《數(shù)學建模簡介》PPT課件.ppt

數(shù)學建模與數(shù)學實驗,山東工商學院數(shù)學與信息科學學院,數(shù)學建模簡介,數(shù)學建模簡介,1.關(guān)于數(shù)學建模,3.數(shù)學建模實例,2.數(shù)學建模論文的撰寫方法,C.人口預(yù)報問題,A. 椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？,B.商人安全過河問題,1、什么是數(shù)學模型？,數(shù)學模型是對于現(xiàn)實世界的一個特定對象，一個特定目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的假設(shè)，運用適當?shù)臄?shù)學工具，得到一個數(shù)學結(jié)構(gòu)。,1.1 名詞解釋,簡單地說：就是系統(tǒng)的某種特征的本質(zhì)的數(shù)學表達式（或是用數(shù)學術(shù)語對部分現(xiàn)實世界的描述），即用數(shù)學式子（如函數(shù)、圖形、代數(shù)方程、微分方程、積分方程、差分方程等）來描述（表述、模擬）所研究的客觀對象或系統(tǒng)在某一方面的存在規(guī)律。,2、什么是數(shù)學建模?,數(shù)學建模是利用數(shù)學方法解決實際問題的一種實踐。即通過抽象、簡化、假設(shè)、引進變量等處理過程后，將實際問題用數(shù)學方式表達，建立起數(shù)學模型，然后運用先進的數(shù)學方法及計算機技術(shù)進行求解。, 數(shù)學建模其實并不是什么新東西，可以說有了數(shù)學并需要用數(shù)學去解決實際問題，就一定要用數(shù)學的語言、方法去近似地刻劃該實際問題，這種刻劃的數(shù)學表述的就是一個數(shù)學模型，其過程就是數(shù)學建模的過程。數(shù)學模型一經(jīng)提出，就要用一定的技術(shù)手段（計算、證明等）來求解并驗證，其中大量的計算往往是必不可少的，高性能的計算機的出現(xiàn)使數(shù)學建模這一方法如虎添翼似的得到了飛速的發(fā)展，掀起一個高潮。, 數(shù)學建模將各種知識綜合應(yīng)用于解決實際問題中，是培養(yǎng)和提高同學們應(yīng)用所學知識分析問題、解決問題的能力的必備手段之一。,數(shù)學建模的基本方法,機理分析,測試分析,根據(jù)對客觀事物特性的認識， 找出反映內(nèi)部機理的數(shù)量規(guī)律,將對象看作“黑箱”,通過對量測數(shù)據(jù)的 統(tǒng)計分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型,機理分析沒有統(tǒng)一的方法，主要通過實例研究 (Case Studies)來學習。,二者結(jié)合,用機理分析建立模型結(jié)構(gòu), 用測試分析確定模型參數(shù),1.2 數(shù)學建模的方法和步驟,數(shù)學建模的一般步驟,模 型 準 備,了解實際背景,明確建模目的,搜集有關(guān)信息,掌握對象特征,形成一個 比較清晰 的問題,模 型 假 設(shè),針對問題特點和建模目的,作出合理的、簡化的假設(shè),在合理與簡化之間作出折中,模 型 構(gòu) 成,用數(shù)學的語言、符號描述問題,發(fā)揮想像力,使用類比法,盡量采用簡單的數(shù)學工具,數(shù)學建模的一般步驟,模型 求解,各種數(shù)學方法、軟件和計算機技術(shù),如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計分析、 模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析,模型 分析,模型 檢驗,與實際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較， 檢驗?zāi)Ｐ偷暮侠硇?、適用性,模型應(yīng)用,數(shù)學建模的一般步驟,數(shù)學建模的全過程,現(xiàn)實對象的信息,數(shù)學模型,現(xiàn)實對象的解答,數(shù)學模型的解答,(歸納),(演繹),表述,求解,解釋,驗證,根據(jù)建模目的和信息將實際問題“翻譯”成數(shù)學問題,選擇適當?shù)臄?shù)學方法求得數(shù)學模型的解答,將數(shù)學語言表述的解答“翻譯”回實際對象,用現(xiàn)實對象的信息檢驗得到的解答,實踐,現(xiàn)實世界,數(shù)學世界,模型,1.3 數(shù)學模型及其分類, 按研究方法和對象的數(shù)學特征分：初等模型、幾何模型、優(yōu)化模型、微分方程模型、圖論模型、邏輯模型、穩(wěn)定性模型、擴散模型等。,數(shù)學模型的分類：, 按研究對象的實際領(lǐng)域（或所屬學科）分：人口模型、交通模 型、環(huán)境模型、生態(tài)模型、生理模型、城鎮(zhèn)規(guī)劃模型、水資源模型、污染模型、經(jīng)濟模型、社會模型等。,全國大學生數(shù)學建模競賽是全國高校規(guī)模最大的課外科技活動之一。本競賽每年9月第三個星期五至下一周星期一（共3天，72小時）舉行，競賽面向全國大專院校的學生，不分專業(yè)（但競賽分甲、乙兩組，甲組競賽任何學生均可參加，乙組競賽只有大專生（包括高職、高專生）或本科非理工科學生可以參加）。,1.4 全國大學生數(shù)學建模競賽,2011 年，來自全國33個省/市/自治區(qū)(包括香港和澳 門特區(qū))及新加坡、美國、伊朗的1251所院校、19490個隊（其中本科組16008隊、?？平M3482隊）、58000多名大學生報名參加本項競賽。,競賽宗旨:,競賽相關(guān)網(wǎng)站：,創(chuàng)新意識 團隊精神 重在參與 公平競爭, ,競賽相關(guān)軟件包：,Matlab Mathematic Maple Lingo Lindo Sas Spss,1.5 近幾年全國大學生數(shù)學建模競賽題,我校從1998年參加全國大學生數(shù)學建模競賽以來，取得了較好的成績。共獲得全國二等獎5隊，山東省一等獎20余隊，山東省二等獎50余隊。特別地，2010年、2011年連續(xù)兩年均有國家獎獲得。,2010年成績,2011年成績,2. 數(shù)學建模論文的撰寫方法,1、摘要:問題、模型、方法、結(jié)果,2、問題重述,4、分析與建立模型,5、模型求解,6、模型檢驗,7、模型推廣,8、參考文獻,9、附錄,實例,3、模型假設(shè),格式,3. 