質(zhì)點運動學教學.ppt

0,第一章 質(zhì)點運動學,1,1.1 空間和時間,時間和空間的測量,絕對時空觀 絕對空間，就其本性來說，與任何外在的情況無關(guān)， 始終保持著相似和不變。 絕對的、純粹的數(shù)學的時間，就其本性來說，均勻地 流逝而與任何外在的情況無關(guān)。 牛頓自然哲學的數(shù)學原理,時間和空間的測量與物體的存在和運動沒有任何關(guān)系,2,Wireless GPS Synchronized Clock System,3,參考物：選取的一個有固定大小和形狀的物體。 相對參考物，可以確定其它物體的位置。,參考空間：沿左右、前后、上下三對方向無限擴展， 構(gòu)成三維平直空間,參考系：參考空間+測量時間的時鐘,坐標系：在參考空間中任選一點作為原點， 可建立各種坐標系。,時間的零點也可任選,x,z,y,O,參考系,4,相對運動的參考系,兩個參考系之間若有相對運動， 他們觀測同一個運動物體 是否會得到相同的距離和時間？,x,z,y,O,5,由繁到簡 將物體模型化為一個點質(zhì)點,由簡到繁 質(zhì)點質(zhì)點系,質(zhì)點,6,1.2 直線運動,1.2.1 位移 速度 加速度,直線運動的運動方程,位移,矢量的標量化：引入正負號即可表示方向,7,平均速度和瞬時速度,t,x,O,P,Q,切線,割線,平均速度,瞬時速度,某一點的導(dǎo)數(shù)將該點的函數(shù)值與它相鄰的函數(shù)值聯(lián)系起來,求導(dǎo) 積分,歷史上，正是由于牛頓在處理這類基本力學問題時需要 一種適當?shù)臄?shù)學工具，才促使他創(chuàng)建了微積分。,8,平均速度,不能反映各個時刻的運動,瞬時速度，簡稱速度,加速度,瞬時速度,9,如果已知加速度隨時間的變化,質(zhì)點的運動狀態(tài)：,質(zhì)點的初始運動狀態(tài)：,10,例題 物體在 t0 時刻的初始運動狀態(tài)為(x0,v0)， 加速度 求 t 時刻的位置和速度,先求 t 時刻的速度,微分關(guān)系式,兩邊積分,11,再求 t 時刻的位置,微分關(guān)系式,兩邊積分,物體運動的初始狀態(tài)與積分常數(shù)一一對應(yīng),12,1.2.2 三類直線運動,直線運動可按加速度為零、常量和變量分為： 勻速、勻加速和變加速,例 簡諧振動,13,例 小球A在傾角為的光滑斜面頂部從靜止下滑，同時小球B在斜面底部從靜止開始勻加速離開斜面。若A不能追上B，試求B的加速度a的取值范圍。,A,B,分析：a越小，A越能追上B， 先求A恰能追上B的加速度臨界值。,設(shè)A滑到底部的速度為vA，所用時間為t1,經(jīng)t2時間，A恰能追上B的條件,路程,速度,B的加速度a的取值范圍,14,第一章作業(yè) A組 4，5，7，9，11，13 14，15，17，18，23，25 B組 26、33、34,15,1.3 平面曲線運動,直角坐標系,自然坐標系,極坐標系,16,1.3.1 直角坐標系分解,在質(zhì)點運動的平面上建立直角坐標系Oxy,x,y,O,P,位置矢量,質(zhì)點的平面曲線運動方程,這個運動方程有兩個分量式,平面曲線運動可正交地分解為兩個直線運動,17,x,y,O,P,Q,速度,t 時刻質(zhì)點位于P處，位置矢量,t + dt 時刻質(zhì)點運動到Q處，位矢,位移,加速度,18,例 空心入籃,O,x,y,水平線,xA,A,拋射角,無極大值，但有極小值,極小值對應(yīng)的拋射角,19,1.3.2 自然坐標系分解,自由度：確定物體的運動狀態(tài)所需的獨立坐標的數(shù)目。