非簡并定態(tài)微擾理論.ppt

第五章 微擾理論,5-1 非簡并定態(tài)微擾理論 5-2 簡并情況下的微擾理論,前面，利用薛定諤方程求解了一些簡單的能量本征問題。例如：線性諧振子、方勢阱、氫原子問題等。實(shí)際上，能用薛定諤方程嚴(yán)格求解的問題極為有限，大多數(shù)問題無法嚴(yán)格求解，只能求近似解。求近似解的方法很多，例如微擾理論、變分法等。每一種方法都有它的適用范圍，其中應(yīng)用最為廣泛的就是微擾理論。,微擾理論的實(shí)質(zhì)是把體系的哈密頓寫成兩項(xiàng)和的形式,其中 （不顯含 ）的解已知或可精確求解，它包括了體系的主要性質(zhì)； 對(duì)體系的影響很小，可作擾動(dòng)處理。這樣，在 的解的基礎(chǔ)上用 修正 的解，就得到了復(fù)雜體系的 的近似解。,分為兩種情況：,（1） 不顯含 ，即定態(tài)問題，它又分為非簡并和簡并兩種情況；,（2） 顯含 ，可用它的近似解討論體系狀態(tài)之間的躍遷問題及光的發(fā)射和吸收等問題。,本章主要介紹定態(tài)微擾理論。,5-1 非簡并定態(tài)微擾理論,一、一級(jí)近似解 二、二級(jí)近似解 三、結(jié)果討論,5-1 非簡并定態(tài)微擾理論,已知 不顯含時(shí)間，且,（ 是很小的實(shí)參量）,的本征方程,、 已經(jīng)解出，且 不簡并。,設(shè)體系的定態(tài)薛定諤方程為,由于 和 都與微擾有關(guān)，可以把它們看作是表征微擾程度的參數(shù) 的函數(shù)，將它們展為 的冪級(jí)數(shù)，即,將展開式代入薛定諤方程中，得,得,逐級(jí)近似方程,假定 已經(jīng)歸一化，則,一、一級(jí)近似解,考慮 的第 個(gè)能量本征值 和相應(yīng)本征函數(shù) 的修正。,把 用 展開,代入到一級(jí)等式 中，得,做運(yùn)算 ，得,當(dāng) 時(shí)，上式變成,所以，能量一級(jí)修正值為,當(dāng) 時(shí)，上式變成,因此,求和號(hào)上加一撇，表示不包含 項(xiàng)。,所以，波函數(shù)一級(jí)修正為,總結(jié)：,一級(jí)近似解為,二、二級(jí)近似解,令,代入到二級(jí)等式 中，得,做運(yùn)算 ，得,當(dāng) 時(shí)， ，上式變成,所以，能量二級(jí)修正值為,能量的二級(jí)近似值為,三、結(jié)果討論,1微擾論的適用條件,（1）一方面 要足夠?。?），可把它看成擾動(dòng)項(xiàng)；,（2）另一方面能級(jí)間距 要足夠大，所有 要足夠遠(yuǎn)離被修正的能級(jí) 。,例如：庫侖場,故微擾理論只適用于計(jì)算較低能級(jí)的修正。,注意：以上公式只適用于能量本征值非簡并且分立的情況。,2 在 表象中的矩陣形式,可見，在 表象中， 的對(duì)角元素就是各能級(jí)的一級(jí)修正， 矩陣的對(duì)角元素為一級(jí)近似值，二級(jí)修正與非對(duì)角元素有關(guān)。,例1一電荷為 的線性諧振子受恒定弱電場 作用，電場沿 正方向。用微擾法求體系的定態(tài)能量和波函數(shù)。,解：,其中,的本征解,（1）求能量,所以，準(zhǔn)確到二級(jí)近似的能量為,