對(duì)“算法初步”在中學(xué)教學(xué)中的一些思考.doc

鹽城師范學(xué)院畢業(yè)論文對(duì)“算法初步”在中學(xué)教學(xué)中的一些思考摘要：當(dāng)算法作為重要內(nèi)容第一次被列入高中數(shù)學(xué)的必修課程時(shí)，曾引起了強(qiáng)烈的反響。如今，算法在中學(xué)的第一輪教學(xué)實(shí)驗(yàn)已經(jīng)結(jié)束了。本文從一個(gè)教材編寫者的角度出發(fā)，匯集了實(shí)驗(yàn)中的一些經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)，并將思考和整理的結(jié)果呈現(xiàn)出來，希望引起更多讀者對(duì)這一議題的研討。關(guān)鍵詞：算法; 算法的教學(xué); 算法的三種基本邏輯結(jié)構(gòu) “算法初步”一章在中學(xué)的第一輪教學(xué)實(shí)驗(yàn)已經(jīng)結(jié)束了。這一首次出現(xiàn)在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中的內(nèi)容，既給一些教師造成了巨大的壓力，成為他們教學(xué)的難點(diǎn)，也激發(fā)了一些教師極大的興趣，為他們發(fā)揮創(chuàng)造力和施展個(gè)人特長(zhǎng)提供了很好的機(jī)會(huì)?？傮w來說，教師們?cè)诮虒W(xué)的過程中一般都投入了很大的精力，也積累了一些成功或失敗的經(jīng)驗(yàn)。作為“算法初步”的編寫者之一，筆者一直密切關(guān)注本章的教學(xué)實(shí)踐，也非常希望已完成本章教學(xué)或正在為此做準(zhǔn)備的教師，都積極參與到本章的教學(xué)研討中來，使“算法初步”在中學(xué)中的教學(xué)得到進(jìn)一步的成熟和完善。本文的目的就是試圖從教材編寫者的角度出發(fā)，對(duì)“算法初步”的教學(xué)做一個(gè)總結(jié)，特別是介紹教學(xué)中一些好的想法和做法，以起到拋磚引玉的作用。一、引入算法的必要性算法的引入在中學(xué)數(shù)學(xué)教師中曾引起過強(qiáng)烈的反響。其中一些教師持不理解的態(tài)度，如有的教師認(rèn)為這些內(nèi)容缺乏“數(shù)學(xué)味”，屬于信息技術(shù)課程的內(nèi)容，因此安排在數(shù)學(xué)課程中是不合適的。筆者在實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，對(duì)于大多數(shù)教師來說，算法的教學(xué)確實(shí)大大加重了他們的教學(xué)負(fù)擔(dān)。但是，算法的引入仍然具有必要性，它理應(yīng)受到“歡迎”，而不是“排斥”。下面，從三個(gè)方面對(duì)在中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)課程中引入算法的必要性做一個(gè)闡述，希望能夠解答一些教師的困惑，提高算法的支持度。(一) 算法是計(jì)算機(jī)科學(xué)的核心就像人類發(fā)明機(jī)器是為了拓展人的生產(chǎn)能力、發(fā)明交通工具是為了拓展人的行動(dòng)能力一樣，計(jì)算機(jī)的發(fā)明是為了將人的抽象思維能力拓展到自身以外。每一天，我們使用計(jì)算機(jī)的電子表格、字處理器、網(wǎng)頁瀏覽器等程序塊來完成各種各樣的任務(wù)。表面看來，計(jì)算機(jī)做的事情非常漂亮，但那只是一種幻覺。計(jì)算機(jī)可以做的所有事情只是非?？焖俚夭僮饔?和0組成的數(shù)字。另一方面，我們?nèi)祟悈s不能用1和0進(jìn)行思考。算法就是將人類的思維能力形式化為計(jì)算機(jī)可以執(zhí)行的步驟，使得若干微小的電子元件代替人類進(jìn)行思考。