犀牛和Alias的建模核心NURBS的由來和意義

犀牛和Alias的建模核心 NURBS 的由來和意義NURBS這個字的由來NURBS 是 Non-Uniform Rational B Spline ( 非均勻有理 B 樣條曲線 ) 的縮寫， NURBS 可用于描述 3D 幾何圖形。使用 NURBS 描述 3D 幾何圖形的優(yōu)點NURBS 幾何圖形有五個重要的特質(zhì)，這些特質(zhì)讓它成為計算機輔助建模的理想選擇。目前有許多交換 NURBS 幾何圖形的標準，用戶可以在許多建模、渲染、動畫、工程分析程序中移動寶貴的模型，而且以 NURBS 保存的幾何圖形在二十年后仍然可以使用。NURBS 有精確及廣為人知的特質(zhì)，各主要的大學也都有教授 NURBS 幾何圖形數(shù)學及計算機科學的課程，這代表專業(yè)軟件廠商、工程團隊、工業(yè)設(shè)計公司及動畫公司可以找到受過 NURBS 程序訓練的程序設(shè)什師。NURBS 可以精確地描述標準的幾何圖形 ( 直線、圓、橢圓、球體、環(huán)狀體 ) 及自由造型的幾何圖形 ( 車身、人體 )。以 NURBS 描述的幾何圖形所需的數(shù)據(jù)量遠比一般的網(wǎng)格形式要少。NURBS 的計算規(guī)則可以有效并精確地在計算機上執(zhí)行，下面將會繼續(xù)討論。什么是 NURBS 幾何圖形?有許多方式可以回答這個問題，如果您對數(shù)學方程式有興趣，您可以在 openNURBS網(wǎng)站(/books.htmRhino以 NURBS 描述曲線及曲面，NURBS 曲線和曲面有非常類似的特性，并且共享許多專有名詞。Rhino 的曲面結(jié)構(gòu)和以下會提到的曲線結(jié)構(gòu)非常類似，因為曲線比較容易描述，我們將會詳細地解說曲線結(jié)構(gòu) 。NURBS 曲線是由以下四項所定義：階數(shù)、控制點、節(jié)點及估計法則。階數(shù) ( Degree ) 是正整數(shù)。這個數(shù)字常用到的是 1、2、3 或 5，Rhino 的直線和多重直線的階數(shù)是 1，圓的階數(shù)是 2，大部分自由造型曲線的階數(shù)是 3 或 5。Rhino 可以讓您以階數(shù) 1 到 11 的 NURBS 工作。有時候，Rhino 會用到線性、二次方、三次方或五次方等術(shù)語，線性表示階數(shù)為 1、二次方表示階數(shù)為 2、三次方表示階數(shù)為 3、五次方表示階數(shù)為 5。您也可能會看到某些地方提及 NURBS 曲線的次數(shù) ( Order )，一條 NURBS 曲線的次數(shù)等于 ( 階數(shù) + 1 ) 的正整數(shù)，所以階數(shù)也等于 ( 次數(shù) - 1 )。提高 NURBS 曲線的階數(shù)可以不改變曲線的形狀，但通常降低曲線的階數(shù)一定會改變曲線的形狀?？刂泣c是一個點的列表，控制點的最小數(shù)目是 ( 階數(shù) + 1 )。改變 NURBS 曲線形狀最簡單的方法之一是移動控制點，Rhino 有幾種移動控制點的方式，您可以使用鼠標移動控制點對曲線形狀做大幅度的自由調(diào)整，也可以使用其它專門設(shè)計的微調(diào)工具。每個控制點都帶有一個數(shù)字 ( 權(quán)值 )，除了少數(shù)的特例以外，權(quán)值大多是正數(shù)。當一條曲線所有的控制點有相同的權(quán)值時 ( 通常是 1 )，稱為非有理 ( Non-Rational ) 曲線，否則稱為有理 ( Rational ) 曲線。NURBS 的 R 代表有理，意味著一條 NURBS 曲線有可能是有理的。在實際情況中，大部分的 NURBS 曲線是非有理的, 但有些 NURBS 曲線永遠是有理的，圓和橢圓是最明顯的例子。Rhino 也有檢查和 改變控制點權(quán)值的工具。節(jié)點 ( Knot ) 是一個 ( 階數(shù) + N - 1 ) 的數(shù)字列表，N 代表控制點數(shù)目。有時候這個列表上的數(shù)字也稱為節(jié)點向量 ( Knot Vector )，這里的向量并不是指 3D 方向。