之間不存在交互作用，則試驗(yàn)結(jié)果由下式表示： ()顯然，（）式中的不是和的可加性函數(shù)，否則就變成了（）式。方法三 效用無(wú)差異判別法。文獻(xiàn)4在效用理論下給出了一個(gè)更形式化的判別準(zhǔn)則，現(xiàn)簡(jiǎn)要介紹如下：定義（全集），則每一個(gè)的元素是一個(gè)維向量。定義（對(duì)策結(jié)果集），j，。其中可解釋為對(duì)策結(jié)果為的概率。定義（集合）：一個(gè)結(jié)果對(duì)，當(dāng)且僅當(dāng)，且對(duì)， (3)這里： , 定義（相互獨(dú)立）對(duì)給定，說(shuō)n個(gè)是相互獨(dú)立的，當(dāng)且僅當(dāng)：在效用意義下，對(duì)一切 有 (4)其中表示結(jié)果和在效用意義下是無(wú)差異的。如果有一對(duì)不滿足（4）式, 那么就認(rèn)為各在效用意義下是相互依存的。定理 對(duì)給定，各在效用意義下相互獨(dú)立的充要條件為：對(duì)任意,有 (5)其中W1=(.定理 對(duì)給定 各在效用意義下相互獨(dú)立的充要條件是：存在函數(shù),使對(duì)一切xX有 (6)其中表示結(jié)果帶來(lái)的效用值。當(dāng)?shù)膮⒄拯c(diǎn)和單位不變時(shí)，除相差一個(gè)常數(shù)外,各,i=1,2, n是唯一的，即 且. 顯然，這是一種因果評(píng)價(jià)法，進(jìn)一步思考我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)，定義所說(shuō)的相互獨(dú)立并不是通常概率意義下的相互獨(dú)立，其獨(dú)立的意義在實(shí)質(zhì)上指的也是沒(méi)有相互作用。4 評(píng)價(jià)函數(shù)可加性判別定理觀察以上三種關(guān)于可加性結(jié)合的判別原則，第一種雖名為線性與非線性判別, 實(shí)質(zhì)上是關(guān)于可加性的判別, 但所說(shuō)的兩種評(píng)價(jià)方法屬于不同的評(píng)價(jià)模式, 前一個(gè)屬于總和評(píng)價(jià)模式,后一個(gè)屬于因果評(píng)價(jià)模式。三種判別方法都指出， 可加性結(jié)合形式的要求條件是：對(duì)于產(chǎn)生結(jié)果來(lái)說(shuō)，各指標(biāo)之間是沒(méi)有相互作用的。 在以上三種方法的基礎(chǔ)上, 我們給出“無(wú)相互作用”的一個(gè)形式化定義及可加性評(píng)價(jià)函數(shù)的判別定理。定義 設(shè)是評(píng)價(jià)指標(biāo)向量值全集（值域），既表示一個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)也表示該評(píng)價(jià)指標(biāo)的值域，是xX產(chǎn)生的結(jié)果。如果對(duì)任意一對(duì)這樣的,且 有 （7)則稱與其它對(duì)是無(wú)相互作用的。如果(7)式對(duì)任意都成立，則稱對(duì)G是無(wú)相互作用的。由定義顯然可推出下面的定理：定理 對(duì)給定的和G, 對(duì)是無(wú)相互作用的充要條件是：存在一組，i=1,2,n，對(duì)xX有： (8)顯然,定理3也可以作為對(duì)G無(wú)相互作用的定義。推論：設(shè),i=1,2,n滿足（8）式，則當(dāng)?shù)膮⒄拯c(diǎn)和度量單位都固定時(shí)，所有滿足（）式的都屬于下面的集合： (9) 需要注意的是：不要把定義中的無(wú)相互作用與概率論中的相互獨(dú)立相混淆，這里是在因果評(píng)價(jià)法意義下定義的。如中的X1與X2可以是概率意義下的相互獨(dú)立，但決不能是因果評(píng)價(jià)法意義下的無(wú)相互作用。5 加法結(jié)合與非加法結(jié)合的實(shí)驗(yàn)判別上述的原理并不能直接用來(lái)進(jìn)行判別，直接判別需要實(shí)驗(yàn)事實(shí)。當(dāng)因果評(píng)價(jià)法是多目標(biāo)決策問(wèn)題時(shí)，定理提供了一種方法。因?yàn)椋诙嗄繕?biāo)決策中，使每個(gè)目標(biāo)都達(dá)到他們單獨(dú)考慮時(shí)的最大值一般是不可能的，所以只好來(lái)個(gè)折衷，于是就設(shè)立一個(gè)總指標(biāo)：效用，這每個(gè)指標(biāo)與總指標(biāo)的關(guān)系顯然是因果關(guān)系。根據(jù)定理，各目標(biāo)之間有無(wú)相互作用的判別的基本思想是：想象有兩種決策方案，第一種決策方案可能得到的各目標(biāo)結(jié)果是，第二種方案的可能結(jié)果是，此（W1,W2）滿足集合的元素的條件。然后讓決策者對(duì)這兩個(gè)方案進(jìn)行總體評(píng)價(jià)：若他認(rèn)為W1和W2對(duì)他是同樣的滿意，就認(rèn)為各目標(biāo)在效用上是無(wú)相互作用的，因而可用加法結(jié)合形式得到總效用，否則就得用非加法結(jié)合形式。當(dāng)分目標(biāo)個(gè)數(shù)較少且各目標(biāo)的取值范圍比較狹窄時(shí)，這種方法確實(shí)是一種簡(jiǎn)潔有效的方法。