具體過程是先將解決問題的一系列步驟寫成算法，再翻譯成某種程序設(shè)計(jì)語言在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，就得到了我們每天操作的程序塊。因此，算法是計(jì)算機(jī)科學(xué)的核心，換句話說，算法是計(jì)算機(jī)程序的基礎(chǔ)。沒有算法，計(jì)算機(jī)的存在也就失去了意義。(二) 科學(xué)計(jì)算成為第三種科學(xué)研究方法 隨著社會(huì)和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展與進(jìn)步，科學(xué)的兩大研究方法理論和實(shí)驗(yàn)越來越多地表現(xiàn)出局限性。許多研究的對(duì)象既不可能用理論精確地描述，也不可能通過實(shí)驗(yàn)手段來實(shí)現(xiàn)，而計(jì)算方法與之相比，有其獨(dú)到之處?？茖W(xué)計(jì)算是20世紀(jì)后期才興起的一門學(xué)科，如今已經(jīng)廣泛滲透到生物醫(yī)學(xué)研究、基因工程、太空探測(cè)和每日天氣預(yù)報(bào)等各個(gè)領(lǐng)域。人們利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行模擬和實(shí)驗(yàn)來理解現(xiàn)象，猜測(cè)新的事實(shí)，發(fā)現(xiàn)新的理論，使各個(gè)領(lǐng)域的研究都獲得突破的可能。例如，醫(yī)生想知道病人大腦或其他器官的一些情況，他無法簡(jiǎn)單地將病人解剖來進(jìn)行觀察，但可以利用計(jì)算機(jī)來處理超聲波或磁場(chǎng)共振信號(hào)，并建立可視圖像；經(jīng)濟(jì)學(xué)家想為政府制定經(jīng)濟(jì)政策提供輔助信息，若采用在局部區(qū)域內(nèi)制定實(shí)驗(yàn)性的經(jīng)濟(jì)政策的方法，可能會(huì)給該區(qū)域造成巨大的損失，但通過建立經(jīng)濟(jì)行為的算法模型，模擬各種經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象，則可能得到理想的結(jié)果?？茖W(xué)計(jì)算對(duì)每個(gè)專業(yè)和每個(gè)研究領(lǐng)域都產(chǎn)生了巨大的沖擊。隨著幾乎所有學(xué)科走向定量化和精確化，科學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)也發(fā)生了巨大的變化，產(chǎn)生了一系列計(jì)算性的學(xué)科分支，如計(jì)算幾何、算法數(shù)論、計(jì)算統(tǒng)計(jì)、計(jì)算流體力學(xué)、計(jì)算量子化學(xué)、計(jì)算胚胎學(xué)、計(jì)算地質(zhì)學(xué)、計(jì)算氣象學(xué)、計(jì)算材料科學(xué)、計(jì)算天文學(xué)等等。 現(xiàn)在，科學(xué)計(jì)算繼實(shí)驗(yàn)、理論之后，已經(jīng)成為第三種科學(xué)研究手段。(三) 計(jì)算思維時(shí)代的到來在以規(guī)模化大生產(chǎn)為特征的“機(jī)械時(shí)代”，一般不需要?jiǎng)趧?dòng)者擁有出眾的才華或者獨(dú)特的創(chuàng)意，在這種體制下培養(yǎng)出的人才是“模式化”的、“整齊劃一”的，勞動(dòng)者只需要掌握自己所從事工作的基礎(chǔ)知識(shí)，并按照上級(jí)的指令認(rèn)真做事就可以了。如今，我們的生活方式正在被計(jì)算機(jī)和網(wǎng)絡(luò)所日益改變著。更加重要的是，計(jì)算機(jī)不僅在形式上改變著我們的生活方式，而且從思維的深處改變著我們認(rèn)識(shí)世界、改造世界的方式，對(duì)我們?nèi)绾嗡伎妓鎸?duì)的問題和如何解決問題都產(chǎn)生了深刻的影響。