全國(guó)高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題四立體幾何與空間向量第1講空間幾何體學(xué)案理.doc

第1講空間幾何體考情考向分析1.以三視圖為載體，考查空間幾何體面積、體積的計(jì)算.2.考查空間幾何體的側(cè)面展開(kāi)圖及簡(jiǎn)單的組合體問(wèn)題熱點(diǎn)一三視圖與直觀圖1一個(gè)物體的三視圖的排列規(guī)則俯視圖放在正(主)視圖的下面，長(zhǎng)度與正(主)視圖的長(zhǎng)度一樣，側(cè)(左)視圖放在正(主)視圖的右面，高度與正(主)視圖的高度一樣，寬度與俯視圖的寬度一樣即“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”2由三視圖還原幾何體的步驟一般先依據(jù)俯視圖確定底面再利用正(主)視圖與側(cè)(左)視圖確定幾何體例1(1)(2018全國(guó))中國(guó)古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來(lái)構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是榫頭若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是()答案A解析由題意可知帶卯眼的木構(gòu)件的直觀圖如圖所示，由直觀圖可知其俯視圖應(yīng)選A.(2)有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是直角梯形(如圖所示)，ABC45，ABAD1，DCBC，則這塊菜地的面積為_(kāi)答案2解析如圖，在直觀圖中，過(guò)點(diǎn)A作AEBC，垂足為點(diǎn)E，則在RtABE中，AB1，ABE45，BE.而四邊形AECD為矩形，AD1，ECAD1，BCBEEC1.由此可還原原圖形如圖所示在原圖形中，AD1，AB2，BC1，且ADBC，ABBC，這塊菜地的面積為S(ADBC)AB22.思維升華空間幾何體的三視圖是從空間幾何體的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三個(gè)平面投影圖，因此在分析空間幾何體的三視圖問(wèn)題時(shí)，先根據(jù)俯視圖確定幾何體的底面，然后根據(jù)正(主)視圖或側(cè)(左)視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征，調(diào)整實(shí)線和虛線所對(duì)應(yīng)的棱、面的位置，再確定幾何體的形狀，即可得到結(jié)果在還原空間幾何體實(shí)際形狀時(shí)，一般是以正(主)視圖和俯視圖為主，結(jié)合側(cè)(左)視圖進(jìn)行綜合考慮跟蹤演練1(1)(2018衡水調(diào)研)某幾何體的正(主)視圖與俯視圖如圖所示，則其側(cè)(左)視圖可以為()答案B解析由俯視圖與正(主)視圖可知，該幾何體可以是一個(gè)三棱柱挖去一個(gè)圓柱，因此其側(cè)(左)視圖為矩形內(nèi)有一條虛線，虛線靠近矩形的左邊部分，只有選項(xiàng)B符合題意，故選B.(2)(2018合肥質(zhì)檢)如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別為棱CD，CC1，A1B1的中點(diǎn)，用過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)，G的平面截正方體，則位于截面以下部分的幾何體的側(cè)(左)視圖為()答案C解析取AA1的中點(diǎn)H，連接GH，則GH為過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)，G的平面與正方體的面A1B1BA的交線延長(zhǎng)GH，交BA的延長(zhǎng)線與點(diǎn)P，連接EP，交AD于點(diǎn)N，則NE為過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)，G的平面與正方體的面ABCD的交線同理，延長(zhǎng)EF，交D1C1的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，連接GQ，交B1C1于點(diǎn)M，則FM為過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)，G的平面與正方體的面BCC1B1的交線所以過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)，G的平面截正方體所得的截面為圖中的六邊形EFMGHN.