數(shù)字信號(hào)處理講義-第2章.ppt

1,第2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析,2,2.1 序列的傅立葉變換(FT)和Z變換,3,一、 序列的FT的定義及性質(zhì),1. 1 序列傅立葉變換的定義,FT成立的充要條件是序列x(n)滿足絕對(duì)可和的條件， 即：,FT的反變換：,4,例：設(shè),求x(n)的FT。,解：,5,N4,6,所以 ,序列的FT是以 為周期的函數(shù),表示了信號(hào)在 頻域的分布規(guī)律. 最高的頻率為,1.2序列FT的性質(zhì),1.周期性:,2.線性:,7,3、時(shí)移與頻移：,4、FT的對(duì)稱性：,1）共軛對(duì)稱序列： 共軛反對(duì)稱序列：,實(shí)部是偶函數(shù)， 虛部是奇函數(shù),實(shí)部是奇函數(shù)， 虛部是偶函數(shù),8,2）FT的共軛對(duì)稱性：,（1）,9,（2）,10,（3）x(n)為實(shí)序列時(shí)：,相頻：奇函數(shù),幅頻：偶函數(shù),（4）x(n)-實(shí)、偶對(duì)稱序列：,(5) x(n)-實(shí)、奇對(duì)稱序列：,11,(6)實(shí)因果序列h(n):,12,因此，實(shí)因果序列可以分別用 和 表示為：,13,5、 時(shí)域卷積定理,6、頻域卷積定理,14,7、帕斯維爾（Parseval）定理,Parseval 定理的一個(gè)重要應(yīng)用是計(jì)算序列能量： 一個(gè)序列值的平方總和 稱為“序列能量” 即時(shí)域中對(duì)序列求能量與頻域中求能量是一致的。,15,16,17,離散傅里葉級(jí)數(shù)（DFS，Discrete Fourier Series ） 一個(gè)周期為N的周期序列，即 ， k為任意整數(shù)，N為周期 周期序列不能進(jìn)行FT變換，因?yàn)槠湓?n=-到+ 都周而復(fù)始永不衰減，即 不能滿足絕對(duì)可和。但是，正象連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)可用傅氏級(jí)數(shù)表達(dá)，周期序列也可用離散的傅氏級(jí)數(shù)來表示，也即用周期為N的正弦序列來表示。,二、周期序列的離散傅立葉級(jí)數(shù)及傅立葉變換表示式,18,2. 1周期序列的離散傅立葉級(jí)數(shù)：,設(shè) 是以N為周期的周期序列，,上式中, 也是一個(gè)以N為周期的周期序列。,因此，一個(gè)周期序列可以用其DFS表示它的頻譜分布規(guī)律。,19,設(shè) 是以N為周期的周期序列，因其周期性，可以展開成傅立葉級(jí)數(shù),并對(duì)n在一個(gè)周期N內(nèi)求和,20,的離散傅立葉級(jí)數(shù)，,用DFS 表示,同理,21,所以，可將周期序列分成N次諧波，第K個(gè)諧波頻率為,基波分量的頻率為,因此，一個(gè)周期序列可以用其DFS表示它的頻譜分布規(guī)律,22,是一個(gè)周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)(DFS)變換對(duì)，這種對(duì)稱關(guān)系可表為： 習(xí)慣上：記 ，,23,DFS變換對(duì)公式表明，一個(gè)周期序列雖然是無窮長序列，但是只要知道它一個(gè)周期的內(nèi)容（一個(gè)周期內(nèi)信號(hào)的變化情況），其它的內(nèi)容也就都知道了，所以這種無窮長序列實(shí)際上只有N個(gè)序列值的信息是有用的，因此周期序列與有限長序列有著本質(zhì)的聯(lián)系。