21世紀(jì)是創(chuàng)意與構(gòu)思的時(shí)代，有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的算法思想，幫助他們構(gòu)建算法意識(shí)，以“算法的視角”看待和解決問題，必將有利于他們未來的發(fā)明與創(chuàng)新。 二、數(shù)學(xué)課程中算法的切入點(diǎn)傳統(tǒng)程序設(shè)計(jì)語言的教學(xué)往往存在一個(gè)弊端，即讓學(xué)生過早地糾纏于程序的調(diào)試和實(shí)現(xiàn)，而任何一種程序設(shè)計(jì)語言通常都涉及到大量與技術(shù)問題相關(guān)的煩人細(xì)節(jié)，使得成功編譯和執(zhí)行程序需要花費(fèi)大量的時(shí)間。事實(shí)上，每一種程序設(shè)計(jì)語言都是為特殊的目標(biāo)而創(chuàng)建的，都是將算法轉(zhuǎn)換為計(jì)算機(jī)程序的工具，因此它們之間的差別只是一件小事，算法才是關(guān)鍵所在。在數(shù)學(xué)課程中，算法的教學(xué)更應(yīng)該關(guān)注的是算法對(duì)問題的抽象過程和算法的構(gòu)建過程。在這個(gè)過程中，使學(xué)生著重理解算法的“算理”，同時(shí)體會(huì)算法的程序性、明確性、有效性和有限性等特點(diǎn)，學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)和描述算法以解決實(shí)際問題和與人交流，發(fā)展有條理的思維和表達(dá)能力，提高邏輯判斷能力。因此，在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)該盡力讓學(xué)生在簡(jiǎn)單的計(jì)算機(jī)語言環(huán)境中學(xué)習(xí)算法的基本知識(shí)，而把有效設(shè)計(jì)、實(shí)現(xiàn)、調(diào)試和測(cè)試程序的任務(wù)留給信息技術(shù)等其他課程。從這個(gè)層面上說，在教學(xué)中應(yīng)該把程序框圖作為描述算法的主要工具。 另一方面，進(jìn)行算法的教學(xué)又不能完全脫離計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)。這是因?yàn)椋覀円v的算法不是廣義的解決現(xiàn)實(shí)中一切問題的算法，而是“用計(jì)算機(jī)來解決某一類問題的程序或步驟”。這就要求學(xué)生在設(shè)計(jì)算法時(shí)，調(diào)整以往的解數(shù)學(xué)題的思維方式，設(shè)計(jì)出明確、有效、有限、可以轉(zhuǎn)化為計(jì)算機(jī)程序的算法步驟。同時(shí)，還要理解一些在計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)中所慣用的做法，主要是設(shè)置變量和賦值。例如，在求前100個(gè)正整數(shù)的和的“累加器”中，包含算法步驟“sumsum+n”“nn+1”，它們表示的不是相等，而是賦值過程，但很多學(xué)生在初學(xué)算法時(shí)都難以理解。為了解決這個(gè)問題，可以在進(jìn)行三種基本邏輯結(jié)構(gòu)的教學(xué)時(shí)，結(jié)合具體例子幫助學(xué)生學(xué)習(xí)如何設(shè)置變量和進(jìn)行賦值。三、算法教學(xué)的重點(diǎn)(一) 算法教學(xué)的過程通常，人們?cè)谟糜?jì)算機(jī)解決問題時(shí)，先在頭腦中構(gòu)思一個(gè)算法（這類似于教科書中的用自然語言描述算法），接著畫出程序框圖形象直觀地把算法表達(dá)出來，然后再根據(jù)程序框圖編寫計(jì)算機(jī)程序。我們進(jìn)行算法教學(xué)，也是遵循類似的過程進(jìn)行的。