但是，對(duì)于目標(biāo)個(gè)數(shù)較多（如大于）和目標(biāo)值域較寬的評(píng)價(jià)問(wèn)題，受限于人的直觀判斷能力，這種方法就缺乏現(xiàn)實(shí)可行性。另外，有大量評(píng)價(jià)問(wèn)題也不適宜轉(zhuǎn)化為風(fēng)險(xiǎn)決策問(wèn)題。對(duì)于一般因果評(píng)價(jià)問(wèn)題，作為目前可利用的各種實(shí)驗(yàn)判別方法，我認(rèn)為：結(jié)合方差分析思想，并利用典型樣本建模技術(shù)5，設(shè)計(jì)具體的實(shí)驗(yàn)（調(diào)查）方法的路線應(yīng)當(dāng)首先被考慮，其理由有三：(1)對(duì)于一般評(píng)價(jià)變量，人們對(duì)典型樣本的判別可靠性是比較高的，當(dāng)最主要的典型點(diǎn)的值確定以后，利用建立起來(lái)的評(píng)價(jià)模式對(duì)一般對(duì)象進(jìn)行評(píng)價(jià)，誤差的范圍就會(huì)得到有效控制。(2)方差分析技術(shù)是比較成熟的統(tǒng)計(jì)分析技術(shù)，有現(xiàn)成的程序可以利用。當(dāng)然，當(dāng)變量的取值范圍較廣時(shí)，經(jīng)典的方差分析技術(shù)是不夠用的，應(yīng)當(dāng)建立一般的效應(yīng)分析技術(shù)。(3)同一數(shù)據(jù)，既可以被用來(lái)分析可加性，也可以用來(lái)估計(jì)已確定的結(jié)合形式的參數(shù)，一舉兩得。6 非加法結(jié)合形式的一種選擇評(píng)價(jià)實(shí)踐中，人們偏好一種指數(shù)結(jié)合形式的非線性評(píng)價(jià)函數(shù)，即這是受經(jīng)濟(jì)學(xué)中生產(chǎn)函數(shù)的啟發(fā)。但是，對(duì)這種形式必須注意其限制條件，這里指出:(1)這種形式用于因果評(píng)價(jià)法時(shí)，將其中的評(píng)價(jià)指標(biāo)看成生產(chǎn)投入要素，看作是產(chǎn)出。(2)注意其函數(shù)性質(zhì):(a)該函數(shù)是一階齊次的,當(dāng)各指標(biāo)的值同時(shí)增大相同的倍數(shù)時(shí),總指標(biāo)也增大同樣倍數(shù);(b)當(dāng)單獨(dú)一個(gè)指標(biāo)以相同幅度連續(xù)增大時(shí),總指標(biāo)的增大額越來(lái)越小,即所謂邊際效益遞減;(c)總指標(biāo)對(duì)各評(píng)價(jià)指標(biāo)的彈性系數(shù)對(duì)各指標(biāo)分別是一個(gè)常數(shù),即: 對(duì)評(píng)價(jià)指標(biāo),有參考文獻(xiàn)1 胡永宏，賀思輝. 綜合評(píng)價(jià)方法. 科學(xué)出版社，2000：45-522 王雪標(biāo)，龔兆仁，鄭曉薇. 線性綜合評(píng)價(jià)函數(shù)的充要條件及權(quán)數(shù)的確定. 系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2000，20(10)：58-623 張堯庭，方開(kāi)泰. 多元統(tǒng)計(jì)分析引論.科學(xué)出版社，1982: 379-3974 Fishbbun P.C. Independence in Utility Theory with Whole Product Sets. Operations Research, Jan.-Feb., 1965: 28-455 劉新建. 目標(biāo)策劃與系統(tǒng)評(píng)價(jià)建模. 載于策劃與策劃支持系統(tǒng).中國(guó)經(jīng)濟(jì)出版社，1994:269-273Additive Evaluation Function in Systems Evaluation and its DiscriminationLiu Xinjian(School of Economics and Management, Yanshan University, Qinhuangdao, )Abstract At first, this paper gives the basic classification of systems evaluation models-summation model, reasons-result model and results-reason model; then we point out that the problem above all to select an evaluation function form is to select an additive or non-additive function instead of a linear or nonlinear function. At last, we give a discriminate theorem for additive evaluation function that the evaluation function is additive whe