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一、可分離變量的微分方程,二、齊次方程,四、變量代換法解方程,第二節(jié) 一階微分方程,三、一階線性微分方程,五、小結與思考題,一、可分離變量的微分方程,可分離變量的微分方程.,解法,為微分方程的解.,分離變量法,例1 求微分方程,解,分離變量,兩端積分,二、齊次方程,的微分方程稱為齊次方程.,2.解法,作變量代換,代入原式,得,可分離變量的方程,1.定義,例4 求解微分方程,微分方程的通解為,解,例5 求解微分方程,解,微分方程的解為,一階線性微分方程的標準形式:,上面方程稱為齊次的.,上面方程稱為非齊次的.,例如,線性的;,非線性的.,三、一階線性微分方程,齊次方程的通解為,1. 一階線性齊次方程,一階線性微分方程的解法,由分離變量法,2. 一階線性非齊次方程,討論,兩邊積分,即非齊次方程通解形式,對照,常數(shù)變易法,把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法.,實質: 未知函數(shù)的變量代換.,作變換,一階線性非齊次微分方程的通解為:,對應齊次方程通解,非齊次方程特解,解,例6,第一步，求相應的齊次方程的通解,解,例6,第二步，常數(shù)變易法求非齊次方程的通解,解,例7,例8,解,方程化為,其中,所以,例9 如圖所示，平行于 軸的動直線被曲 線 與 截下的線段PQ之長數(shù)值上等于陰影部分的面積, 求曲線 .,兩邊求導得,解,解此微分方程,即,所求曲線為,四、利用變量代換求微分方程的解,解,代入原方程,原方程的通解為,例11 用適當?shù)淖兞看鷵Q解下列微分方程:,解,所求通解為,解,分離變量法得,所求通解為,解,代入原式,分離變量法得,所求通解為,另解,（一階線性微分方程）,五、小結,1.可分離變量的微分方程:,分離變量法,（1）分離變量;,（2）兩端積分-隱式通解.,可分離變量的微分方程解法：,3.線性非齊次方程,2.齊次方程,齊次方程的解法,線性非齊次方程的解法,思考題,1.求解微分方程,2.方程,是否為齊次方程?,思考題解答

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