,限定在一條曲線上運動：,限定在圓周上運動：,曲面上運動的質(zhì)點最多有兩個自由度,20,圓周運動,角速度,角加速度,圓周運動加速度可分解為,速度,與速度垂直，改變速度方向,與速度平行，改變速度大小,21,無限小角位移矢量,初、末態(tài)矢量與轉(zhuǎn)動正方向滿足右手螺旋法則,無限小角位移與有限角位移的區(qū)別？,22,有限角位移不是矢量,不滿足矢量加法的交換律,23,角速度,角加速度,角速度和角加速度都沿轉(zhuǎn)軸的方向,無限小角位移是矢量,24,轉(zhuǎn)動引起的無限小位移,速度,加速度,25,曲線的曲率和曲率半徑,曲率,曲率半徑,曲率正比于轉(zhuǎn)過的角度，反比于經(jīng)過的路程。,26,自然坐標系,自然坐標系的兩個正交基矢,沿速度方向,指向曲率圓的圓心,加速度在自然坐標系中的分解,切向單位矢量,法向單位矢量,27,計算曲率半徑的運動學方法,（1）假設(shè)一種沿曲線的簡單運動,（2）計算各點的速度,（3）計算各點的加速度,（4）計算與速度方向垂直的加速度分量，即向心加速度,（5）計算曲率半徑,28,例 橢圓半長軸和半短軸處的曲率半徑,A,B,假設(shè)一沿軌道的運動,求速度和加速度,求向心加速度,在(A, 0)處,在(0, B)處,代入公式，曲率半徑,29,1.3.3 極坐標系分解,極坐標系,基矢,任意矢量的分解,與直角坐標系的變換,30,正交基矢與極坐標的微分關(guān)系,正交基矢只依賴 ，與 r 無關(guān),當變化時，正交基矢同時改變方向 滿足微分關(guān)系,31,極坐標系中位置矢量、速度和加速度的表示,位置矢量,速度,徑向速度,橫向速度,32,徑向速度,橫向速度,徑向速度依賴 r 隨時間的變化和徑向基矢,橫向速度依賴 r、 隨時間的變化和橫向基矢,當 r 和 隨時間變化時，徑向速度的變化包含兩項 橫向速度的變化包含三項,徑向基矢和橫向基矢依賴 ,33,徑向速度大小的變化,徑向速度方向的變化,r增大引起橫向速度的變化,角速度增大引起橫向速度的變化,橫向速度方向的變化,34,徑向加速引起,橫向旋轉(zhuǎn)引起,徑向變化與橫向旋轉(zhuǎn)共同引起,加速旋轉(zhuǎn)引起,加速度,35,平面極坐標系中質(zhì)點運動的軌道方程,在平面上，質(zhì)點的運動方程,在極坐標系中，質(zhì)點的運動方程,消去時間參量 t，得到極坐標系中的質(zhì)點運動軌道方程,若已知徑向速度與橫向速度，利用,通過積分，可以得到軌道方程,36,例 狐貍沿圓周跑，狗從圓心出發(fā)，速度都為v，圓心、狗、狐貍始終連成一直線。 求狗的速度、加速度和軌道方程。,狐貍的角速度,狗有橫向和縱向速度,狗的橫向和縱向加速度,軌道方程,37,r,例 四點追擊 四支狗開始位于邊長為 l 的正方形四個頂點上，追擊速度v保持不變，求開始時狗的加速度、相遇的時間和軌道方程。,分析：四支狗始終成一正方形,經(jīng)過時間間隔dt,加速度,沿徑矢的分速度不變,相遇的時間,38,1.4 空間曲線運動,1.4.1質(zhì)點的空間曲線運動,x,y,O,P,Q,z,x,y,z,質(zhì)點的位置矢量,運動方程,可分解成三個直線運動方程,39,位移,速度,加速度,40,1.4.2 質(zhì)點系和剛體的空間運動,物體的形狀不可忽略,若物體內(nèi)各個點部位的運動相同，整個物體可近似為質(zhì)點。,若物體內(nèi)各個點部位的運動不相同， 將它分解成一系列無窮小部位，每個小部位可處理為質(zhì)點， 物體質(zhì)點系,力學中質(zhì)點系是普適性的系統(tǒng)模型,41,剛體的運動,剛體的自由度,剛體的平動,剛體的定點轉(zhuǎn)動,剛體的定軸轉(zhuǎn)動,質(zhì)點在空間中自由運動，有三個自由度。