故可得位于截面以下部分的幾何體的側(cè)(左)視圖為選項(xiàng)C所示熱點(diǎn)二幾何體的表面積與體積空間幾何體的表面積和體積計(jì)算是高考中常見(jiàn)的一個(gè)考點(diǎn)，解決這類(lèi)問(wèn)題，首先要熟練掌握各類(lèi)空間幾何體的表面積和體積計(jì)算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不規(guī)則幾何體分割成幾個(gè)規(guī)則幾何體的技巧，把一個(gè)空間幾何體納入一個(gè)更大的幾何體中的補(bǔ)形技巧例2(1)(2018百校聯(lián)盟聯(lián)考)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為()A848 B244C820 D28答案A解析由三視圖可知，該幾何體的下底面是長(zhǎng)為4，寬為2的矩形，左右兩個(gè)側(cè)面是底邊為2，高為2的三角形，前后兩個(gè)側(cè)面是底邊為4，高為的平行四邊形，所以該幾何體的表面積為S4222224848.(2)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是_，表面積是_答案6(6)解析由三視圖知，該幾何體是由四分之一球與半個(gè)圓錐組合而成，則該組合體的體積為V23223，表面積為S4222243226.思維升華(1)求多面體的表面積的基本方法就是逐個(gè)計(jì)算各個(gè)面的面積，然后求和(2)求簡(jiǎn)單幾何體的體積時(shí)，若所給的幾何體為柱體、錐體或臺(tái)體，則可直接利用公式求解；求組合體的體積時(shí)，若所給定的幾何體是組合體，不能直接利用公式求解，常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等進(jìn)行求解；求以三視圖為背景的幾何體的體積時(shí)，應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解跟蹤演練2(1)(2018齊魯名校教科研協(xié)作體模擬)中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中記載了公元前344年商鞅督造一種標(biāo)準(zhǔn)量器商鞅銅方升，其三視圖如圖所示(單位：寸)，若取3，其體積為12.6立方寸，則圖中的x為()A1.6 B1.8 C2.0 D2.4答案A解析由三視圖知，商鞅銅方升由一圓柱和一長(zhǎng)方體組合而成由題意得，(5.4x)31x212.6，解得x1.6.(2)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是()A11 B9 C7 D5答案D解析由三視圖知，該幾何體如圖，它可分成一個(gè)三棱錐EABD和一個(gè)四棱錐BCDEF，則V3321235.熱點(diǎn)三多面體與球與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切，一種是外接解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑球與旋轉(zhuǎn)體的組合，通常作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過(guò)多面體的一條側(cè)棱和球心(或“切點(diǎn)”“接點(diǎn)”)作出截面圖例3(1)(2018武漢調(diào)研)已知正三棱錐SABC的頂點(diǎn)均在球O的球面上，過(guò)側(cè)棱SA及球心O的平面截三棱錐及球面所得截面如圖所示，已知三棱錐的體積為2，則球O的表面積為()A16 B18C24 D32答案A解析設(shè)正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為a，外接球的半徑為R，因?yàn)檎忮F的底面為正三角形，邊長(zhǎng)為a，則ADa，則AOADa，所以aR，即aR，又因?yàn)槿忮F的體積為2，所以a2R2R2，解得R2，所以球的表面積為S4R216.(2)(2018衡水金卷信息卷)如圖是某三棱錐的三視圖，則此三棱錐內(nèi)切球的體積為()A. B.C. D.答案D解析把此三棱錐嵌入長(zhǎng)、寬、高分別為20,24,16的長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，三棱錐BKLJ即為所求的三棱錐，其中KC19，C1LLB112，B1B16，則KC1LLB1B，KLB90，故可求得三棱錐各面面積分別為SBKL150，SJKL150，SJKB250，SJLB250，故表面積為S表800.