分布的集中趨勢第二部分分布的離散程度.pptVIP

第一節(jié) 分布的集中趨勢 第二節(jié) 分布的離散程度,第三章 統(tǒng)計(jì)分布的數(shù)值特征,本章主要內(nèi)容,本章包括平均指標(biāo)和變異指標(biāo)兩部分內(nèi)容，闡述了平均指標(biāo)的概念和作用；各種平均數(shù)的計(jì)算原則、方法與應(yīng)用條件；主要的平均指標(biāo)(算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù))；變異指標(biāo)的作用、計(jì)算方法和運(yùn)用條件；主要的變異指標(biāo)(極差、平均差、標(biāo)準(zhǔn)差及其系數(shù))。,第一節(jié) 分布的集中趨勢,一、統(tǒng)計(jì)平均數(shù)的概述 二、數(shù)值平均數(shù) 三、位置平均數(shù) 四、各種平均數(shù)比較,一、統(tǒng)計(jì)平均數(shù)的概述,（一）平均數(shù)的概念 同類社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象總體內(nèi)，各單位某一數(shù) 量標(biāo)志的差異抽象化，用以反映總體在具 體條件下的一般水平。 它是度量總體某一數(shù)量標(biāo)志在一定條件下的一 般水平或分布集中趨勢的綜合指標(biāo)。,一名統(tǒng)計(jì)學(xué)家遇到一位數(shù)學(xué)家，統(tǒng)計(jì)學(xué)家調(diào)侃數(shù)學(xué)家說道：“你們不是說若且，則嗎！那么想必你若是喜歡一個女孩，那么那個女孩喜歡的男孩你也會喜歡嘍！？” 數(shù)學(xué)家想了一下反問道：“那么你把左手放到一鍋一百度的開水中，右手放到一鍋零度的冰水里想來也沒事吧！因?yàn)樗鼈兤骄臏囟炔贿^是五十度而已！”,統(tǒng)計(jì)學(xué)家與數(shù)學(xué)家,如果你的腳已經(jīng)踩在爐子上，而頭卻在冰箱裡，統(tǒng)計(jì)學(xué)家會告訴你，平均而言，你相當(dāng)舒服。,調(diào)侃統(tǒng)計(jì)學(xué)家,（二）平均數(shù)的種類,根據(jù)各種平均數(shù)的具體代表意義和計(jì)算方 式的不同，統(tǒng)計(jì)平均數(shù)分為兩大類： 算術(shù)平均數(shù) 調(diào)和平均數(shù) 數(shù)值平均數(shù) 幾何平均數(shù) 眾數(shù) 中位數(shù) 位置平均數(shù) 分位數(shù),（三）平均數(shù)的特點(diǎn),1.將數(shù)量差異抽象化 2.只能就同類現(xiàn)象計(jì)算 3.能反映總體變量值的集中趨勢,二、數(shù)值平均數(shù),（一）概述 1.定義 數(shù)值平均數(shù)是由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)集合中的所有數(shù)據(jù)參與 計(jì)算所得的平均數(shù)。 2.常用的數(shù)值平均數(shù)有： 算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)和幾何平均數(shù),（二）算術(shù)平均數(shù),1.概念 算術(shù)平均數(shù)是全部數(shù)據(jù)的算術(shù)平均。 基本公式：,e.g.,2.算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算方法 (1)簡單算術(shù)平均數(shù) 如果掌握的資料沒有經(jīng)過分組，則先將各單位的標(biāo)志值相加得出標(biāo)志總量，然后再除以總體單位數(shù)，得到的平均數(shù)稱為簡單算術(shù)平均數(shù)。,簡單算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算公式：,例31某機(jī)械廠某生產(chǎn)班組有10名工人，生產(chǎn)某種零件，每個工人的日產(chǎn)量分別為45件，48件，52件，62件，69件，44件，52件，58件，38件，64件。