2018年高考數(shù)學二輪復習專題2數(shù)列突破點5數(shù)列的通項與求和學案文.doc

突破點5數(shù)列的通項與求和核心知識提煉提煉1 an與Sn的關系若an為數(shù)列an的通項，Sn為其前n項和，則有an在使用這個關系式時，一定要注意區(qū)分n1，n2兩種情況，求出結果后，判斷這兩種情況能否整合在一起.提煉2 求數(shù)列通項常用的方法(1)定義法：形如an1anc(c為常數(shù))，直接利用定義判斷其為等差數(shù)列形如an1kan(k為非零常數(shù))且首項不為零，直接利用定義判斷其為等比數(shù)列(2)疊加法：形如an1anf(n)，利用ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)，求其通項公式(3)疊乘法：形如f(n)0，利用ana1，求其通項公式(4)待定系數(shù)法：形如an1panq(其中p，q均為常數(shù)，pq(p1)0)，先用待定系數(shù)法把原遞推公式轉化為an1tp(ant)，其中t，再轉化為等比數(shù)列求解(5)構造法：形如an1panqn(其中p，q均為常數(shù)，pq(p1)0)，先在原遞推公式兩邊同除以qn1，得，構造新數(shù)列bn，得bn1bn，接下來用待定系數(shù)法求解.提煉3 數(shù)列求和數(shù)列求和的關鍵是分析其通項，數(shù)列的基本求和方法有公式法、裂(拆)項相消法、錯位相減法、分組法、倒序相加法和并項法等，而裂項相消法、錯位相減法是常用的兩種方法高考真題回訪回訪1an與an1的關系1(2014全國卷)數(shù)列an滿足an1，a82，則a1_.an1，an1111(1an2)an2，周期T(n1)(n2)3.a8a322a22.而a2，a1.回訪2數(shù)列求和2(2012全國卷)數(shù)列an滿足an1(1)nan2n1，則an的前60項和為()A3 690 B3 660 C1 845 D1 830Dan1(1)nan2n1，a21a1，a32a1，a47a1，a5a1，a69a1，a72a1，a815a1，a9a1，a1017a1，a112a1，a1223a1，a57a1，a58113a1，a592a1，a60119a1，a1a2a60(a1a2a3a4)(a5a6a7a8)(a57a58a59a60)1026422341 830.3(2013全國卷改編)已知等差數(shù)列an的前n項和Sn滿足S30，S55.則(1)an的通項公式為_；(2)數(shù)列的前n項和為_(1)an2n(2)(1)設an的公差為d，則Snna1d.由已知可得解得故an的通項公式為an2n.(2)由(1)知，從而數(shù)列的前n項和為.4(2014全國卷改編)已知an是遞增的等差數(shù)列，a2，a4是方程x25x60的根，則(1)an的通項公式為_；(2)數(shù)列的前n項和為_(1)ann1(2)2(1)方程x25x60的兩根為2,3，由題意得a22，a43.設數(shù)列an的公差為d，則a4a22d，故d，從而a1.所以an的通項公式為ann1.(2)設的前n項和為Sn，由(1)知，則Sn，Sn.兩式相減得Sn.所以Sn2.熱點題型1數(shù)列中an與Sn的關系數(shù)列中的an與Sn的關系題型分析：以數(shù)列中an與Sn間的遞推關系為載體，考查數(shù)列通項公式的求法，以及推理論證的能力【例1】(1)(2017鄭州模擬)設數(shù)列an的前n項和為Sn.若S24，an12Sn1，nN*，則a1_，S5_.1121由解得a11，a23，當n2時，由已知可得：an12Sn1，an2Sn11，得an1an2an，an13an.又a23a1，an是首項為1，公比為3的等比數(shù)列Sn(3n1)，S5121.(2)數(shù)列an中，a11，Sn為數(shù)列an的前n項和，且滿足1(n2)求數(shù)列an的通項公式 解由已知，當n2時，1，所以1，2分即1，所以4分又S1a11，所以數(shù)列是首項為1，公差為的等差數(shù)列，6分所以1(n1)，即Sn8分所以當n2時，anSnSn110分因此an12分方法指津給出Sn與an的遞推關系，求an，常用思路：一是利用SnSn1an(n2)轉化為an的遞推關系，再求其通項公式；二是轉化為Sn的遞推關系，先求出Sn與n之間的關系，再求an.