三棱錐體積VSBKLJK1 000，設(shè)內(nèi)切球半徑為r，則r，故三棱錐內(nèi)切球體積V球r3.思維升華三棱錐PABC可通過(guò)補(bǔ)形為長(zhǎng)方體求解外接球問(wèn)題的兩種情形(1)點(diǎn)P可作為長(zhǎng)方體上底面的一個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)A，B，C可作為下底面的三個(gè)頂點(diǎn)(2)PABC為正四面體，則正四面體的棱都可作為一個(gè)正方體的面對(duì)角線跟蹤演練3(1)(2018咸陽(yáng)模擬)在三棱錐PABC中，PA平面ABC，ABBC，若AB2，BC3，PA4，則該三棱錐的外接球的表面積為()A13 B20C25 D29答案D解析把三棱錐PABC放到長(zhǎng)方體中，如圖所示，所以長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為，所以三棱錐外接球的半徑為，所以外接球的表面積為4229.(2)(2018四川成都名校聯(lián)考)已知一個(gè)圓錐的側(cè)面積是底面積的2倍，記該圓錐的內(nèi)切球的表面積為S1，外接球的表面積為S2，則等于()A12 B13 C14 D18答案C解析如圖，由已知圓錐側(cè)面積是底面積的2倍，不妨設(shè)底面圓半徑為r，l為底面圓周長(zhǎng)，R為母線長(zhǎng)，則lR2r2，即2rR2r2，解得R2r，故ADC30，則DEF為等邊三角形，設(shè)B為DEF的重心，過(guò)B作BCDF，則DB為圓錐的外接球半徑，BC為圓錐的內(nèi)切球半徑，則，故.真題體驗(yàn)1(2018全國(guó)改編)某圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16，其三視圖如右圖圓柱表面上的點(diǎn)M在正(主)視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，圓柱表面上的點(diǎn)N在側(cè)(左)視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為_(kāi)答案2解析先畫(huà)出圓柱的直觀圖，根據(jù)題中的三視圖可知，點(diǎn)M，N的位置如圖所示圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖及M，N的位置(N為OP的四等分點(diǎn))如圖所示，連接MN，則圖中MN即為M到N的最短路徑ON164，OM2，MN2.2(2017北京改編)某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為_(kāi)答案2解析在正方體中還原該四棱錐，如圖所示，可知SD為該四棱錐的最長(zhǎng)棱由三視圖可知，正方體的棱長(zhǎng)為2，故SD2.3(2017天津)已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，若這個(gè)正方體的表面積為18，則這個(gè)球的體積為_(kāi)答案解析設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則6a218，a.設(shè)球的半徑為R，則由題意知2R3，R.故球的體積VR33.4(2017全國(guó))已知三棱錐SABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SC是球O的直徑若平面SCA平面SCB，SAAC，SBBC，三棱錐SABC的體積為9，則球O的表面積為_(kāi)答案36解析如圖，連接OA，OB.由SAAC，SBBC，SC為球O的直徑知，OASC，OBSC.由平面SCA平面SCB，平面SCA平面SCBSC，OA平面SCB.設(shè)球O的半徑為r，則OAOBr，SC2r，三棱錐SABC的體積VSCOBOA，即9，r3，球O的表面積S4r236.押題預(yù)測(cè)1一個(gè)幾何體的三視圖及其尺寸如圖所示，則該幾何體的表面積為()A16 B88C228 D448押題依據(jù)求空間幾何體的表面積或體積是立體幾何的重要內(nèi)容之一，也是高考命題的熱點(diǎn)此類(lèi)題常以三視圖為載體，給出幾何體的結(jié)構(gòu)特征，求幾何體的表面積或體積答案D解析由三視圖知，該幾何體是底面邊長(zhǎng)為2的正方形，高PD2的四棱錐PABCD，因?yàn)镻D平面ABCD，且四邊形ABCD是正方形，易得BCPC，BAPA，又PC2，所以SPCDSPAD222，SPABSPBC222.