試用簡單算術(shù)平均數(shù)法計(jì)算工人平均日產(chǎn)量。,(2)加權(quán)算術(shù)平均數(shù) 如果掌握的資料是經(jīng)過分組整理編成了分布數(shù)列，并且每組頻數(shù)不同時，用頻數(shù)（率）進(jìn)行加權(quán)計(jì)算的算術(shù)平均數(shù)稱為加權(quán)算術(shù)平均數(shù)。,a.加權(quán)算術(shù)平均數(shù)計(jì)算 公式1：,例：某機(jī)械廠工人日產(chǎn)零件數(shù)的分配數(shù)列。,權(quán)數(shù),加權(quán),公式：,單項(xiàng)式數(shù)列的算術(shù)平均數(shù),組距式加權(quán)算術(shù)平均數(shù),例：某年我國80個產(chǎn)棉 大縣的分配數(shù)列如表。 以組中值作為各組的代表值， 假定各組標(biāo)志值在組內(nèi)分布 是均勻的。此時求得的算 術(shù)平均數(shù)只是其真值的 近似值。,公式2,例 33某企業(yè)工人操作機(jī)床的情況見下表，計(jì)算平均每位工人操作機(jī)床數(shù)。,注意比重轉(zhuǎn)化為小數(shù)再計(jì)算,b.權(quán)數(shù)及作用,權(quán)數(shù)：加權(quán)算術(shù)平均數(shù)中的權(quán)數(shù)，是標(biāo)志值出現(xiàn)的頻數(shù)（次數(shù)） f 或各組次數(shù)占總次數(shù)的比重（頻率） 。 權(quán)數(shù)的作用：權(quán)衡平均數(shù)大小。 某一組的次數(shù)或頻率越大，則該組的標(biāo)志值對平均數(shù)的影響就越大，反之越小。,c.影響加權(quán)算術(shù)平均數(shù)大小的因素,加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的大小受兩個因素影響 受單位標(biāo)志值大小的影響。 受各標(biāo)志值頻數(shù)的影響，更準(zhǔn)確的講是受各組頻數(shù)占總頻數(shù)比重即頻率的影響。,d.加權(quán)算術(shù)平均數(shù)適用,分組的統(tǒng)計(jì)資料，如果已知各組的代表變量值和頻數(shù)（頻率），則可采用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)計(jì)算。 已知頻數(shù)用公式1。 已知頻率用公式2。,e.簡單與加權(quán)算術(shù)平均數(shù)相等的條件,在分組的條件下，當(dāng)各組頻數(shù)所占比重均相等時，權(quán)數(shù)就失去了權(quán)衡輕重的作用，這時用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)計(jì)算的結(jié)果與用簡單算術(shù)平均數(shù)計(jì)算的結(jié)果相同。 當(dāng)分布數(shù)列完全對稱時，加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算結(jié)果與簡單算術(shù)平均數(shù)計(jì)算結(jié)果相同。,3.算術(shù)平均數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì),各個變量值與算術(shù)平均數(shù)的離差總和等于零。 各個變量值與算術(shù)平均數(shù)的離差平方總和為最小值。 兩個獨(dú)立的同性質(zhì)變量代數(shù)和的平均數(shù)等于各變量平均數(shù)的代數(shù)和。 兩個獨(dú)立的同性質(zhì)變量乘積的平均數(shù)等于各變量平均數(shù)的乘積。,1.概念 調(diào)和平均數(shù)是變量值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)，故又稱倒數(shù)平均數(shù)。 調(diào)和平均數(shù)是算術(shù)平均數(shù)的一種，它是根據(jù)變量值的倒數(shù)計(jì)算的。