高等數(shù)學(xué)課件D94幾何應(yīng)用.pptVIP

2019/6/29,高等數(shù)學(xué)課件,第四節(jié),復(fù)習(xí) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,一、空間曲線的切線與法平面,二、曲面的切平面與法線,微分學(xué)的幾何應(yīng)用,第九章,2019/6/29,高等數(shù)學(xué)課件,一、空間曲線的切線與法平面,過點(diǎn) M 與切線垂直的平面稱為曲線在該點(diǎn)的法,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,位置.,空間光滑曲線在點(diǎn) M 處的切線為此點(diǎn)處割線的極限,平面.,點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動(dòng)畫開始或暫停,2019/6/29,高等數(shù)學(xué)課件,1. 曲線方程為參數(shù)方程的情況,切線方程,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2019/6/29,高等數(shù)學(xué)課件,此處要求,也是法平面的法向量,切線的方向向量:,稱為曲線的切向量 .,如個(gè)別為0, 則理解為分子為 0 .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,不全為0,因此得法平面方程,說明: 若引進(jìn)向量函數(shù), 則 ,處的導(dǎo)向量,就是該點(diǎn)的切向量.,2019/6/29,高等數(shù)學(xué)課件,例1.,求圓柱螺旋線,對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的切線方程和法平面方程.,切線方程,法平面方程,即,即,解: 由于,對(duì)應(yīng)的切向量為,在,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束, 故,2019/6/29,高等數(shù)學(xué)課件,2. 曲線為一般式的情況,光滑曲線,當(dāng),曲線上一點(diǎn), 則有,時(shí), 可表示為,處的切向量為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,看成參數(shù)方程,由于,將T擴(kuò)大J倍,2019/6/29,高等數(shù)學(xué)課件,則在點(diǎn),切線方程,法平面方程,有,得,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,記憶小竅門,2019/6/29,高等數(shù)學(xué)課件,也可表為,法平面方程,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2019/6/29,高等數(shù)學(xué)課件,例2. 求曲線,在點(diǎn),M ( 1,2, 1) 處的切線方程與法平面方程.,切線方程,解法1 令,則,即,切向量,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2019/6/29,高等數(shù)學(xué)課件,法平面方程,即,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,解法2. 方程組兩邊對(duì) x 求導(dǎo), 得,解得,方程乘-z加到方程,2019/6/29,高等數(shù)學(xué)課件,切線方程,即,法平面方程,即,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,曲線在點(diǎn) M(1,2, 1) 處有:,切向量,2019/6/29,高等數(shù)學(xué)課件,二、曲面的切平面與法線,設(shè) 有光滑曲面,通過其上定點(diǎn),對(duì)應(yīng)點(diǎn) M,切線方程為,不全為0 .,則 在,且,點(diǎn) M 的切向量為,任意引一條光滑曲線,下面證明:,此平面稱為 在該點(diǎn)的切平面.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束, 上過點(diǎn) M 的任何曲線在該點(diǎn)的切線都,在同一平面上.,2019/6/29,高等數(shù)學(xué)課件,證:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,在 上,得,令,由于曲線 的任意性 ,表明這些切線都在以,為法向量,的平面上 ,從而切平面存在 .,2019/6/29,高等數(shù)學(xué)課件,曲面 在點(diǎn) M 的法向量,法線方程,切平面方程,復(fù)習(xí) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2019/6/29,高等數(shù)學(xué)課件,曲面,時(shí),則在點(diǎn),故當(dāng)函數(shù),法線方程,令,特別, 當(dāng)光滑曲面 的方程為顯式,在點(diǎn),有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)時(shí),切平面方程,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,請(qǐng)注意和全微分的關(guān)系哦！,2019/6/29,高等數(shù)學(xué)課件,法向量,用,將,法向量的方向余弦：,表示法向量的方向角,并假定法向量方向,分別記為,則,向上,復(fù)習(xí) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2019/6/29,高等數(shù)學(xué)課件,例3. 求橢球面,在點(diǎn)(1 , 2 , 3) 處,的切平面及法線方程.,解:,所以球面在點(diǎn) (1 , 2 , 3) 處有:,切平面方程,即,法線方程,法向量,令,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2019/6/29,高等數(shù)學(xué)課件,例4. 確定正數(shù) 使曲面,在點(diǎn),解: 二曲面在 M 點(diǎn)的法向量分別為,二曲面在點(diǎn) M 相切, 故,又點(diǎn) M 在球面上,于是有,相切.,與球面,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束, 因此有,2019/6/29,高等數(shù)學(xué)課件,1. 空間曲線的切線與法平面,切線方程,法平面方程,1) 參數(shù)式情況.,空間光滑曲線,切向量,內(nèi)容小結(jié),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2019/6/29,高等數(shù)學(xué)課件,切線方程,法平面方程,空間光滑曲線,切向量,2) 一般式情況.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2019/6/29,高等數(shù)學(xué)課件,空間光滑曲面,曲面 在點(diǎn),法線方程,1) 隱式情況 .,的法向量,切平面方程,2. 曲面的切平面與法線,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2019/6/29,高等數(shù)學(xué)課件,空間光滑曲面,切平面方程,法線方程,2) 顯式情況.,法線的方向余弦,法向量,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2019/6/29,高等數(shù)學(xué)課件,思考與練習(xí),1. 如果平面,與橢球面,相切,提示: 設(shè)切點(diǎn)為,則,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(二法向量平行),(切點(diǎn)在平面上),(切點(diǎn)在橢球面上),2019/6/29,高等數(shù)學(xué)課件,證明 曲面,上任一點(diǎn)處的,切平面都通過原點(diǎn).,提示: 在曲面上任意取一點(diǎn),則通過此,2. 設(shè) f ( u ) 可微,第七節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,證明原點(diǎn)坐標(biāo)滿足上述方程 .,點(diǎn)的切平面為,2019/6/29,高等數(shù)學(xué)課件,1. 證明曲面,與定直線平行,證: 曲面上任一點(diǎn)的法向量,取定直線的方向向量為,則,(定向量),故結(jié)論成立 .,的所有切平面恒,練習(xí)題,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