高數(shù)上冊(cè)第一章第二節(jié)數(shù)列的極限.ppt

1,第二節(jié) 數(shù)列的極限,一、概念的引入,二、數(shù)列的定義,三、數(shù)列的極限,四、數(shù)列極限的性質(zhì),五、小結(jié) 思考題,1,2,1.【割圓術(shù)】,“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”,劉徽,【引例】,一、概念的引入,3,正六邊形的面積,正十二邊形的面積,正 形的面積,4,2.【截丈問(wèn)題】,“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”,公元前300年左右，中國(guó)古代思想家墨子語(yǔ)：,5,二、數(shù)列的定義,【例如】,6,【注意】,1.數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列.可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取,2.數(shù)列是整標(biāo)函數(shù),7,三、數(shù)列的極限,8,【問(wèn)題1】,當(dāng) 無(wú)限增大時(shí), 是否無(wú)限接近于某一確定的數(shù)值?如果是,如何確定?,【問(wèn)題2】,“無(wú)限接近”意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃它，描述它。,通過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:,【直觀定義】當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，xn無(wú)限接近于一個(gè)確定的常數(shù)a，稱a是數(shù)列xn的極限.,“距離任意 小”,9,10,【發(fā)散】如果數(shù)列沒(méi)有極限,就說(shuō)數(shù)列是發(fā)散的.,【說(shuō)明】發(fā)散有 不存在；-；+；。,1.【精確定義】,設(shè)xn為一數(shù)列, 若存在常數(shù)a , 對(duì)任給定的正數(shù)(不論它多么小), 總存在正數(shù)N , 使得當(dāng)n N 時(shí)，不等式 | xn -a |都成立,那么就稱 a是數(shù)列xn 的極限,或者稱數(shù)列xn 收斂于a, 記為,或,11,任意、給定二重性：,只有任意（?。┎拍芸虅澇?xn “無(wú)限接近于a ”，而只有給定才能找到相應(yīng)的N. （已知極限存在時(shí)，常用給定性來(lái)論證）,（但不是函數(shù)關(guān)系，因N不唯一）,【注意】,（5）.意義用一個(gè)有限數(shù)，概括出一個(gè)無(wú)限變化 的量(用常量研究變量)。,12,3.【幾何解釋】,等價(jià)解釋,2.【 N 定義】,Any表任意(給),Exist表存在或至少有一個(gè),【思考】認(rèn)為“當(dāng)nN時(shí)，有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)落在(a-,a+)內(nèi)”是等價(jià)解釋，正確嗎？,13,數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.,【例1】,【證】,所以,【注意】,14,【例2】,【證】,【練習(xí)】證明常數(shù)列的極限等于它本身.（公式）,所以,15,【例3】,【證】,【小結(jié)】,用定義證數(shù)列極限存在時(shí),關(guān)鍵是任意給定 尋找N,但不必要求最小的N.,公式,16,【補(bǔ)例4】,【證】,放大不等式,17,【注意】(1),即 ，通過(guò),不等式的放大等措施求出正整數(shù)N，再定出n的范圍，從而保證 成立.,(2) N與是相對(duì)應(yīng)的，但N不是唯一的;N有無(wú)窮多個(gè)，則“nN”允許為“nN”.,(3)同理，因任意，則2， 等也任意，則,允許為,18,四、數(shù)列極限的性質(zhì),1.唯一性,【定理1】每個(gè)收斂的數(shù)列只有一個(gè)極限.,【證】,注意以下證明都是已知極限存在時(shí)，利用的給定性來(lái)論證的,用反證法,19,【例5】,【證】,由定義,區(qū)間長(zhǎng)度為1.,矛盾 【證完】,20,2.有界性,【例如】,有界,無(wú)界,不可能同時(shí)位于長(zhǎng)度為1的區(qū)間內(nèi).,21,(2)【定理2】收斂的數(shù)列必定有界.,【證】,由定義,【注意】,逆否命題必成立：無(wú)界數(shù)列必定發(fā)散.,逆命題不成立；有界列不一定收斂.,數(shù)列有界是收斂的必要條件.,22,3.保號(hào)性,【定理3 】,【證明】,由數(shù)列極限定義，,有,從而,【證完】,23,【推論】,【證明】,以下用反證法,由定理3知,【證完】,24,4.【子數(shù)列的收斂性】（收斂列與其子列的關(guān)系）,【注意】,例如,（1）【定義】,25,（2）【定理4】收斂數(shù)列的任一子數(shù)列也收斂 且極限相同,【證】,【分析】 欲證,26,【證畢】,（尋找到K）,27,【注意】a .常用此關(guān)系判斷一個(gè)數(shù)列極限不存在,方法：若數(shù)列有兩個(gè)子列收斂于不同的極限， 則原數(shù)列發(fā)散. 如數(shù)列,方法：若數(shù)列有一個(gè)子列發(fā)散,則原數(shù)列發(fā)散. 如,b.上例說(shuō)明了發(fā)散數(shù)列也可能有收斂的子列.,28,五、小結(jié),數(shù)列:研究其變化規(guī)律;,數(shù)列極限:極限思想、精確定義、幾何意義;,收斂數(shù)列的性質(zhì): 唯一性、有界性、保號(hào)性、子數(shù)列的收斂性.,29,【思考題】,【錯(cuò)證】,可以證明,因?yàn)?解新的不等式,故,當(dāng),時(shí)必有,證完,30,【思考題解答】,【分析】,錯(cuò)誤：極限是1 明顯是不對(duì)的，應(yīng)為0.,錯(cuò)誤：推導(dǎo)過(guò)程中又將,不適當(dāng)?shù)姆糯?，致使不等式?不能對(duì)任何 0成立.,例如取= 1/2時(shí)，找不到 n 滿足該不等式.,【結(jié)論】,極限的分析定義嚴(yán)格描述了極限過(guò)程，如果隨心所欲地