,（二）調(diào)和平均數(shù),原來只是計(jì)算時使用了不同的數(shù)據(jù)！,（1）簡單調(diào)和平均數(shù),2.調(diào)和平均數(shù)的計(jì)算,（2）加權(quán)調(diào)和平均數(shù) ,例：某工廠工人日產(chǎn)零件數(shù)資料,作為算術(shù)平均數(shù)的變形使用。 已知分配數(shù)列各組標(biāo)志值及 其標(biāo)志總量時，計(jì)算平均數(shù) 可用加權(quán)調(diào)和平均法，權(quán)數(shù) m為各組的標(biāo)志總量。 即：,3.應(yīng)用場合,4.調(diào)和平均數(shù)的特點(diǎn),如果數(shù)列中有一個標(biāo)志值等于零，則無法計(jì)算調(diào)和平均數(shù)。 它作為一種數(shù)值平均數(shù)受所有標(biāo)志值的影 響，且受極小值的影響大于受極大值的影響，但較之算術(shù)平均數(shù)，調(diào)和平均數(shù)受極端值的影響較小。,說明：,算術(shù)平均數(shù)和調(diào)和平均數(shù)不僅可以用于計(jì) 算嚴(yán)格意義上的單位標(biāo)志平均數(shù)，而且還 可以用于計(jì)算平均指標(biāo)和相對指標(biāo)的平均 數(shù)，算的時候并不要求符合平均數(shù)的基本 公式。 下面僅舉例子說明！,1.由平均數(shù)計(jì)算平均數(shù),e.g.已知某商品在三個 集貿(mào)市場上的平均價 格及銷售量資料如 右表： 求三個市場的平均價 格。,2.由相對數(shù)計(jì)算平均數(shù),e.g.某工業(yè)公司有三個 工廠，已知其計(jì)劃完 成程度（）以及計(jì) 劃產(chǎn)值資料如 右表： 求該公司平均計(jì)劃完 成程度。,計(jì)算相對指標(biāo)（或平均指標(biāo)）的平均數(shù)的 一般方法可以概括如下： (1)若已知的是相對指標(biāo)（或平均指標(biāo)）的分母資料時，可將其作為權(quán)數(shù)，采用加權(quán)算術(shù)平均法計(jì)算； (2)若已知的是相對指標(biāo)（或平均指標(biāo)）的分子資料時，可將其作為權(quán)數(shù)，采用加權(quán)調(diào)和平均數(shù)法計(jì)算。,小 結(jié),1.某蔬菜市場三種蔬菜的日銷售數(shù)據(jù)如表，計(jì)算三種蔬菜該日的平均價格。,例題,某公司下屬三個部門銷售情況,2.設(shè)某公司下屬三個部門的銷售資料如下表，求公司的平均銷售利潤率。,三個部門的平均利潤率即是公司的銷售利潤率。所以可用各部門的利潤率乘以銷售額得到各部門的利潤額，然后用各部門利潤總額除以總銷售額便可得到平均利潤率。其計(jì)算公式為：,如果上例若缺少銷售額資料而有利潤額資料， 如下表 某公司下屬三個部門銷售情況,則三個部門的平均利潤率可以用各部門利潤額除以銷售利潤率得到銷售額，然后用各部門利潤之和除以總銷售額，便可得到平均利潤率。其計(jì)算公式：,3.某管理局所屬15個企業(yè)銷售計(jì)劃完成情況資料如下表：,權(quán)數(shù)的正確選擇很重要,【例34】水果甲級每元1公斤，乙級每元1.5公斤，丙級每元2公斤。問： （1）若各買1公斤，平均每元可買多少公斤？ （2）各買6.5公斤，平均每元可買多少公斤？ （3）甲級3公斤，乙級2公斤，丙級1公斤，平均每元可買多少公斤？ （4）甲乙丙三級各買1元，每元可買幾公斤？ 【例35】自行車賽時速：甲30公里/小時，乙28公里/小時，丙20公里/小時，全程200公里，問三人平均時速是多少？若甲乙丙三人各騎車2小時，平均時速是多少？,調(diào)和平均數(shù) (例題分析),【例34】解 （1） （2） （3） （4）,【例35】解,1.概念 幾何平均數(shù)又稱為對數(shù)平均數(shù)，它是n個變量值連乘積的n次算術(shù)根。 2.適用范圍 它是計(jì)算平均比率和平均速度時比較適用的一種方法。,（三）幾何平均數(shù),3.