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碩士論文答辯： 有理三次Bzier樣條曲線(xiàn)與PH樣條曲線(xiàn)造型,答辯人：陳錦輝 （導(dǎo)師：彭群生教授） 浙江大學(xué)CADCG國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 2002.6,2019/7/6,2,主要工作,有理三次Bzier樣條 曲線(xiàn)的G 3連續(xù),以往的曲線(xiàn)造型設(shè)計(jì)中，一般通過(guò)改變控制頂點(diǎn)的方法使Bzier曲線(xiàn)樣條達(dá)到一定的連續(xù)階。 本文提出了通過(guò)調(diào)整權(quán)因子而不是改變控制頂點(diǎn)來(lái)修改有理三次Bzier樣條曲線(xiàn)的形狀，實(shí)現(xiàn)了相鄰兩段Bzier曲線(xiàn)間的G 3連續(xù)拼接；實(shí)現(xiàn)了整體G3連續(xù)的閉曲線(xiàn)造型。,PH樣條曲線(xiàn)造型,三次平面Bzier曲線(xiàn)在端點(diǎn)與端切矢不變的情況下，通過(guò)改變中間兩個(gè)控制頂點(diǎn)使之成為PH曲線(xiàn)。利用三次Bzier-PH樣條曲線(xiàn)直接逼近一般的Bzier曲線(xiàn)，并就其誤差進(jìn)行了估計(jì)。,有理Bzier曲線(xiàn)造型,曲線(xiàn)造型是計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)和圖形學(xué)的基礎(chǔ) ，其典型代表： 1. 參數(shù)形式的曲線(xiàn)，如Bzier曲線(xiàn)、B-樣條曲線(xiàn)等； 2. 隱式曲線(xiàn)，如代數(shù)曲線(xiàn)等.,Bzier曲線(xiàn)是由法國(guó)工程師Bzier(1910-1999)于1962年提出的，其最初形式十分奇特，令人難以理解：,Bzier曲線(xiàn),1972年，F(xiàn)orrest把Bzier曲線(xiàn)表示為如下形式： 其中， 為n次Bernstien基函數(shù)，Pi為控制多邊形的頂點(diǎn)。,Bzier曲線(xiàn)的表達(dá)形式簡(jiǎn)單，具有很強(qiáng)的幾何直觀(guān)性，并有許多良好的性質(zhì) 。 Bzier曲線(xiàn)比較好地解決了整體形狀控制問(wèn)題。 但Bzier多項(xiàng)式曲線(xiàn)對(duì)曲線(xiàn)拼接與局部修改仍存在著許多問(wèn)題。,1974年，Gordon與Riesenfeld將Bzier曲線(xiàn)進(jìn)行了拓廣，把n次Bernstien基函數(shù)轉(zhuǎn)換成n次B-樣條基函數(shù)，構(gòu)造了等距節(jié)點(diǎn)B -樣條曲線(xiàn)。 B-樣條曲線(xiàn)不僅具有Bzier曲線(xiàn)的幾何特征，而且還具有曲線(xiàn)形狀局部可調(diào)及連續(xù)階數(shù)可調(diào)等Bzier曲線(xiàn)所沒(méi)有的特征。 Boehm和Cohem等人又給出了B-樣條曲線(xiàn)的節(jié)點(diǎn)插入技術(shù)和升階技術(shù)。,B-樣條曲線(xiàn),有理Bzier曲線(xiàn),有理Bzier曲線(xiàn)既能表示多項(xiàng)式曲線(xiàn)，又能表示圓錐曲線(xiàn)，可把兩者統(tǒng)一起來(lái)，便于編程。 有理Bzier曲線(xiàn)可表示為： 其中 ，為權(quán)因子。,有理Bzier曲線(xiàn)具有與Bzier曲線(xiàn)類(lèi)似的性質(zhì)。 有理Bzier曲線(xiàn)在特定的線(xiàn)性變換下還具有形狀不變性，即其形狀取決于形狀因子。,有理Bzier曲線(xiàn)造型,在曲線(xiàn)造型設(shè)計(jì)中，一般采用改變控制頂點(diǎn)的方法來(lái)達(dá)到所需要的連續(xù)階。 