高等數(shù)學(xué),清華大學(xué)出版社.ppt

,“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”,1、割圓術(shù)：,播放,劉徽,一、概念的引入,正六邊形的面積,正十二邊形的面積,正 形的面積,2、截杖問(wèn)題：,“一尺之棰，日截其半，萬(wàn)世不竭”,二、數(shù)列的定義,例如,注意：,1.數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列.可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取,2.數(shù)列是定義域?yàn)檎麛?shù)集合的函數(shù),播放,三、數(shù)列的極限,問(wèn)題:,當(dāng) 無(wú)限增大時(shí), 是否無(wú)限接近于某一確定的數(shù)值?如果是,如何確定?,問(wèn)題:,“無(wú)限接近”意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃它.,通過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:,如果數(shù)列不收斂, 就說(shuō)數(shù)列是發(fā)散的.,注意：,幾何解釋:,其中,數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.,例1,證,所以,注意：,例2,證,所以,說(shuō)明:常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).,小結(jié):,用定義證數(shù)列極限存在時(shí),關(guān)鍵是任意給定 尋找N,但不必要求最小的N.,例3,證,1.唯一性,定理1.3.1 每個(gè)收斂的數(shù)列只有一個(gè)極限.,證,由定義,故收斂數(shù)列極限唯一.,四、數(shù)列極限的性質(zhì),2.有界性,例如,有界,無(wú)界,定理1.3.2 收斂的數(shù)列必定有界.,證,由定義,注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件.,推論 無(wú)界數(shù)列必定發(fā)散.,例4,證,由定義,區(qū)間長(zhǎng)度為1.,不可能同時(shí)位于長(zhǎng)度為1的區(qū)間內(nèi).,3. 數(shù)列及其子數(shù)列的極限關(guān)系,定理 1.3.3,設(shè) 是一個(gè)數(shù)列. 正整數(shù)列 滿(mǎn)足,則稱(chēng)數(shù)列,是數(shù)列,的一個(gè)子數(shù)列.,若數(shù)列 的極限為,則它的任一,子數(shù)列 都以 為極限.,例,證明數(shù)列 發(fā)散.,證明,記,則由,及定理1.3.3知數(shù)列 發(fā)散.,4. 保號(hào)性,設(shè) 且 或,則存在正整數(shù),使當(dāng) 時(shí) 或,設(shè) 且 或,則 或,證明,因,則可取,使得,于是由 知存在正整數(shù),使當(dāng),時(shí)有,即,對(duì)于 的情況也可類(lèi)似地證明.,用反證法,設(shè)若,則由(1)知存在正整數(shù),當(dāng) 時(shí),這與假設(shè) 矛盾.,推論 (保序性),則存在正整數(shù),使當(dāng) 時(shí)有,(1) 設(shè),且,(2) 設(shè),且,則,注意：,例5,證,設(shè),求證,由題設(shè)及定理1.3.4知,若,則有,若,則由 知任給,存在正整數(shù),使當(dāng) 時(shí),從而,即,于是有,總之有,定理 1.3.5 (極限的四則運(yùn)算),設(shè) 是收斂,數(shù)列,則 也都是收斂數(shù)列,且,如果,則 也是收斂數(shù)列, 且,證明,設(shè),(1) 對(duì)任給的,存在正整數(shù),使當(dāng),時(shí)有,又存在正整數(shù),使當(dāng),時(shí)有,于是當(dāng),時(shí)有,對(duì)上述,這就證明了,(2) 由于 收斂, 故有界:,而,對(duì)于任給的,存在正整數(shù),使當(dāng),時(shí)有,又存在正整數(shù),使當(dāng),時(shí)有,于是當(dāng),時(shí)有,這就證明了,(3),先證明當(dāng) 時(shí),對(duì)于,存在正整數(shù),使當(dāng),時(shí)有,此時(shí)有,這表明在 的條件下數(shù)列 中至多有有限,項(xiàng)等于零.,在 