幾何平均數(shù)的計(jì)算方法 (1)簡單幾何平均數(shù) ,【例3-6】謀生產(chǎn)車間生產(chǎn)某產(chǎn)品合格率分別為：97、93、91和87，則該車間制品平均合格率為：,(2)加權(quán)幾何平均數(shù) ,【例3-7】投資銀行某筆投資是按復(fù)利計(jì)算的，25年間 年利率的分配情況是：有1年為3，有4年為5，有 8年為8，有10年為10，有2年為15。求平均年 利率。 計(jì)算平均年利率，必須先將各年的利率加上100，換 算為各年的本利率；然后按加權(quán)幾何平均數(shù)的方法， 計(jì)算平均年本利率；再減去100，得出平均年利率。 計(jì)算如下： 這就是說，25年間年平均本利率為108.6。因而，年 平均利率為8.6。,（四）幾何平均數(shù)、算術(shù)平均數(shù) 和調(diào)和平均數(shù)的關(guān)系 幾何平均數(shù)、算術(shù)平均數(shù)和調(diào)和平均數(shù)之間存在著一定的數(shù)量關(guān)系。這種數(shù)量關(guān)系表現(xiàn)在：根據(jù)同一資料所計(jì)算的三種平均數(shù)，幾何平均數(shù)大于調(diào)和平均數(shù)而小于算術(shù)平均數(shù)，只有當(dāng)所有變量值都相同時，三種平均數(shù)才相等。用數(shù)學(xué)公式表示，它們之間的關(guān)系為：,三、位置平均數(shù),（一）概述 1.概念 位置平均數(shù)是根據(jù)總體中處于特殊位置上的個 別單位或部分單位的標(biāo)志值來確定的代表值。 2.常用的位置平均數(shù) 眾數(shù)、中位數(shù),（二）眾數(shù),1.概念 總體中出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值稱為眾數(shù)。 2.特點(diǎn) 適于數(shù)據(jù)較多時使用，主要用于定類數(shù)據(jù)； 不受極端值和開口組數(shù)列的影響； 眾數(shù)是一個不容易確定的平均指標(biāo)，當(dāng)數(shù)列 沒有明顯的集中趨勢而趨向集中均勻分布時，則 無眾數(shù)可言；當(dāng)變量數(shù)列是異距分組時，眾數(shù)的 位置也不好確定。,眾數(shù)(不惟一性),無眾數(shù) 原始數(shù)據(jù): 10 5 9 12 6 8,一個眾數(shù) 原始數(shù)據(jù): 6 5 9 8 5 5,多于一個眾數(shù) 原始數(shù)據(jù): 25 28 28 36 42 42,（1）定類數(shù)據(jù)的眾數(shù),解：這里的變量為“飲料品牌”，這是個分類變量，不同類型的飲料就是變量值 所調(diào)查的50人中，購買可口可樂的人數(shù)最多，為15人，占總被調(diào)查人數(shù)的30%，因此眾數(shù)為“可口可樂”這一品牌，即 Mo可口可樂,3.計(jì)算,（2）定序數(shù)據(jù)的眾數(shù),解：這里的數(shù)據(jù)為順序數(shù)據(jù)。變量為“回答類別” 甲城市中對住房表示不滿意的戶數(shù)最多，為108戶，因此眾數(shù)為“不滿意”這一類別，即 Mo不滿意,（3）數(shù)值型數(shù)據(jù)的眾數(shù) 下限公式:,上限公式:,某年級83名女生身高資料,身高 人數(shù) （CM） （人） 152 1 154 2 155 2 156 4 157 1 158 2 159 2 160 12 161 7 162 8 163 4,身高 人數(shù) （CM） （人） 164 3 165 8 166 5 167 3 168 7 169 1 170 5 171 2 172 3 174 1 總計(jì) 83,身高 人數(shù) 比重 （CM） （人） （%） 150-155 3 3.61 155-160 11 13.25 160-165 34 40.96 165-170 24 28.92 170以上 11 13.25 總計(jì) 83 100,某年級83名女生身高資料,（三）中位數(shù),1.概念 中位數(shù)是將總體各單位標(biāo)志值按大小順序排列 后，處于中間位置的那個數(shù)值。 2.意義 中位數(shù)是處于統(tǒng)計(jì)數(shù)列中間位置的數(shù)值。由于 其位置居中，不受極端數(shù)值大小的影響，因而 有時直接利用它來代表現(xiàn)象的一般水平。