數(shù)學建模示例,3.1 椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎,把四只腳的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只腳著地，放不穩(wěn)，然而有人認為只要稍轉(zhuǎn)動幾次，就可以四腳著地，放穩(wěn)了，對嗎？,3.1 椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎,問題分析,模型假設(shè),通常 三只腳著地,放穩(wěn) 四只腳著地,四條腿一樣長，椅腳與地面點接觸，四腳連線呈正方形;,地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學上的連續(xù)曲面;,地面相對平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時著地。,模型構(gòu)成,用數(shù)學語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來,椅子位置,利用正方形(椅腳連線)的對稱性,用(對角線與x軸的夾角)表示椅子位置,四只腳著地,距離是的函數(shù),四個距離(四只腳),A,C 兩腳與地面距離之和 f(),B,D 兩腳與地面距離之和 g(),兩個距離,椅腳與地面距離為零,正方形ABCD 繞O點旋轉(zhuǎn),用數(shù)學語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來,f() , g()是連續(xù)函數(shù),對任意, f(), g()至少一個為0,數(shù)學問題,已知： f() , g()是連續(xù)函數(shù) ; 對任意， f() g()=0 ; 且 g(0)=0， f(0) 0. 證明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.,模型構(gòu)成,地面為連續(xù)曲面,椅子在任意位置至少三只腳著地,模型求解,給出一種簡單、粗糙的證明方法,將椅子旋轉(zhuǎn)900，對角線AC和BD互換。 由g(0)=0， f(0) 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)0. 令h()= f()g(), 則h(0)0和h(/2)0. 由 f, g的連續(xù)性知 h為連續(xù)函數(shù), 據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì), 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) . 因為f() g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.,評注和思考,建模的關(guān)鍵 ,假設(shè)條件的本質(zhì)與非本質(zhì),考察四腳呈長方形的椅子,和 f(), g()的確定,3.2 商人們怎樣安全過河,問題(智力游戲), 3名商人 3名隨從,隨從們密約, 在河的任一岸, 一旦隨從的人數(shù)比商人多, 就殺人越貨.,但是乘船渡河的方案由商人決定.商人們怎樣才能安全過河?,問題分析,多步?jīng)Q策過程,決策 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人員,要求在安全的前提下(兩岸的隨從數(shù)不比商人多),經(jīng)有限步使全體人員過河.,模型構(gòu)成,xk第k次渡河前此岸的商人數(shù),yk第k次渡河前此岸的隨從數(shù),xk, yk=0,1,2,3; k=1,2, ,sk=(xk , yk)過程的狀態(tài),S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2,S 允許狀態(tài)集合,uk第k次渡船上的商人數(shù),vk第k次渡船上的隨從數(shù),dk=(uk , vk)決策,D=(u , v) u+v=1, 2 允許決策集合,uk, vk=0,1,2; k=1,2, ,sk+1=sk dk,+(-1)k,狀態(tài)轉(zhuǎn)移律,求dkD(k=1,2, n), 使skS, 并按轉(zhuǎn)移律由 s1=(3,3)到達 sn+1=(0,0).,多步?jīng)Q策問題,模型求解,窮舉法 編程上機,圖解法,狀態(tài)s=(x,y) 16個格點,允許決策 移動1或2格; k奇,左下移; k偶,右上移.,s1,sn+1,d1, ，d11給出安全渡河方案,評注和思考,規(guī)格化方法,易于推廣,考慮4名商人各帶一隨從的情況,允許狀態(tài),S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2,背景,世界人口增長概況,中國人口增長概況,研究人口變化規(guī)律,控制人口過快增長,3.3 如何預(yù)報人口的增長,指數(shù)增長模型馬爾薩斯提出 (1798),常用的計算公式,x(t) 時刻t的人口,基本假設(shè) : 人口(相對)增長率 r 是常數(shù),今年人口 x0, 年增長率 r,k年后人口,隨著時間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無限增長,指數(shù)增長模型的應(yīng)用及局限性,與19世紀以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)吻合,適用于19世紀后遷往加拿大的歐洲移民后代,可用于短期人口增長預(yù)測,不符合19世紀后多數(shù)地區(qū)人口增長規(guī)律,不能預(yù)測較長期的人口增長過程,19世紀后人口數(shù)據(jù),阻滯增長模型(Logistic模型),人口增長到一定數(shù)量后，增長率下降的原因：,資源、環(huán)境等因素對人口增長的阻滯作用,且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大,假設(shè),r固有增長率(x很小時),xm人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）,x(t)S形曲線, x增加先快后慢,阻滯增長模型(Logistic模型),參數(shù)估計,用指數(shù)增長模型或阻滯增長模型作人口 預(yù)報，必須先估計模型參數(shù) r 或 r, xm,利用統(tǒng)計數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合,例：美國人口數(shù)據(jù)（單位百萬）,阻滯增長模型(Logistic模型),模型檢驗,用模型計算2000年美國人口，與實際數(shù)據(jù)比較,實際為281.4 (百萬),模型應(yīng)用預(yù)報美國2010年的人口,