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2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,1,第8章 曲線和曲面,提出問(wèn)題,由離散點(diǎn)來(lái)近似地決定曲線和曲面,即通過(guò)測(cè)量或?qū)嶒?yàn)得到一系列有序點(diǎn)列,根據(jù)這些點(diǎn)列需構(gòu)造出一條光滑曲線,以直觀地反映出實(shí)驗(yàn)特性、變化規(guī)律和趨勢(shì)等。,2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,2,第8章 曲線和曲面,工業(yè)產(chǎn)品的幾何形狀: 初等解析曲面 復(fù)雜方式自由變化的曲線曲面 模線樣板法 計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)CAGD(Computer Aided Geometric Design),2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,3,8.1 曲線曲面基礎(chǔ),8.1.1 曲線曲面數(shù)學(xué)描述的發(fā)展 弗格森雙三次曲面片 孔斯雙三次曲面片 樣條方法 Bezier方法 B樣條方法 有理Bezier 非均勻有理B樣條方法,2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,4,8.1.2 曲線曲面的表示要求,1.唯一性 2.幾何不變性 3.易于定界 4.統(tǒng)一性 5.易于實(shí)現(xiàn)光滑連接 6.幾何直觀,2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,5,8.1.3 曲線曲面的表示,參數(shù)表示方法的優(yōu)點(diǎn): 1點(diǎn)動(dòng)成線 2選取具有幾何不變性的參數(shù)曲線曲面表示形式。 3斜率,2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,6,4t0,1 ,使其相應(yīng)的幾何分量是有界的 5可對(duì)參數(shù)方程直接進(jìn)行仿射和投影變換 6參數(shù)變化對(duì)各因變量的影響可以明顯地表示出來(lái),2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,7,8.1.4 插值和逼近樣條,采用模線樣板法表示和傳遞自由曲線曲面的形狀稱為樣條。 樣條曲線是指由多項(xiàng)式曲線段連接而成的曲線,在每段的邊界處滿足特定的連續(xù)條件。 樣條曲面則可以用兩組正交樣條曲線來(lái)描述。,2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,8,曲線曲面的擬合:當(dāng)用一組型值點(diǎn)來(lái)指定曲線曲面的形狀時(shí),形狀完全通過(guò)給定的型值點(diǎn)列。,2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,9,曲線曲面的逼近:當(dāng)用一組控制點(diǎn)來(lái)指定曲線曲面的形狀時(shí),求出的形狀不必通過(guò)控制點(diǎn)列,2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,10,求給定型值點(diǎn)之間曲線上的點(diǎn)稱為曲線的插值。 將連接有一定次序控制點(diǎn)的直線序列稱為控制多邊形或特征多邊形,2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,11,8.1.5 連續(xù)性條件,假定參數(shù)曲線段pi以參數(shù)形式進(jìn)行描述:,參數(shù)連續(xù)性 幾何連續(xù)性,2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,12,1.參數(shù)連續(xù)性 0階參數(shù)連續(xù)性,記作C0連續(xù)性,是指曲線的幾何位置連接,即,2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,13,1階參數(shù)連續(xù)性 記作C1連續(xù)性,指代表兩個(gè)相鄰曲線段的方程在相交點(diǎn)處有相同的一階導(dǎo)數(shù):,2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,14,2階參數(shù)連續(xù)性, 記作C2連續(xù)性,指兩個(gè)相鄰曲線段的方程在相交點(diǎn)處具有相同的一階和二階導(dǎo)數(shù)。,2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,15,2.幾何連續(xù)性 0階幾何連續(xù)性,記作G0連續(xù)性,與0階參數(shù)連續(xù)性的定義相同,滿足:,1階幾何連續(xù)性,記作G1連續(xù)性,指一階導(dǎo)數(shù)在相鄰段的交點(diǎn)處成比例 2階幾何連續(xù)性,記作G2連續(xù)性,指相鄰曲線段在交點(diǎn)處其一階和二階導(dǎo)數(shù)均成比例。,2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,16,8.1.6 樣條描述,n次樣條參數(shù)多項(xiàng)式曲線的矩陣:,2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,17,基矩陣,幾何約束條件,基函數(shù)(blenging function),或稱混合函數(shù)。,2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,18,8.2 三次樣條,給定n+1個(gè)點(diǎn),可得到通過(guò)每個(gè)點(diǎn)的分段三次多項(xiàng)式曲線:,2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,19,8.2.1 自然三次樣條,定義:給定n+1個(gè)型值點(diǎn),現(xiàn)通過(guò)這些點(diǎn)列構(gòu)造一條自然三次參數(shù)樣條曲線,要求在所有曲線段的公共連接處均具有位置、一階和二階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性,即自然三次樣條具有C2連續(xù)性。 還需要兩個(gè)附加條件才能解出方程組,2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,20,特點(diǎn): 1.只適用于型值點(diǎn)分布比較均勻的場(chǎng)合 2.不能“局部控制”,2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,21,8.2.2 三次Hermite樣條,定義:假定型值點(diǎn)Pk和Pk+1之間的曲線段為p(t),t0,1,給定矢量Pk、Pk+1、Rk和Rk+1,則滿足下列條件的三次參數(shù)曲線為三次Hermite樣條曲線:,2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,22,推導(dǎo):,2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,23,Mh是Hermite矩陣。Gh是Hermite幾何矢量。,2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,24,三次Hermite樣條曲線的方程為:,2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,25,通常將TMk稱為Hermite基函數(shù)(或稱混合函數(shù),調(diào)和函數(shù)):,2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,26,2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,27,特點(diǎn)分析:,1.