,3.中位數(shù)的特點(diǎn),（1）與眾數(shù)一樣，也是一種位置平均數(shù)，不受極端值及開口組的影響，具有穩(wěn)健性； （2）各單位標(biāo)志值與中位數(shù)離差的絕對值之和為最小。即 （3）對某些不具有數(shù)學(xué)特點(diǎn)或不能用數(shù)字測定的現(xiàn)象，可用中位數(shù)求其一般水平。,（1）由未分組資料確定中位數(shù) 在資料未經(jīng)分組時，確定中位數(shù)的方法是：首先將各總體單位的標(biāo)志值或變量值，按照大小順序排列；然后確定中位數(shù)的位置，處于中位數(shù)位置的標(biāo)志值或變量值就是中位數(shù)。 由未分組資料確定中位數(shù)，中位數(shù)的位置是： 如果總體單位的項(xiàng)數(shù)（n）是奇數(shù)，則處于中間位置的標(biāo)志值就是中位數(shù)。如果總體單位的項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，則處于中間位置的兩個標(biāo)志值的算術(shù)平均數(shù)就是中位數(shù)。,4.計(jì)算,e.g1，某年我國飲料制造業(yè)按利稅總額排序，前10名企業(yè)的利稅總額資料如下，,根據(jù)上列資料，如果確定這10名企業(yè)利稅總額的中位數(shù)，則： 就是說，中位數(shù)處于第5個企業(yè)和第6個企業(yè)的中間位置。第5個企業(yè)的利稅總額為66百萬元，第6個企業(yè)的利稅總額為65百萬元，故10名企業(yè)利稅總額的中位數(shù)為：,e.g2，9個家庭的人均月收入數(shù)據(jù) 原始數(shù)據(jù): 1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630 排 序: 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000 位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9,中位數(shù) 1080,10個家庭的人均月收入數(shù)據(jù) 排 序: 660 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000 位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,（2）單項(xiàng)式數(shù)列確定中位數(shù),對于單項(xiàng)式數(shù)列資料，由于變量值已經(jīng)序列化，故 中位數(shù)的確定也很簡單。 步驟： 第一，求中位數(shù)位置 （ 為總體單位數(shù)之 和）； 第二，計(jì)算各組的累計(jì)次數(shù)（向上或向下累計(jì)皆 可）； 第三，根據(jù)中位數(shù)的位置找出中位數(shù)。,（3）由組距分組數(shù)列確定中位數(shù) a.步驟 由組距數(shù)列確定中位數(shù)，應(yīng)先計(jì)算累計(jì)次數(shù)，然 后確定中位數(shù)所在組的位置，最后再按比例推算 中位數(shù)的具體數(shù)值。 b.由分組資料確定中位數(shù)，中位數(shù)的位置是：,c.由組距數(shù)列計(jì)算中位數(shù) 下限公式：(向上累計(jì)時用)：,（向下累計(jì)時用）,身高 人數(shù) 累計(jì) （CM） （人） 人數(shù) 150-155 3 3 155-160 11 14 160-165 34 48 165-170 24 72 170以上 11 83 總計(jì) 83,e.g，某年某市80個中型工業(yè)企業(yè)按照工業(yè)總產(chǎn)值（按1980年不變價格計(jì)算）的分組資料如下：,由上表中的資料計(jì)算中位數(shù): 首先，應(yīng)確定中位數(shù)的位置。 f80， f /240，即中位數(shù)的位置是第40個 企業(yè)。 其次，應(yīng)確定中位數(shù)的所在組。 第二組的累計(jì)次數(shù)為35，距離中位數(shù)的位置還差 5個企業(yè)；第三組的累計(jì)次數(shù)已達(dá)55，顯然中位 數(shù)在第三組內(nèi)。 