所以幾何體的表面積為448.2在正三棱錐SABC中，點(diǎn)M是SC的中點(diǎn)，且AMSB，底面邊長(zhǎng)AB2，則正三棱錐SABC的外接球的表面積為()A6 B12C32 D36押題依據(jù)靈活運(yùn)用正三棱錐中線與棱之間的位置關(guān)系來(lái)解決外接球的相關(guān)問(wèn)題，是高考的熱點(diǎn)答案B解析因?yàn)槿忮FSABC為正三棱錐，所以SBAC，又AMSB，ACAMA，AC，AM平面SAC，所以SB平面SAC，所以SBSA，SBSC，同理SASC，即SA，SB，SC三線兩兩垂直，且AB2，所以SASBSC2，所以(2R)232212，所以球的表面積S4R212，故選B.3已知半徑為1的球O中內(nèi)接一個(gè)圓柱，當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，球的體積與圓柱的體積的比值為_(kāi)押題依據(jù)求空間幾何體的體積是立體幾何的重要內(nèi)容之一，也是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題之一，主要是求柱體、錐體、球體或簡(jiǎn)單組合體的體積本題通過(guò)球的內(nèi)接圓柱，來(lái)考查球與圓柱的體積計(jì)算，命題角度新穎，值得關(guān)注答案解析如圖所示，設(shè)圓柱的底面半徑為r，則圓柱的側(cè)面積為S2r24r42.所以當(dāng)r時(shí)，.A組專(zhuān)題通關(guān)1(2018濟(jì)南模擬)如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，P為BD1的中點(diǎn)，則PAC在該正方體各個(gè)面上的正投影可能是()A BC D答案B解析P點(diǎn)在上下底面投影落在AC或A1C1上，所以PAC在上底面或下底面的投影為，在前、后面以及左、右面的投影為.2(2018百校聯(lián)盟聯(lián)考)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為()A.4 B104C.4 D.4答案D解析由三視圖可知該幾何體為一個(gè)直三棱柱削掉一個(gè)三棱錐所得，所以其表面積為22222222()21234.3(2017全國(guó))某多面體的三視圖如圖所示，其中正(主)視圖和側(cè)(左)視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長(zhǎng)為2，俯視圖為等腰直角三角形，該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形，這些梯形的面積之和為()A10 B12C14 D16答案B解析觀察三視圖可知，該多面體是由直三棱柱和三棱錐組合而成的，且直三棱柱的底面是直角邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為2.三棱錐的底面是直角邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，高為2，如圖所示因此該多面體各個(gè)面中有兩個(gè)梯形，且這兩個(gè)梯形全等，梯形的上底長(zhǎng)為2，下底長(zhǎng)為4，高為2，故這兩個(gè)梯形的面積之和為2(24)212.故選B.4某幾何體的正(主)視圖和側(cè)(左)視圖如圖(1)所示，它的俯視圖的直觀圖是ABC，如圖(2)所示，其中OAOB2，OC，則該幾何體的表面積為()A3612 B248C2412 D368答案C解析由圖(2)可知，該幾何體的俯視圖是一個(gè)底面邊長(zhǎng)為4，高為2的等腰三角形，即該三角形為等邊三角形，在如圖所示的長(zhǎng)方體中，長(zhǎng)、寬、高分別為4,2，6，三視圖還原為幾何體是圖中的三棱錐PABC，且SPABSPBC4612，SABC424，PAC是腰長(zhǎng)為，底面邊長(zhǎng)為4的等腰三角形，SPAC8.綜上可知，該幾何體的表面積為212482412.故選C.5(2018張掖市質(zhì)量診斷)已知如圖所示的三棱錐DABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，ABC和DBC所在的平面互相垂直，AB3，AC，BCCDBD2，則球O的表面積為()A4 B12C16 D36答案C解析如圖所示，AB2AC2BC2，CAB為直角，即ABC外接圓的圓心為BC的中點(diǎn)O.ABC和DBC所在的平面互相垂直，則球心在過(guò)DBC的圓面上，即DBC的外接圓為球的大圓，由等邊三角形的重心和外心重合，易得球半徑R2，球的表面積為S4R216，故選C.6(2018衡水金卷信息卷)已知正四棱錐PABCD的各頂點(diǎn)都在同一球面上，底面正方形的邊長(zhǎng)為，若該正四棱錐的體積為2，則此球的體積為()A. B. C. D.