,則DFS變換對(duì)可寫為,DFS 離散傅里葉級(jí)數(shù)變換 IDFS離散傅里葉級(jí)數(shù)反變換。,24,2. 2周期序列的傅立葉變換表示式,模擬系統(tǒng)中，,時(shí)域離散系統(tǒng)，,25,對(duì)于一般的周期序列 ，,令K在,之間變化，上式可簡化為,式中,注：上式中,表示單位沖激函數(shù)，而 表示單位脈沖序列。,展開成DFS，第k次諧波為,類似于復(fù)指數(shù)序列的FT，其FT為,26,三、時(shí)域離散信號(hào)的傅立葉變換與模擬信號(hào)傅立葉變換之間的關(guān)系,模擬信號(hào) 的一對(duì)FT變換式為:,假定時(shí)域離散信號(hào)x(n)，或稱序列x(n)，是由模擬信號(hào) 采樣 得到的，即,27,令,，代入上式后，再將 用 代替，得到,將上式的積分區(qū)間表示成無限多個(gè)積分區(qū)間的和，每個(gè)積分區(qū)間為,28,又,結(jié)論:序列的FT是模擬信號(hào)的FT以周期為 進(jìn)行周期延拓, 頻率軸上取值對(duì)應(yīng)關(guān)系為,29,5. 采樣信號(hào)、序列和模擬信號(hào)FT之間的關(guān)系：,模擬信號(hào) 的一對(duì)FT變換式為:,假定時(shí)域離散信號(hào)x(n)，或稱序列x(n)，是由模擬信號(hào) 采樣 得到的，即,30,結(jié)論:序列的FT是模擬信號(hào)的FT以周期為 進(jìn)行周期延拓, 頻率軸上取值對(duì)應(yīng)關(guān)系為,31,所以，模擬折疊頻率,對(duì)應(yīng)數(shù)字頻率,；如果滿足采樣定理，則要求,模擬信號(hào)最高頻率,不能超過,；如果不滿足采樣定理，則會(huì)在,附近引起頻譜混疊。,對(duì)于采樣信號(hào)來說，有,由此可見，序列的FT與模擬信號(hào)的FT之間的關(guān)系，與采樣信號(hào)、模擬信號(hào) 各自的FT之間的關(guān)系一樣。,32,例：設(shè),進(jìn)行采樣，得到采樣信號(hào),和時(shí)域離散信號(hào)x(n)，求,的FT變換以及x(n)的FT.,33,34,同理，按照序列的與模擬信號(hào)之間的關(guān)系式可得到x(n)的， 或者，將,求括弧中為零時(shí)的,35,例題,36,37,38,39,2.5 序列的Z變換,序列x(n)的Z變換定義為,X(z)存在的條件是,40,FT和Z變換之間的關(guān)系：,即:單位圓上的Z變換就是序列的FT, 成立條件是收斂域包含單位圓.,41,討論ZT變換的一一對(duì)應(yīng)性。,例：,解：,結(jié)論：（ZT變換的表達(dá)式+收斂域） 與 序列 一一對(duì)應(yīng)。,42,這里主要討論以下四種序列： a 有限長序列 序列 (序列x(n)只在有限長度n1n2 內(nèi)有值，其余為零) 其Z變換 X（z）是有限項(xiàng)的級(jí)數(shù)和，只要級(jí)數(shù)每一項(xiàng)有界，有限項(xiàng)和也有界，所以有限長序列z變換的收斂域取決于|z|-n，n1nn2。 顯然 |z| 在整個(gè)開域（0，）都能滿足以上條件，因此有限長序列的收斂域是除 0 及,兩個(gè)點(diǎn)（對(duì)應(yīng)n0不收斂）以外的 整個(gè) z 平面： 0|z|,如果對(duì)n1，n2加以一定的限制，如n10或n20，則根據(jù)條件|z|-n（n1nn2），收斂域可進(jìn)一步擴(kuò)大為包括0點(diǎn)或點(diǎn)的半開域：,43,例1 序列x（n）=（n） 由于n1=n2=0，其收斂域?yàn)檎麄€(gè)閉域 z 平面，0|Z|， 例2 矩形序列x（n）=RN（n） 等比級(jí)數(shù)求和,44,b 右邊序列 指 x（n）只在nn1時(shí)有值，而nn1時(shí)，x（n）=0 收斂域：|z|Rx- ，為收斂半徑Rx-以外的z平面， 由此證明右邊序列的收斂域?yàn)?