可以局部調(diào)整,因?yàn)槊總€(gè)曲線段僅依賴于端點(diǎn)約束。 2.基于Hermite樣條的變化形式:Cardinal樣條和Kochanek-Bartels樣條 3.Hermite曲線具有幾何不變性,2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,28,8.3 Bezier曲線曲面,8.3.1 Bezier曲線的定義,2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,29,定義:,Bernstein基函數(shù)具有如下形式:,注意:當(dāng)k=0,t=0時(shí),tk=1,k!=1。,2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,30,1一次Bezier曲線(n=1),2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,31,2二次Bezier曲線(n=2),2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,32,3三次Bezier曲線(n=3),2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,33,2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,34,2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,35,8.3.2 Bezier曲線的性質(zhì),1端點(diǎn),2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,36,2一階導(dǎo)數(shù),2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,37,2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,38,三次Bezier曲線段在起始點(diǎn)和終止點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)為:,2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,39,3二階導(dǎo)數(shù),三次Bezier曲線段在起始點(diǎn)和終止點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)為:,2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,40,4對(duì)稱性 5凸包性,6幾何不變性 7變差減少性 8控制頂點(diǎn)變化對(duì)曲線形狀的影響,2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,41,8.3.3 Bezier曲線的生成,1繪圖一段Bezier曲線,2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,42,2Bezier曲線的拼接,問(wèn)題的提出:如何保證連接處具有G1和G2連續(xù)性。 在兩段三次Bezier曲線間得到G1連續(xù)性,為實(shí)現(xiàn)G1連續(xù),則有:,亦即:,2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,43,在兩段三次Bezier曲線間得到G2連續(xù)性:,2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,44,8.3.4 Bezier曲面,1Bezier曲面 定義:,BENi,m(u)與BENj,n(v)是Bernstein基函數(shù):,2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,45,2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,46,1雙線性Bezier曲面(m=n=1),2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,47,2雙二次Bezier曲面(m=n=2),2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,48,3雙三次Bezier曲面(m=n=3),2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,49,2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,50,其中,2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,51,性質(zhì): 1控制網(wǎng)格的四個(gè)角點(diǎn)正好是Bezier曲面的四個(gè)角點(diǎn),,2控制網(wǎng)格最外一圈頂點(diǎn)定義Bezier曲面的四條邊界,這四條邊界均為Bezier曲線。,2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,52,3幾何不變性 4移動(dòng)一個(gè)頂點(diǎn)Pi,j,將對(duì)曲面上參數(shù)為u = i/m, v = j/n的那點(diǎn) p(i/m,j/n) 處發(fā)生最大的影響 5對(duì)稱性 6凸包性,2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,53,2Bezier曲面的拼接,0階連續(xù)性只要求相連接的曲面片具有公共的邊界曲線。 1階連續(xù)性則要求在邊界曲線上的任何一點(diǎn),兩個(gè)曲面片跨越邊界的切線矢量應(yīng)該共線,而且兩切線矢量的長(zhǎng)度之比為常數(shù)。,2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,54,2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,55,實(shí)現(xiàn)G1連續(xù)性的條件為: (1) p1(1,v)=p2(0,v),即有P3,i=Q0,i,i=0,1,2,3 (2) P3,i- P2,i =(Q1,i-Q0,i),i=0,1,2,3,已知兩張雙三次Bezier曲面片:,2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,56,8.4 B樣條曲線曲面,Bezier曲線的不足: 一是控制多邊形的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)決定了Bezier曲線的階次 二是不能作局部修改,2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,57,8.4.1 B樣條曲線的定義,定義:,de Boor點(diǎn)、B樣條控制多邊形、B樣條基函數(shù),2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,58,參數(shù)說(shuō)明 m是曲線的階數(shù),(m-1)為B樣條曲線的次數(shù),曲線在連接點(diǎn)處具有(m-2)階連續(xù)。,2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,59,節(jié)點(diǎn)矢量:節(jié)點(diǎn)矢量分為三種類型:均勻的,開放均勻的和非均勻的。 