,寵辱不驚，閑看庭前花開花落； 去留無意，漫隨天外云卷云舒。,42,1.5 參考系間的相對運動,1.5.1 參考系間的平動,z,y,O,P,x,y,z,O,x,S系,S系,兩個參考系觀測同一質(zhì)點的運動,時間,位置矢量,43,平動：參考系S 的基矢相對參考系S不變， 參考系S 的基矢不隨時間變化。,位置矢量,速度,加速度,44,1.5.2 參考系間的勻速定軸轉(zhuǎn)動,y,O,P,x,y,O,x,S系,S系,轉(zhuǎn)動參考系：相對S系，S系繞著它的某一點O勻速定軸轉(zhuǎn)動。 轉(zhuǎn)動角速度沿z軸方向。,兩個坐標系的原點和z軸重合,在兩個坐標系中質(zhì)點P的,速度,加速度,位置矢量,45,y,O,P,x,y,O,x,S系,S系,質(zhì)點P相對S系靜止，相對S系作勻速圓周運動。,在S系 質(zhì)點P的速度、加速度皆為零,在S系 質(zhì)點P的速度為r ，沿切向。 加速度為r2，指向原點。,若質(zhì)點P相對S系運動，速度、加速度的變換關(guān)系就更為復(fù)雜。,46,y,O,P,x,y,O,x,S系,S系,相對S系，它自己的基矢是靜止不變的； 但S的基矢由于轉(zhuǎn)動是隨時間變化的。,坐標關(guān)系,47,加速度的推導(dǎo),非勻速轉(zhuǎn)動,48,y,O,P,x,y,O,x,S系,S系,質(zhì)點P相對S系靜止，相對S系作勻速圓周運動。,在S系 質(zhì)點P的速度、加速度皆為零,在S系,速度、加速度的大小和方向與質(zhì)點P在S系中作勻速圓周運動一致,49,1.5.2 參考系中質(zhì)點間的相對運動,在參考系S中，質(zhì)點B 相對質(zhì)點A的運動,一個質(zhì)點不能作為運動參考物，不能建立相應(yīng)的參考空間和參考系,z,O,B,x,y,A,S系,在參考系S中，可分別測量質(zhì)點A的運動、質(zhì)點B的運動。,B相對A的運動,B點相對S系的運動 = B點相對A點的運動 +A點相對S系的運動,或,B的運動 = B相對A的運動 +A的運動,50,例 直角三角板的邊長如圖示，開始時，斜邊靠在y軸上，使A點單調(diào)地朝O點運動。（1）AC平行x軸時，A點速度為vA，求C點的速度和加速度。（2）A運動到原點時，求C點通過的路程。,O,x,y,A,a,b,B,C,O,x,y,A,a,b,B,C,O,x,y,A,a,b,B,C,51,O,x,y,A,a,b,B,C,（1）C點的速度和加速度,C點的速度 = C相對A的速度 + A的速度,C點速度的x分量,C點速度的y分量,C點的加速度 = C相對A的加速度 + A的加速度,C點的加速度 = C相對B的加速度 + B的加速度,52,O,x,y,A,a,b,B,C,O、A、B、C四點共圓，OC的方向不變。,A、C兩點的速度沿CA邊的分量相等,C點先遠離O點、靜止、再靠近O點,53,例 三根細桿在一平面內(nèi)相連，并可繞連接處轉(zhuǎn)動。A、D是兩個轉(zhuǎn)軸。當AB桿以角速度轉(zhuǎn)到豎直位置時，求此時C點加速度的大小和方向。,A,B,C,D,l,l,450,450,解法一,已知B點的速度和加速度,C點作圓周運動，有法向和切向加速度。,由約束關(guān)系：B、C兩點沿桿的速度分量相等，得到C點速度。,C點相對B點加速度沿BC桿的分量：C相對B作圓周運動。,54,解法二,建立直角坐標系,A,B,C,D,l,l,450,450,x,y,用三個角度和桿長表示C點坐標,C點坐標對時間的二階導(dǎo)數(shù)即C點的加速度,三個角度滿足約束關(guān)系，由此可得它們的一階、