在控制頂點(diǎn)給定而不能改變的情況下，通過(guò)權(quán)因子（形狀因子）的調(diào)整，利用三次Bzier曲線(xiàn)構(gòu)造整體連續(xù)的樣條曲線(xiàn)。 利用有理多項(xiàng)式曲線(xiàn)構(gòu)造G3連續(xù)的樣條曲線(xiàn)，次數(shù)最低的是有理三次Bzier曲線(xiàn)。,實(shí)現(xiàn)兩段有理三次Bzier曲線(xiàn)的連續(xù)拼接；兩段分離的有理三次Bzier曲線(xiàn)的連續(xù)過(guò)渡；并且實(shí)現(xiàn)了有理三次Bzier樣條曲線(xiàn)整體連續(xù)的閉曲線(xiàn)造型。 曲線(xiàn)間的G2連續(xù)就是曲率連續(xù)，而空間曲線(xiàn)間的G3連續(xù)的本質(zhì)是撓率連續(xù)。,PH樣條曲線(xiàn),等距（offset）曲線(xiàn)曲面是基曲線(xiàn)曲面沿法線(xiàn)方向距離為d的點(diǎn)的軌跡 。 對(duì)于一條平面曲線(xiàn) ，其等距距離為d的等距曲線(xiàn)可表示為：,等距曲線(xiàn)的形狀不僅受原曲線(xiàn)的影響，而且還受等距距離d 和局部曲率的影響。 曲線(xiàn)曲面的Offset一般無(wú)法表示為有理形式，從而不能被通用的CAGD系統(tǒng)處理。 九十年代初，F(xiàn)arouki給出了多項(xiàng)式曲線(xiàn)的等距曲線(xiàn)為有理曲線(xiàn)的充分條件Pythagorean Hodograph（簡(jiǎn)稱(chēng)PH）條件 。 呂偉給出了具有有理等距曲線(xiàn)的參數(shù)曲線(xiàn)(Offset-Rational)-OR曲線(xiàn)。,對(duì)等距曲線(xiàn)曲面目前采用的方法主要有：,等距移動(dòng)控制網(wǎng)格法 . 基圓包絡(luò)逼近法 . 基于插值或擬合的方法 .,平面三次Bzier-PH曲線(xiàn),目前，大部分逼近方法所得到的等距曲線(xiàn)通常是Bzier曲線(xiàn)，但所得的Bzier曲線(xiàn)具有較高的次數(shù)，或需要對(duì)原曲線(xiàn)進(jìn)行多次離散，從而需要大量的數(shù)據(jù)存貯。 根據(jù)PH條件，得出了平面三次Bzier曲線(xiàn)在端點(diǎn)與端切矢不變的情況下，通過(guò)改變中間兩個(gè)控制頂點(diǎn)使之成為PH曲線(xiàn)平面三次Bzier-PH曲線(xiàn)。 利用所得的平面三次Bzier-PH曲線(xiàn)逼近一般的平面曲線(xiàn)，從而得到原曲線(xiàn)的等距曲線(xiàn)。,連續(xù)的有理三次 Bzier樣條曲線(xiàn)造型,有理三次Bzier曲線(xiàn) 的各階端點(diǎn)切向量,平面有理三次Bzier曲線(xiàn)： 兩個(gè)獨(dú)立的參數(shù)為形狀參數(shù)(形狀因子)：,有理三次Bzier曲線(xiàn)端點(diǎn) 處的各階導(dǎo)數(shù),兩段有理三次Bzier曲線(xiàn)段的G3連續(xù)拼接,兩段有理三次Bzier曲線(xiàn) 、 ：,兩段相鄰的有理三次Bzier曲線(xiàn),P0,P1,P2,P3,P4,P5,P6,兩段相鄰的有理三次Bzier 曲線(xiàn)的G 2連續(xù)條件,三點(diǎn)共線(xiàn).,.,五點(diǎn)必共面.,.,2.,1.,等號(hào)兩邊同時(shí)與 作叉積，并經(jīng)過(guò)計(jì)算整理可以得到：,G 2 連續(xù)為曲率連續(xù),計(jì)算出曲線(xiàn)段在P3點(diǎn)處的曲率：,則：,三次多項(xiàng)式Bzier曲線(xiàn)與有理三次Bzier曲線(xiàn)的比較,(a) 兩段三次多項(xiàng)式Bzier曲線(xiàn),(b)兩段有理三次Bzier曲線(xiàn),在兩段曲線(xiàn)的連接處，(a)曲率明顯不連續(xù)；而（b)曲率是連續(xù)的。