的情況下又有,現(xiàn)考慮對(duì)于任意給定的,根據(jù),知存在正整數(shù),使當(dāng),時(shí)有,因此當(dāng),時(shí)有,這表明,再由上述已證明的(2)即得,例 求極限,解,例 求極限,解,由,知,因此,1.3.3 數(shù)列極限存在的條件,1.3.6 （夾逼定理）,證,上兩式同時(shí)成立,例,解,由夾逼定理得,例 證明,證明,令,則當(dāng) 時(shí),且,由此得,即,于是由夾逼定理即得,例,設(shè),求證,證明,先設(shè),則當(dāng) 時(shí),由夾逼定理知,當(dāng) 時(shí),則,于是,因此,令,例,設(shè) 是正整數(shù), 求證,證明,先考慮,設(shè),其中,則,而,故,再考慮任意的正整數(shù),記,則,于是,由此得,例,證明,證明,由,及,利用夾逼定理即得,定理 1.3.7 (單調(diào)有界定理),若數(shù)列,單調(diào)上升,有上界:,則該數(shù)列收斂; 類(lèi)似地, 單調(diào)下降且有下界的數(shù)列,必收斂.,例,設(shè),證明,數(shù)列 的單調(diào)上升性是明顯的,求證 存在.,下面證明其有上界,故由單調(diào)有界定理知 存在.,事實(shí)上,例 證明數(shù)列,收斂, 并求其極限.,證明,設(shè)該數(shù)列的通項(xiàng)為,則它顯然滿(mǎn)足,遞推公式,為了證明其單調(diào)性,考察,根據(jù)此式及,由數(shù)學(xué)歸納法,知數(shù)列 是單調(diào)上升的.,下面證明,顯然,設(shè)若,則,由數(shù)學(xué)歸納法知,根據(jù)單調(diào)有界定理,數(shù)列 收斂.,設(shè)其極限為,則由遞推公式有,對(duì)此式兩端求極限, 得到,解得,根據(jù)極限的保號(hào)性知,注,對(duì)這類(lèi)由遞推公式兩端取極限來(lái)求極限的,題目, 必須首先證明其極限的存在性, 否則會(huì)導(dǎo),致謬誤.,例如,則,若直接對(duì)上式兩端求極限, 就得到,從而,但顯然 不能成立.,例 證明下列兩個(gè)數(shù)列的極限存在且相等:,證明,顯然數(shù)列 是單調(diào)上升的.,又因,即 有上界,故 存在, 記為 ,即,對(duì)于數(shù)列,利用二項(xiàng)式展開(kāi), 有,從而,易知,即數(shù)列 單調(diào)上升.,由式(1.3.7)可以看出,根據(jù)單調(diào)有界定理,存在, 記為,再由極限,的保序性知,另一方面, 由式(1.3.7)知當(dāng) 時(shí),固定,令 對(duì)上式取極限, 得,再令,即得,總之,思考題,證明,要使,只要使,從而由,得,取,當(dāng) 時(shí)，必有 成立,思考題解答,（等價(jià)）,證明中所采用的,實(shí)際上就是不等式,即證明中沒(méi)有采用“適當(dāng)放大” 的值,從而 時(shí)，,僅有 成立，,但不是 的充分條件,反而縮小為,習(xí)題 1.3,1 (1)、(2)、(4)、(5)、(7) (2)、(3)、(5) 4、5、6.,1、割圓術(shù)：,“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”,劉徽,一、概念的引入,1、割圓術(shù)：,“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”,劉徽,一、概念的引入,“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”,1、割圓術(shù)：,劉徽,一、概念的引入,“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”,1、割圓術(shù)：,劉徽,一、概念的引入,“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”,1、割圓術(shù)：,劉徽,一、概念的引入,“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”,1、割圓術(shù)：,劉徽,一、概念的引入,“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”,1、割圓術(shù)：,劉徽,一、概念的引入,“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”,1、割圓術(shù)：,劉徽,一、概念的引入,“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與