|z|Rx-,45,右邊序列中最重要的一種序列是 “因果序列” ，即n1 0的右邊序列，因果序列只在n0有值，n0時(shí)，x（n）=0，其z變換為： Z 變換的收斂域包括 點(diǎn)是因果序列的特征。,46,c 左邊序列 序列 x（n）只在nn2有值，n n2時(shí)，x（n）=0 收斂域： |Z|Rx+ ， 在收斂半徑為Rx+的圓內(nèi),47,d 雙邊序列 可看作一個(gè)左邊序列和一個(gè)右邊序列之和，因此雙邊序列 z 變換的收斂域是這兩個(gè)序列 z 變換收斂域的公共部分。,如果Rx+Rx-，則存在公共的收斂區(qū)間，X（z）有收斂域: Rx-|z|Rx- 如Rx+Rx-，無公共收斂區(qū)間，X（z）無收斂域，不收斂.,48,49,50,Z變換小結(jié),Z 變換收斂域的特點(diǎn)： 1） 收斂域是一個(gè)圓環(huán)，有時(shí)可向內(nèi)收縮到原點(diǎn)，有時(shí)可向外擴(kuò)展到，只有x(n)=(n)的收斂域是整個(gè) z 平面。 2） 在收斂域內(nèi)沒有極點(diǎn)，X（z）在收斂域內(nèi)每一點(diǎn)上都是解析函數(shù)。,51,典型序列ZT的收斂域,1.因果序列： x(n)=0, n0,2.雙邊序列： x(n) ,52,3.有限長序列：,53,54,55,4.2逆Z變換,C:收斂域中一條逆時(shí)針閉合曲線。,56,求解方法：留數(shù)定理,57,上式成立的條件：F(z)的分母階次應(yīng)比分子階次高二階以上。,M階多項(xiàng)式,N階多項(xiàng)式,則上式成立的條件是：,對(duì)于N階極點(diǎn)，需要求N-1 次導(dǎo)數(shù)，這是比較麻煩的。 若c內(nèi)有多階極點(diǎn)，而c外沒有多階極點(diǎn)，則可根據(jù)留數(shù) 輔助定理改求c外的所有極點(diǎn)留數(shù)之和，使問題簡化。,58,例：,思路：（1）求出F(z)的標(biāo)準(zhǔn)形式； （2）分析F(z)的極點(diǎn)情況； （3）根據(jù)留數(shù)定理求解，對(duì)于高階極點(diǎn)， 應(yīng)盡量避免直接求導(dǎo)，考慮留數(shù)輔助定理。,59,解：,60,n0時(shí)，F(xiàn)(z) 的極點(diǎn)為： n0時(shí)，F(xiàn)(z) 的極點(diǎn)為：,為了避免對(duì)（,）高階求導(dǎo)采用下法：,61,62,63,64,65,66,4.3 ZT變換的主要性質(zhì),1.序列移位 :,2.序列卷積:,67,3.復(fù)卷積定理:,在V平面上,被積函數(shù)的收斂域?yàn)?W(z)的收斂域?yàn)?68,4、Parseval定理z變換的重要性質(zhì)之一 若有兩序列 x（n），y（n），且 X（z）=Z x（n） Rx-|z| Rx+ Y（z）=Z y（n） Ry-|z| Ry+ 它們的收斂域滿足條件： Rx- Ry-1， Rx+Ry+1 則 其中，C 所在收斂域?yàn)?X(v) 和 Y*(1/V*) 兩者收斂區(qū)域的重迭部分 Max Rx- , 1/Ry+ |v| min Rx+ , 1/Ry -,69,證：令 w（n）=x（n）y*（n） 利用復(fù)共軛和復(fù)卷積特性(p16表1.2，第7和第10)： 則 由于假設(shè)條件中已規(guī)定收斂域滿足： Rx-Ry-1Rx+Ry+ 因此， |z|=1 在收斂域內(nèi)，即w（z）在單位圓上收斂，w（z）|z=1存在，,又因 因此 證畢,70,如果 X（v）、Y（v）在單位圓上收斂，則選取單位圓為圍線積分途徑，這時(shí) , Parseval 定理的一個(gè)重要應(yīng)用是計(jì)算序列能量： 一個(gè)序列值的平方總和 稱為“序列能量” 即時(shí)域中對(duì)序列求能量與頻域中求能量是一致的。