第三，按比例推算中位數(shù)在組內(nèi)的具體位置。,因而，某市80個中型工業(yè)企業(yè)工業(yè)總產(chǎn)值的中位數(shù)，按下限公式計(jì)算為：,（四）分位數(shù)（簡介）,1.概念 能夠?qū)⑷靠傮w單位按標(biāo)志值大小等分為k個 部分的數(shù)值稱為“k分位數(shù)”。 2.常用的分位數(shù) 四分位數(shù)、十分位數(shù)和百分位數(shù)。 中位數(shù)實(shí)際上是一個兩分位數(shù),四、各種平均數(shù)的比較,（一）算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)和調(diào)和平均數(shù)三者的關(guān)系。（證明略） （二）數(shù)值平均數(shù)和位置平均數(shù)的比較 （1）數(shù)值平均數(shù)對于數(shù)據(jù)的概括能力比位置平均數(shù)強(qiáng)。 （2）數(shù)值平均數(shù)和位置平均數(shù)對數(shù)據(jù)變化的“靈敏度”“耐抗性”不同。 （3）數(shù)值平均數(shù)和位置平均數(shù)使用的數(shù)據(jù)類型不同。,眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的特點(diǎn)和應(yīng)用,眾數(shù) 不受極端值影響 具有不惟一性 數(shù)據(jù)分布偏斜程度較大時應(yīng)用 中位數(shù) 不受極端值影響 數(shù)據(jù)分布偏斜程度較大時應(yīng)用 平均數(shù) 易受極端值影響 數(shù)學(xué)性質(zhì)優(yōu)良 數(shù)據(jù)對稱分布或接近對稱分布時應(yīng)用,（三）算術(shù)平均數(shù)與眾數(shù)、中位數(shù)在鐘形分布時三種集中趨勢的關(guān)系,（1）當(dāng)總體分布呈對稱狀態(tài)時，三者合而為一，即三者相等。 （2）當(dāng)總體分布呈右偏，則中位數(shù)大于眾數(shù)，小于算術(shù)平均數(shù)。 （3）當(dāng)總體分布呈左偏，則中位數(shù)大于算術(shù)平均數(shù)，小于眾數(shù)。 以上第2、3種情況均為總體分布呈非對稱狀態(tài)，這時 三者之間就存在著一定的差別，愈不對稱，差別越 大。,英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家卡爾.皮爾遜認(rèn)為，當(dāng)分布只是適 當(dāng)偏態(tài)時，三者之間的數(shù)量關(guān)系是: 中位數(shù)一般介于眾數(shù)和均值之間，中位數(shù)與算 術(shù)平均數(shù)的距離是眾數(shù)與算術(shù)平均數(shù)距離的三 分之一，即關(guān)系式為： 或,第二節(jié) 分布的離散程度,一、變異指標(biāo)概述 二、極差 三、平均差 四、方差和標(biāo)準(zhǔn)差 五、變異系數(shù),一、變異指標(biāo)概述,（一）概念 標(biāo)志變異指標(biāo)是反映統(tǒng)計(jì)數(shù)列中以平均數(shù)為中心，總體 各單位標(biāo)志值的差異大小范圍或離差程度的指標(biāo)。 變異指標(biāo)是評價平均數(shù)代表性的依據(jù)。變異越大，平均 數(shù)的代表性越差；反之，越好。 Eg.某車間有兩個生產(chǎn)小組，都是7名工人，各人日產(chǎn)件數(shù)： 甲組：20，40，60，70，80，100，120； 乙組：67，68，69，70，71，72， 73； 甲、乙兩組的平均每人日產(chǎn)量都為70件。 雖然兩組平均日產(chǎn)量相等，但甲組各工人日產(chǎn)件數(shù)相差很大 ，分布很散；而乙組各工人日產(chǎn)件數(shù)相差不大，分布相對集 中。平均數(shù)70件對甲組來說代表性不如對乙組的代表性大。,(二)標(biāo)志變異指標(biāo)的作用 1.標(biāo)志變異指標(biāo)可以衡量平均數(shù)代表性的大小。 