提醒：在利用anSnSn1(n2)求通項公式時，務必驗證n1時的情形變式訓練1 (1)已知數(shù)列an前n項和為Sn，若Sn2an2n ，則Sn_.(2)已知數(shù)列an的各項均為正數(shù)，其前n項和為Sn，且2Sn23an(nN*)，則an_.(1)n2n(nN*)(2)23n1(nN*)(1)由Sn2an2n得當n1時，S1a12；當n2時，Sn2(SnSn1)2n，即1，所以數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，則n，Snn2n(n2)，當n1時，也符合上式，所以Snn2n(nN*)(2)因為2Sn23an，所以2Sn123an1，由，得2Sn12Sn3an13an，所以2an13an13an，即3.當n1時，22S13a1，所以a12，所以數(shù)列an是首項為2，公比為3的等比數(shù)列，所以an23n1(nN*)熱點題型2裂項相消法求和題型分析：裂項相消法是指把數(shù)列中的各項分別裂開后，某些項可以相互抵消從而求和的方法，主要適用于或(其中an為等差數(shù)列)等形式的數(shù)列求和【例2】已知等差數(shù)列an的公差d0，它的前n項和為Sn，若S570，且a2，a7，a22成等比數(shù)列， (1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若數(shù)列的前n項和為Tn，求證：Tn.解 (1)由已知及等差數(shù)列的性質得S55a3，a314，1分又a2，a7，a22成等比數(shù)列，所以aa2a222分所以(a16d)2(a1d)(a121d)且d0，解得a1d，a16，d44分故數(shù)列an的通項公式為an4n2，nN*6分(2)證明：由(1)得Sn2n24n，8分Tn10分又TnT1 ，所以Tn12分方法指津裂項相消法的基本思想就是把通項an分拆成anbnkbn(k1，kN*)的形式，常見的裂項方式有：(1)；(2)；(3)()提醒：在裂項變形時，務必注意裂項前的系數(shù)變式訓練2(名師押題)已知數(shù)列an是遞增的等比數(shù)列，且a1a49，a2a38.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設Sn為數(shù)列an的前n項和，bn，求數(shù)列bn的前n項和Tn. 解 (1)由題設知a1a4a2a38，2分又a1a49，可得或(舍去)4分由a4a1q3得公比q2，故ana1qn12n16分(2)Sn2n18分又bn，10分所以Tnb1b2bn112分熱點題型3錯位相減法求和題型分析：限于數(shù)列解答題的位置較為靠前，加上錯位相減法的運算量相對較大，故在近5年中僅有1年對該命題點作了考查，但其仍是命題的熱點之一，務必加強訓練【例3】設等差數(shù)列an的公差為d，前n項和為Sn，等比數(shù)列bn的公比為q，已知b1a1，b22，qd，S10100.(1)求數(shù)列an，bn的通項公式；(2)當d1時，記cn，求數(shù)列cn的前n項和Tn.解 (1)由題意有即2分解得或4分故或6分(2)由d1，知an2n1，bn2n1，故cn，于是Tn1，Tn.8分可得Tn23，10分故Tn612分方法指津運用錯位相減法求和應注意：一是判斷模型，即判斷數(shù)列an，bn中一個為等差數(shù)列，一個為等比數(shù)列；二是錯開位置，一般先乘公比，再把前n項和退后一個位置來書寫，這樣避免兩式相減時看錯列；三是相減，相減時一定要注意式中最后一項的符號，考生常在此步出錯，一定要細心提醒：為保證結果正確，可對得到的和取n1,2進行驗證變式訓練3已知在公比大于1的等比數(shù)列an中，a2，a4是函數(shù)f(x)(x2)(x8)的兩個零點(1)求數(shù)列an 的通項公式；(2)求數(shù)列2nan的前n項和Sn. 解 (1)因為a2，a4是函數(shù)f(x)(x2)(x