首先，讓學(xué)生在理解算法概念的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)用自然語言描述算法，然后，教學(xué)生畫程序框圖表示算法，最后，讓學(xué)生將程序框圖轉(zhuǎn)化為計(jì)算機(jī)程序，在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)算法。(二) 算法教學(xué)的重點(diǎn)筆者認(rèn)為在上述算法教學(xué)的過程中，教學(xué)的重點(diǎn)是算法的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)，即順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu)。這是因?yàn)?，三種基本邏輯結(jié)構(gòu)被認(rèn)為是一個(gè)良好算法的基本單元，換句話說，要設(shè)計(jì)出一個(gè)結(jié)構(gòu)良好、易讀好懂的算法，就必須以三種基本邏輯結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)來構(gòu)建算法。而且，三種基本邏輯結(jié)構(gòu)中蘊(yùn)涵了比較深刻的思想。順序結(jié)構(gòu)反映的是“step by step”的思想，即把解決問題的方法步驟化，一步一步地執(zhí)行；條件結(jié)構(gòu)反映的是“先判斷、后執(zhí)行”的思想，計(jì)算機(jī)區(qū)別于其他機(jī)械的能力就來自于算法做判斷和按判斷的結(jié)果行動(dòng)的能力；循環(huán)結(jié)構(gòu)蘊(yùn)涵的是“遞推”的思想，由于學(xué)生還沒有學(xué)習(xí)數(shù)列，對(duì)這種思想方法還是初次接觸。由三種基本邏輯結(jié)構(gòu)順序構(gòu)成的程序框圖，明確簡(jiǎn)練，結(jié)構(gòu)分明，很容易改寫成計(jì)算機(jī)程序，而程序設(shè)計(jì)語言中的賦值語句、條件語句和循環(huán)語句可以看成是三種基本邏輯結(jié)構(gòu)的“機(jī)器化”。教學(xué)算法的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)，結(jié)合程序框圖的教學(xué)進(jìn)行為宜。具體做法是：首先，結(jié)合程序框圖，幫助學(xué)生理解三種基本邏輯結(jié)構(gòu)的含義；然后，在設(shè)計(jì)一個(gè)算法的程序框圖的過程中，選擇合適的基本邏輯結(jié)構(gòu)表示算法步驟。下面，對(duì)算法的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)作一些具體的說明，供教師參考。1. 順序結(jié)構(gòu)顧名思義，順序結(jié)構(gòu)就是按照算法步驟排列的順序，逐條執(zhí)行算法。如圖1所示，虛線框內(nèi)是一個(gè)順序結(jié)構(gòu)，步驟和步驟n+1是順序執(zhí)行的。順序結(jié)構(gòu)在計(jì)算機(jī)中表現(xiàn)為，計(jì)算機(jī)按照語句出現(xiàn)的先后次序執(zhí)行的一串語句。一般來說，學(xué)生對(duì)順序結(jié)構(gòu)的理解沒有困難。2. 條件結(jié)構(gòu)條件結(jié)構(gòu)是根據(jù)“條件”在不同情況下的取值選擇不同的處理方法，可以在兩種情況下選擇一種（雙分支），也可以在多種情況下選擇一種（多分支）。教科書一般只采用了“雙分支”的簡(jiǎn)單情形。如圖2所示，虛線框內(nèi)是一個(gè)條件結(jié)構(gòu)。此結(jié)構(gòu)中包含一個(gè)判斷框，根據(jù)條件p是否滿足，選擇執(zhí)行步驟A或步驟B，但不會(huì)出現(xiàn)同時(shí)執(zhí)行步驟A和步驟B的情形。3. 循環(huán)結(jié)構(gòu)在生活中，我們有時(shí)需要重復(fù)做一些事情（如求50個(gè)學(xué)生的總成績(jī)，需要做50次加法運(yùn)算，每次加入一個(gè)學(xué)生的成績(jī)）。