當(dāng)節(jié)點(diǎn)沿參數(shù)軸均勻等距分布,即tk+1-tk=常數(shù)時(shí),表示均勻B樣條函數(shù)。 當(dāng)節(jié)點(diǎn)沿參數(shù)軸的分布不等距,即(tk+1-tk)常數(shù)時(shí),表示非均勻B樣條函數(shù)。,2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,60,1均勻周期性B樣條曲線,T=(-2,-1.5,-1,-0.5,0,0.5,1,1.5,2) T=(0,1,2,3,4,5,6,7) 均勻B樣條的基函數(shù)呈周期性:,2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,61,均勻二次(三階)B樣條曲線,取n=3,m=3,則n+m=6,不妨設(shè)節(jié)點(diǎn)矢量為:T=(0,1,2,3,4,5,6):,2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,62,2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,63,2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,64,2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,65,2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,66,曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)值:,均勻二次B樣條曲線起點(diǎn)和終點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù):,2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,67,結(jié)論:,對(duì)于由任意數(shù)目的控制點(diǎn)構(gòu)造的二次周期性B樣條曲線來(lái)說(shuō),曲線的起始點(diǎn)位于頭兩個(gè)控制點(diǎn)之間,終止點(diǎn)位于最后兩個(gè)控制點(diǎn)之間。 對(duì)于高次多項(xiàng)式,起點(diǎn)和終點(diǎn)是m-1個(gè)控制點(diǎn)的加權(quán)平均值點(diǎn)。若某一控制點(diǎn)出現(xiàn)多次,樣條曲線會(huì)更加接近該點(diǎn)。,2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,68,三次(四階)周期性B樣條,取m=4,n=3,節(jié)點(diǎn)矢量為:T=(0,1,2,3,4,5,6,7):,2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,69,2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,71,三次周期性B樣條的邊界條件為:,2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,72,2開放均勻B樣條曲線,節(jié)點(diǎn)矢量可以這樣定義: 令L=n-m,從0開始,按titi+1排列。,2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,73,開放均勻的二次(三階)B樣條曲線 假設(shè)m=3,n=4,節(jié)點(diǎn)矢量為:T=(t0 ,t1,tn+m) =(t0 ,t1, t2, t3, t4, t5, t6, t7) =(0,0,0,1,2, 3,3,3)。,2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,74,2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,75,2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,76,3非均勻B樣條曲線,2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,77,4反求B樣條曲線控制點(diǎn)及其端點(diǎn)性質(zhì),問(wèn)題:所謂反求B樣條曲線控制點(diǎn)是指已知一組空間型值點(diǎn)Qi(i=1,2,n),要找一條m次B樣條曲線過(guò)Qi點(diǎn),也即找一組與點(diǎn)列Qi對(duì)應(yīng)的B樣條控制頂點(diǎn)Pj(j=0,1,n+1)。,2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,78,用分段三次B樣條曲線pi來(lái)擬合,其上型值點(diǎn)和控制點(diǎn)的位置矢量之間有關(guān)系:,假定需求首末兩點(diǎn)過(guò)Q1和Qn的非周期三次B樣條曲線,則有P1=Q1,Pn=Qn,于是求解控制點(diǎn)Pj (i=2,3,.,n-1)的線性方程組為:,2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,79,補(bǔ)充兩個(gè)邊界條件為: P0 =P-1=Q1 Pn+1=Pn+2= Qn,2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,80,8.4.2 B樣條曲線的性質(zhì),1局部支柱性 B樣條的基函數(shù)是一個(gè)分段函數(shù),其重要特征是在參數(shù)變化范圍內(nèi),每個(gè)基函數(shù)在tk到tk+m的子區(qū)間內(nèi)函數(shù)值不為零,在其余區(qū)間內(nèi)均為零,通常也將該特征稱為局部支柱性。,2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,81,2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,82,2B樣條的凸組合性質(zhì),B樣條的凸組合性和B樣條基函數(shù)的數(shù)值均大于或等于0保證了B樣條曲線的凸包性,即B樣條曲線必處在控制多邊形所形成的凸包之內(nèi)。,2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,84,3連續(xù)性,若一節(jié)點(diǎn)矢量中節(jié)點(diǎn)均不相同,則m階(m-1次)B樣條曲線在節(jié)點(diǎn)處為m-2階連續(xù)。 B樣條曲線基函數(shù)的次數(shù)與控制頂點(diǎn)個(gè)數(shù)無(wú)關(guān)。 重節(jié)點(diǎn)問(wèn)題,2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,85,4導(dǎo)數(shù),5幾何不變性 6變差減少性,2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,86,8.4.3 B樣條曲面,定義:,控制頂點(diǎn)、控制網(wǎng)格(特征網(wǎng)格)、B樣條基函數(shù)。 B樣條曲面具有與B樣條曲線相同的局部支柱性、凸包性、連續(xù)性、幾何變換不變性等性質(zhì)。,2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,87,雙三次B樣條曲面,2019/7/2,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,88,8.5 有理樣條曲線曲面,NURBS方法:非均勻有理B樣條(Nonuniform Rational B-Spline)方法 8.5.1 NURBS曲線曲面的定義 定義:,2019/

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