,71,2.6 利用Z變換分析信號(hào)和系統(tǒng)的頻域特性,、傳輸函數(shù)與系統(tǒng)函數(shù),傳輸函數(shù)：,H ,x(n),y(n),系統(tǒng)函數(shù)：,72,、 的物理意義：,x(n),y(n),(1),求 y(n)=?,(2),，求 y(n)=?,73,解： （1）,意義：對(duì)不同頻率的響應(yīng)不同。,令,結(jié)論：一復(fù)指數(shù)序列通過線性系統(tǒng)后輸出不增加頻率成分。 模增加了幅度函數(shù)對(duì)應(yīng)大小，相位增加了對(duì)應(yīng)相位函數(shù)大小。,74,（2）,設(shè)h(n)為實(shí)序列，則,75,線性時(shí)不變離散系統(tǒng)也可用差分方程表示，考慮N階差分方程,兩邊取z變換：,3、H(z)的零極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)頻響的影響：,76,于是 上式也可用因子的形式來表示 式中ci、 di是H（z）在z平面上的零點(diǎn)和極點(diǎn)， A為比例常數(shù)。 整個(gè)系統(tǒng)函數(shù)可以由它的全部零、極點(diǎn)來唯一確定。,77,用極點(diǎn)和零點(diǎn)表示系統(tǒng)函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)是，它提供了一種有效的求系統(tǒng)頻率響應(yīng)的幾何方法。 一個(gè) N 階的系統(tǒng)函數(shù)可用它的零極點(diǎn)表示為,系統(tǒng)的頻響為:,78,79,分析上式表明，頻響的模函數(shù)由從各零、極點(diǎn)指向 點(diǎn)的向量幅度來確定， 而頻響的相位函數(shù)則由這些向量的幅角來確定， 當(dāng)頻率由02時(shí)，這些向量的終點(diǎn)沿單位圓反時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一圈，由此可估算出整個(gè)系統(tǒng)的頻響。,ej,80,其基本原理是，當(dāng)單位圓上的 ej 點(diǎn)在極點(diǎn) d i附近時(shí)，分母向量最短，出現(xiàn)極小值，頻響在這附近可能出現(xiàn)峰值，且極點(diǎn) di 越靠近單位圓，極小值越小，頻響出現(xiàn)的峰值越尖銳，當(dāng) di 處在單位圓上時(shí)，極小值為零，相應(yīng)的頻響將出現(xiàn)，這相當(dāng)于在該頻率處出現(xiàn)無耗（Q=）諧振，當(dāng)極點(diǎn)超出單位圓時(shí)系統(tǒng)就處于不穩(wěn)定狀態(tài)。對(duì)于現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)，這是不希望的。 對(duì)于零點(diǎn)位置，頻響將正好相反，ej點(diǎn)越接近某零點(diǎn) ci ，頻響越低，因此在零點(diǎn)附近，頻響出現(xiàn)谷點(diǎn)，零點(diǎn)越接近單位圓，谷點(diǎn)越接近零，零點(diǎn)處于單位圓上時(shí)，谷點(diǎn)為零，即在零點(diǎn)所在頻率上出現(xiàn)傳輸零點(diǎn)，零點(diǎn)可以位于單位圓以外，不受穩(wěn)定性約束。 