從完成這類事情的過程中，可以找出3個(gè)關(guān)鍵的地方，即“從什么地方開始”“反復(fù)做什么”“在什么條件下結(jié)束”。計(jì)算機(jī)的運(yùn)算速度快，最善于進(jìn)行重復(fù)性的工作，可以將人們從繁重的重復(fù)運(yùn)算中解救出來。循環(huán)結(jié)構(gòu)可以讓計(jì)算機(jī)在某個(gè)條件成立的情況下重復(fù)執(zhí)行某個(gè)步驟。在構(gòu)造循環(huán)結(jié)構(gòu)時(shí)，也必須保證完成下面的事情。(1) 循環(huán)前，初始化變量的值。例如，在“輸出1100”的循環(huán)結(jié)構(gòu)中，要先給輸出的變量i賦初值1。(2) 確定循環(huán)體。循環(huán)體就是在循環(huán)結(jié)構(gòu)中反復(fù)執(zhí)行的操作步驟，例如，上述循環(huán)結(jié)構(gòu)中的循環(huán)體是“輸出變量i”和“i=i+1”。(3) 設(shè)置循環(huán)終止條件。循環(huán)結(jié)構(gòu)不能是永無終止的“死循環(huán)”，一定要在某個(gè)條件下終止循環(huán)，這就需要條件結(jié)構(gòu)來做出判斷，因此，循環(huán)結(jié)構(gòu)中一定包含條件結(jié)構(gòu)。例如，上述循環(huán)結(jié)構(gòu)中的終止條件是“i=100”。循環(huán)結(jié)構(gòu)有兩類，當(dāng)型循環(huán)和直到型循環(huán)。如圖3所示，當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)表示“當(dāng)條件p1滿足時(shí)，反復(fù)執(zhí)行循環(huán)體”；直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)表示“反復(fù)執(zhí)行循環(huán)體直到條件p2滿足”。 相對(duì)于順序結(jié)構(gòu)和條件結(jié)構(gòu)來說，循環(huán)結(jié)構(gòu)的教學(xué)難度較大。這是因?yàn)?，盡管學(xué)生以往對(duì)循環(huán)操作這種處理問題的方式已有一些經(jīng)驗(yàn)，但真正接觸循環(huán)結(jié)構(gòu)還是第一次；而且，程序設(shè)計(jì)中的循環(huán)結(jié)構(gòu)與學(xué)生熟悉的重復(fù)運(yùn)算存在一定的區(qū)別。因此，需要幫助學(xué)生理解和構(gòu)造適合于計(jì)算機(jī)的循環(huán)結(jié)構(gòu)。從圖13的程序框圖中可以看出，三種基本邏輯結(jié)構(gòu)存在共同的特點(diǎn)，即只有一個(gè)入口和一個(gè)出口，每一個(gè)基本邏輯結(jié)構(gòu)的每一部分都有機(jī)會(huì)被執(zhí)行到，而且結(jié)構(gòu)內(nèi)不存在死循環(huán)。四、典型算法模型的作用實(shí)踐證明，在進(jìn)行算法教學(xué)的過程中，應(yīng)盡可能選取最簡(jiǎn)單、最典型的算法模型作為載體。這是因?yàn)?，一方面進(jìn)行算法教學(xué)的目標(biāo)是介紹算法的基本思想和初步知識(shí)，另一方面，算法本身就是與具體問題結(jié)合在一起的，空講理論只能導(dǎo)致學(xué)生不能真正理解算法和不會(huì)設(shè)計(jì)具體問題的算法，而從簡(jiǎn)單、典型、學(xué)生熟悉的算法模型中挖掘、提煉出來的思想和方法，更容易被學(xué)生接受。下面，我們舉兩個(gè)例子說明這個(gè)問題。(一) 條件結(jié)構(gòu)與分段函數(shù)分段函數(shù)是學(xué)生已經(jīng)熟悉的內(nèi)容，它的表達(dá)式根據(jù)自變量取值范圍的不同而有不同的形式。