2.標(biāo)志變異指標(biāo)可以反映社會經(jīng)濟(jì)活動過程的節(jié)奏性和均衡性。 3.標(biāo)志變異指標(biāo)可以反映總體單位標(biāo)志值的均勻性和穩(wěn)定性。 4.標(biāo)志變異指標(biāo)是科學(xué)地確定必要的抽樣單位數(shù)應(yīng)考慮的重要因素。,（三）常見的變異指標(biāo),極差（全距） 分位差 平均差 標(biāo)準(zhǔn)差 離散系數(shù)（變異系數(shù)）,二、極差,1.概念 極差又稱“變異全距”，它是總體各單位標(biāo)志的 最大值與最小值之差，通常用“R”表示。 2.計(jì)算 極差最大標(biāo)志值最小標(biāo)志值 極差最高組上限最低組下限 如前例，甲組日產(chǎn)件數(shù)的極差,R=1202010（件） 乙組日產(chǎn)件數(shù)的極差,R=73676（件）,3.意義,極差用以說明標(biāo)志值變動范圍的大小，極差越 小，說明變量值越集中，變異程度越??；反 之，R數(shù)值越大，說明變量值越分散，變異程 度越大。 極差說明分布的離散程度有兩點(diǎn)不足之處： 它取決于兩個極端值的大小，不能反映中間數(shù)據(jù)的分布情況； 受極端值的影響過于顯著，對數(shù)據(jù)的變化反映不敏感。,三、分位差,分位差是對極差的改進(jìn)，也就是從變量數(shù)列中剔除了一部分極端值后重新計(jì)算的類似于極差的指標(biāo)。 自己看書（p77）,四、平均差,1.概念 總體中各單位對其平均數(shù)的離差絕對值的算術(shù)平 均數(shù)，通常用“A.D.”表示。 2.意義 平均差能夠綜合反映總體中各單位標(biāo)志值變動的影 響。平均差越大，表示標(biāo)志變異程度越大，則平均數(shù)的 代表性就越??；反之，平均差越小，表示標(biāo)志變異稱度 越小，則平均數(shù)的代表性就越大。,3.特點(diǎn) 平均差是根據(jù)全部變量計(jì)算出來的，所以對整個變量 值的離散程度有較充分的代表性。但平均差計(jì)算由于 采用取離差絕對值的方法來消除正負(fù)離差，因而不適 合于代數(shù)方法的演算，使其應(yīng)用受到限制。 4.計(jì)算 （1）未分組資料： （2）分組資料：,五、方差和標(biāo)準(zhǔn)差,1.概念 標(biāo)準(zhǔn)差又稱“均方差”，是總體各單位標(biāo)志值與其算術(shù) 平均數(shù)的離差平方的算術(shù)平均數(shù)的算術(shù)平方根，通常 用“ ”表示。 標(biāo)準(zhǔn)差的平方就是方差。 2.意義 其意義與平均差基本相同，也是根據(jù)各個標(biāo)志值對其 算術(shù)平均數(shù)求其平均離差后再來計(jì)算的，但是由于用 離差平方的方法來消除正負(fù)離差，因此在數(shù)學(xué)處理長 比平均差更為合理和優(yōu)越。,3.計(jì)算 （1）未分組資料： （2）分組資料： 簡便計(jì)算方法： 其中,4.方差和標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì),（1）方差和標(biāo)準(zhǔn)差具有平移不變性。即yax的方差與x的方差相同，a為任意常數(shù)。 （2）將原變量乘以一個任意常數(shù)b，則新變量ybx的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別變?yōu)樵瓉淼?倍和 倍。 （3）如果兩個變量x和y相互獨(dú)立，它們的代數(shù)和的方差就等于原來兩個變量的方差之和，它們的代數(shù)和的標(biāo)準(zhǔn)差則等于兩個變量方差之和的正平方根。 （4）在總體分組的條件下，變量的總方差可以分解為組內(nèi)方差平均數(shù)和組間方差兩部分。,5.“01”分布的數(shù)值特征,有些事物或現(xiàn)象的特征只表現(xiàn)為兩種性質(zhì)上的差異。例如，產(chǎn)品的質(zhì)量表現(xiàn)為合格和不合格；人的性別表現(xiàn)為男或女；對某一電視節(jié)目表現(xiàn)為收看或不收看；學(xué)生成績可以分為及格或不及格，等等。 這