節(jié)點列表上的數(shù)字必須符合幾個條件，確定條件是否符合的標準方式是在列表上往下時，數(shù)字必需維持不變或變大，而且數(shù)字重復(fù)的次數(shù)不可以比階數(shù)大。例如，階數(shù) 3 有 15 個控制點的 NURBS 曲線， 列表數(shù)字為 0,0,0,1,2,2,2,3,7,7,9,9,9 是一個符合條件的節(jié)點列表。列表數(shù)字為 0,0,0,1,2,2,2,2,7,7,9,9,9 則不符合，因為此 列表中有四個 2，而四比階數(shù)大 ( 階數(shù)為 3 )。節(jié)點值重復(fù)的次數(shù)稱為節(jié)點的重數(shù) ( Multiplicity )，在上面例子中符合條件的節(jié)點列表中，節(jié)點值 0 的重數(shù)值為三；節(jié)點值 1 的重數(shù)值為一；節(jié)點值 2 的重數(shù)為三；節(jié)點值 7 的重數(shù)值為二；節(jié)點值 9 的重數(shù)值為三。如果節(jié)點值重復(fù)的次數(shù)和階數(shù)一樣，該節(jié)點值稱為 全復(fù)節(jié)點 ( Full-Multiplicity Knot )。在上面的例子中，節(jié)點值 0、2、9 有完整的重數(shù)，只出現(xiàn)一次的節(jié)點值稱為單純節(jié)點 ( Simple Knot )，節(jié)點值 1 和 3 為單純節(jié)點。如果在節(jié)點列表中是以全復(fù)節(jié)點開始，接下來是單純節(jié)點，再以全復(fù)節(jié)點結(jié)束，而且節(jié)點值為等差，稱為一致 ( Uniform )。例如，如果階數(shù)為 3 有 7 個控制點的 NURBS 曲線，其節(jié)點值為 0,0,0,1,2,3,4,4,4，那么該曲線有一致的節(jié)點。如果節(jié)點值是 0,0,0,1,2,5,6,6,6 不是一致的，稱為非一致 ( Non-Uniform )。在 NURBS 的 NU 代表“非一致”，意味著在一條 NURBS 曲線中節(jié)點可以是非一致的。在節(jié)點值列表中段有重復(fù)節(jié)點值的 NURBS 曲線比較不平滑，最不平滑的情況是節(jié)點列表中段出現(xiàn)全復(fù)節(jié)點，代表曲線上有銳角控制點和節(jié)點是一對一成對的是常見的錯誤概念，這種情況只發(fā)生在 1 階的 NURBS ( 多重直線 )。較高階數(shù)的 NURBS 的每 ( 2 x 階數(shù) ) 個節(jié)點是一個群組，每 ( 階數(shù) + 1 ) 個控制點是一個群組。例如，一條 3 階 7 個控制點的 NURBS 曲線，節(jié)點是 0,0,0,1,2,5,8,8,8，前四個控制點是對應(yīng)到前六個節(jié)點；第二到第五個控制點是對應(yīng)到第二到第七個節(jié)點 0,0,1,2,5,8；第三到第六個控制點是對應(yīng)到第三到第八個節(jié)點 0,1,2,5,8,8；最后四個控制點是對應(yīng) 到最后六個節(jié)點。某些建模軟件使用較舊的 NURBS 估計算法，該算法需要額外的兩個節(jié)點值，總數(shù)為 ( 階數(shù) + N + 1 ) 個節(jié)點。當 Rhino 導出或?qū)脒@種類型的 NURBS 幾何圖形時會自動加入或刪除兩個節(jié)點。輸入一個數(shù)字到 NURBS 估計法則使用的數(shù)學方程式會得到一個點。該方程式涉及階數(shù)、控制點、節(jié)點，并含有某些 B-樣條線基礎(chǔ)函數(shù) ( B-spline basis functions )。NURBS 的 BS 代表 B-樣條曲線 ( B-Spline )。NURBS 的估計法則是由參數(shù)開始，您可以將估計法則視為一個黑盒子，每當這個黑盒子吃進一個參數(shù)就會產(chǎn)生一個點，而黑盒子如何運作是階數(shù)、節(jié)點、控制點所控制。Rhino 有一些估計工具可以讓您選取一條 NURBS 曲線，輸入