在進(jìn)行條件結(jié)構(gòu)的教學(xué)時(shí)，可以將條件結(jié)構(gòu)與分段函數(shù)聯(lián)系起來，讓學(xué)生設(shè)計(jì)含有條件結(jié)構(gòu)的算法來計(jì)算分段函數(shù)的值。例如，要輸出分段函數(shù)的值，就可以用一個(gè)最簡(jiǎn)單的條件結(jié)構(gòu)來構(gòu)造算法。對(duì)于一些應(yīng)用問題，如判斷某一年是否為閏年，求一元二次方程ax2+bx+c=0的實(shí)數(shù)根等等，也可以先將問題轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，再用條件結(jié)構(gòu)來構(gòu)造算法。(二) 循環(huán)結(jié)構(gòu)與“累加器”如前所述，循環(huán)結(jié)構(gòu)是教學(xué)的難點(diǎn)。筆者認(rèn)為“累加器”是一個(gè)很好的載體，借助于“累加器”，可以使學(xué)生經(jīng)歷把“遞推求和”轉(zhuǎn)化為“循環(huán)求和”的過程，同時(shí)經(jīng)歷“初始化變量”“確定循環(huán)體”“設(shè)置循環(huán)終止條件”3個(gè)構(gòu)造循環(huán)結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵步驟，從而初步理解循環(huán)結(jié)構(gòu)和學(xué)習(xí)構(gòu)造循環(huán)結(jié)構(gòu)的一般方法?？梢赃x擇最簡(jiǎn)單的“累加器”問題，例如求1+2+100的值。這個(gè)問題的自然求和過程可以表示為：S2S12，S3S23，S4S34，SnSn-1n（n2，3，100），用遞推公式表示為:如圖4所示，若直接利用這個(gè)遞推公式構(gòu)造循環(huán)結(jié)構(gòu)，可得顯然，循環(huán)體中的步驟SnSn-1n使用了S1，S2，S3，S100共100個(gè)變量，計(jì)算機(jī)執(zhí)行這樣的算法時(shí)需要占用較大的內(nèi)存。為了節(jié)省變量，需要從上述遞推求和的步驟SnSn-1n中提取出共同的結(jié)構(gòu)，即第n步的結(jié)果第(n1)步的結(jié)果n。若引進(jìn)一個(gè)累加變量sum來表示每一步的計(jì)算結(jié)果，則第n步可以表示為賦值過程sumsum+n，其中賦值號(hào)“”右邊的變量sum表示前一步累加所得的和，賦值號(hào)“”左邊的sum表示該步累加所得的和，n表示該步累加的數(shù)。盡管這種賦值過程是計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)中的慣用方法，但對(duì)于學(xué)生來說可能既新奇又難以理解，在教學(xué)時(shí)需要花費(fèi)一些筆墨。由sum的初始值為0，n的值由1增長(zhǎng)到100，可以初始化循環(huán)變量和設(shè)置循環(huán)終止條件，如圖5所示。五、優(yōu)化或改造算法的意義解決同一個(gè)問題，可以有不同的算法；同一個(gè)算法稍加改造，可以用于解決不同的問題。對(duì)算法的優(yōu)化或改造，是幫助學(xué)生理解算法的通用性、有效性等的良好素材。前面我們說過，結(jié)合程序框圖的教學(xué)，教授算法的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)，有利于學(xué)生對(duì)后者的理解和掌握。類似地，對(duì)算法的優(yōu)化或改造，在算法的程序框圖上進(jìn)行，也有利于學(xué)生看清算法的結(jié)構(gòu)和更好地把握“算理”。舉個(gè)例子，讓學(xué)生改造求1+2+100的值的“累加器”的程序框圖（圖5），表示 求1+2+m(mZ*)的值的過程； 求3+5+(2m+1) (mZ*)的值的過程； 輸出1，1+2，1+2+3，1+2+3+100的過程； 求2+22+