這種幾何方法為我們認(rèn)識(shí)零、極點(diǎn)分布對(duì)系統(tǒng)性能的影響提供了一個(gè)直觀的概念，這一概念對(duì)系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)都十分重要。,81,例：,Imz,82,0,83,零點(diǎn)在單位圓上0, 處；極點(diǎn)在 , 附近,。,。,84,例 有限長單位脈沖響應(yīng) 0a1 求其頻率響應(yīng)特性。 解： 如果a為正實(shí)數(shù)，H（z）的零點(diǎn)為 這些零點(diǎn)分布在|z|=a的圓周上，對(duì)圓周進(jìn)行M等分，它的第一個(gè)零點(diǎn)k=0，恰好與分母上的極點(diǎn)（z-a）抵消，因此，整個(gè)函數(shù)H（z）共有 下 圖給出M=8，0a1時(shí)的系統(tǒng)特性，幅頻的峰值出現(xiàn)在=0，因?yàn)樵撎師o零點(diǎn)（被極點(diǎn)對(duì)消），每一零點(diǎn)附近的頻率響應(yīng)均有陷落，呈現(xiàn)出M次起伏，當(dāng)M無限增大時(shí)，波紋趨于平滑，系統(tǒng)函數(shù)趨于書上一階系統(tǒng)的結(jié)果。,85,86,上例中的單位脈沖響應(yīng)是一個(gè)有限長序列，這種系統(tǒng)稱為“有限長單位脈沖響應(yīng)系統(tǒng)”，簡寫為FIR系統(tǒng)。相應(yīng)地，當(dāng)單位脈沖響應(yīng)長度無限時(shí)，則稱為“無限長單位脈沖響應(yīng)系統(tǒng)”， 簡寫為IIR系統(tǒng)。 系統(tǒng)函數(shù)的一般成可改寫為（b0=1） 我們知道有限度序列的z變換在整個(gè)有限z平面（|z|0）上收斂，因此對(duì)于FIR系統(tǒng)，H（z）在有限z平面上不能有極點(diǎn)。如分子、分母無公共可約因子，則H（z）分母中全部系數(shù)bi（i=1，2，N）必須為零，故 只要bi中有一個(gè)系數(shù)不為零，在有限z平面上就會(huì)有極點(diǎn)，這就屬于IIR系統(tǒng)。 bi不為零就說明需要將延時(shí)的輸出序列y(n-i)反饋回來，所以，IIR系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)中都帶有反饋回路。這種帶有反饋回路的結(jié)構(gòu)稱為“遞歸型”結(jié)構(gòu)，IIR系統(tǒng)只能采用“遞歸型”結(jié)構(gòu)，而FIR系統(tǒng)一般采用非“遞歸型”結(jié)構(gòu)。但是，采用極、零點(diǎn)抵消的方法，F(xiàn)IR系統(tǒng)也可采用“遞歸型”結(jié)構(gòu)。 IIR、FIR構(gòu)成數(shù)字濾波器的兩大類。,87,例： 已知,，分析其幅頻特性。,解：,H(z)的極點(diǎn)為z=0,為一個(gè)N階極點(diǎn)，不影響系統(tǒng)的頻響； 零點(diǎn)有N個(gè)，由分子多項(xiàng)式的根決定,梳壯濾波器,88,Z域 利用H(z)的極點(diǎn)分布分析系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性：,因果系統(tǒng)：H(z)的收斂域包含 ，收斂域在某個(gè)圓外, 即 Rx- |Z|,穩(wěn)定系統(tǒng)：收斂域包含