答案C解析如圖所示，設(shè)底面正方形ABCD的中心為O，正四棱錐PABCD的外接球的球心為O，底面正方形的邊長(zhǎng)為，OD1，正四棱錐的體積為2，VPABCD()2PO2，解得PO3，OO|POPO|3R|，在RtOOD中，由勾股定理可得OO2OD2OD2，即(3R)212R2，解得R，V球R33.7在三棱錐SABC中，側(cè)棱SA底面ABC，AB5，BC8，ABC60，SA2，則該三棱錐的外接球的表面積為()A. B.C. D.答案B解析由題意知，AB5，BC8，ABC60，則根據(jù)余弦定理可得AC2AB2BC22ABBCcosABC，解得AC7，設(shè)ABC的外接圓半徑為r，則ABC的外接圓直徑2r，r，又側(cè)棱SA底面ABC，三棱錐的外接球的球心到平面ABC的距離dSA，則外接球的半徑R ，則該三棱錐的外接球的表面積為S4R2.8(2018北京海淀區(qū)模擬)某幾何體的正(主)視圖和俯視圖如圖所示，在下列圖形中，可能是該幾何體側(cè)(左)視圖的圖形是_(寫(xiě)出所有可能的序號(hào))答案解析如圖a三棱錐CABD，正(主)視圖與俯視圖符合題意，側(cè)(左)視圖為；如圖b四棱錐PABCD，正(主)視圖與俯視圖符合題意，側(cè)(左)視圖為；如圖c三棱錐PBCD，正(主)視圖與俯視圖符合題意，側(cè)(左)視圖為.9(2018安徽省“皖南八?！甭?lián)考)如圖1所示是一種生活中常見(jiàn)的容器，其結(jié)構(gòu)如圖2，其中ABCD是矩形，ABFE和CDEF都是等腰梯形，且AD平面CDEF，現(xiàn)測(cè)得AB20 cm，AD15 cm，EF30 cm，AB與EF間的距離為25 cm，則幾何體EFABCD的體積為_(kāi)cm3.答案3 500解析在EF上，取兩點(diǎn)M，N(圖略)，分別滿足EMNF5，連接DM，AM，BN，CN，則該幾何體就被分割成兩個(gè)棱錐和一個(gè)棱柱，根據(jù)柱、錐體的體積公式以及題中所給的相關(guān)量，可以求得V2015202201553 500.10(2018全國(guó)改編)設(shè)A，B，C，D是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，ABC為等邊三角形且其面積為9，則三棱錐DABC體積的最大值為_(kāi)答案18解析由等邊ABC的面積為9，可得AB29，所以AB6，所以等邊ABC的外接圓的半徑為rAB2.設(shè)球的半徑為R，球心到等邊ABC的外接圓圓心的距離為d，則d2.所以三棱錐DABC高的最大值為246，所以三棱錐DABC體積的最大值為9618.11(2018全國(guó))已知圓錐的頂點(diǎn)為S，母線SA，SB所成角的余弦值為，SA與圓錐底面所成角為45，若SAB的面積為5，則該圓錐的側(cè)面積為_(kāi)答案40解析如圖，SA與底面所成角為45，SAO為等腰直角三角形設(shè)OAr，則SOr，SASBr.在SAB中，cosASB，sinASB，SSABSASBsinASB(r)25，解得r2，SAr4，即母線長(zhǎng)l4，S圓錐側(cè)rl2440.12(2018華大新高考聯(lián)盟質(zhì)檢)已知二面角l的大小為，點(diǎn)P，點(diǎn)P在 內(nèi)的正投影為點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作ABl，垂足為點(diǎn)B，點(diǎn)Cl，BC2，PA2，點(diǎn)D，且四邊形ABCD滿足BCDDAB.若四面體PACD的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的體積為_(kāi)答案8解析BCDDAB，A，B，C，D四點(diǎn)共圓，直徑為AC.PA平面，ABl，由三垂線定理得PBl，即PBA為二面角l的平面角，即PBA，PA2，BA2，BC2，AC2.設(shè)球的半徑為R，則2，R，V()38.B組能力提高13若四棱錐PABCD的三視圖如圖所示，則該四棱錐的外接球的表面積為()A. B. C. D.答案C解析根據(jù)三視圖還原幾何體為一個(gè)四棱錐PABCD，如圖所示，平面PAD平面ABCD，由于PAD為等腰三角形，PAPD3，AD4，四邊形ABCD為矩形，CD2，過(guò)PAD的外心F作平面PAD的垂線，過(guò)矩形ABCD的中心H作平面ABCD的垂線，兩條垂線交于一點(diǎn)O，則O為四棱錐外接球的球心，在PAD中，cosAPD，則sinAPD，2PF，PF，PE，OHEF，BH，OB ，所以S4.14(2018龍巖質(zhì)檢)如圖所示，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，切去陰影部分圍成一個(gè)