,兩段有理三次Bzier曲線(xiàn)段的G 3連續(xù)拼接,兩段有理三次Bzier曲線(xiàn)段的G 3連續(xù)條件,1.,2.,3.,式3可用形狀參數(shù)及幾何參數(shù)表示 ( ),不共面,G 3連續(xù)的實(shí)質(zhì)是撓率連續(xù),當(dāng) P0 、P1、P2、P3共面時(shí),將P0 、 P6點(diǎn)沿著點(diǎn)P1、P2、P3所在的平面 法向N 方向作一個(gè)小的擾動(dòng)變成 、,用形狀參數(shù)及幾何參數(shù)表示：,對(duì)平面控制頂點(diǎn)而言，通過(guò)上兩式選擇形狀參數(shù) 就可使相鄰兩段有理三次Bzier曲線(xiàn)達(dá)到G3連續(xù)。,兩段有理三次Bzier曲線(xiàn)段的過(guò)渡曲線(xiàn),兩段給定曲線(xiàn)的過(guò)渡曲線(xiàn),給定平面上兩段分離的有理三次Bzier曲線(xiàn)段C1、 C2要確定有理三次Bzier曲線(xiàn)段C必須確定它的控制頂點(diǎn) 及形狀參數(shù) 要使過(guò)渡曲線(xiàn)C與C 1、C 2分別在點(diǎn)R0及R3點(diǎn)達(dá)到G 3連續(xù)，則 與R1、R2必須滿(mǎn)足如下方程：,過(guò)渡曲線(xiàn)控制頂點(diǎn)的求法,其中s是一個(gè)與 無(wú)關(guān)的常數(shù),設(shè) ，則：,從而,，同理可以求出 。,利用有理三次Bzier曲線(xiàn)段 進(jìn)行閉曲線(xiàn)造型,給定平面上m(=3n+1)個(gè)點(diǎn)P1，P2，P3n，P3n+1，并且P3n+1=P1，要求構(gòu)造一條有理三次Bzier樣條曲線(xiàn)，以給定的點(diǎn)為控制頂點(diǎn)，并達(dá)到一定的幾何連續(xù)階。,G 1連續(xù)條件的圖示,1、G 1連續(xù)條件 P3i，P3i+1，P3i+2(i=1，n-1)共線(xiàn) 2、G 2連續(xù)閉曲線(xiàn)條件 不再改變控制頂點(diǎn)，通過(guò)調(diào)整形狀參數(shù)使它們達(dá)到G 2連續(xù)。 3、G 3連續(xù)閉曲線(xiàn)造型 首末兩段曲線(xiàn)一般不能達(dá)到連續(xù)，先構(gòu)造一條連續(xù)的開(kāi)曲線(xiàn)樣條，再構(gòu)造一段G 3連續(xù)的過(guò)渡曲線(xiàn)。,小 結(jié),通過(guò)改變形狀參數(shù)而不是通過(guò)改變控制頂點(diǎn)的方法來(lái)控制曲線(xiàn)的形狀及協(xié)調(diào)曲線(xiàn)段之間的幾何連續(xù)性。 能否將該思想推廣到曲面，這對(duì)于洞的填補(bǔ)、曲面的拼接具有十分重大的意義,PH樣條曲線(xiàn)造型,等距（offset）曲線(xiàn)曲面是基曲線(xiàn)曲面沿法線(xiàn)方向距離為d的點(diǎn)的軌跡。 對(duì)于一條平面曲線(xiàn) 其等距距離為d的等距曲線(xiàn)可表示為：,平面三次Bzier曲線(xiàn)為 PH曲線(xiàn)的條件,平面三次Bzier曲線(xiàn)： 曲線(xiàn)r (t)為PH曲線(xiàn)的充要條件為：,三次Bzier曲線(xiàn)為PH曲線(xiàn)的條件,改變控制頂點(diǎn)使三次Bzier 曲線(xiàn)為PH曲線(xiàn),給定一條平面三次Bzier曲線(xiàn)r (t)，在起點(diǎn)與終點(diǎn)不變，且端切矢相同的情況下，可以通過(guò)改變中間兩個(gè)控制點(diǎn)P1、P2使之成為PH曲線(xiàn)。,改變Bzier曲線(xiàn)的控制頂點(diǎn)成為PH曲線(xiàn),1. 當(dāng) 時(shí)， 如果 ，則： 如果 ，則： （其中 ）,Q1，Q2的坐標(biāo)分別為,2. 當(dāng) 時(shí)，設(shè) 則： Q1，Q2的坐標(biāo)分別為,控制多邊形的兩邊平行時(shí) Bzier-PH曲線(xiàn)的構(gòu)造,3. 當(dāng) 時(shí)， 如果 ，則,如果 ，則： 如果 ，則： （對(duì)于后兩種情況所得的PH曲線(xiàn)為反方向，因此其逼近效果不好。),控制多邊形的兩個(gè)底角之和 大于 時(shí)PH曲線(xiàn)的構(gòu)造,Bzier曲線(xiàn)于由其生成的三次 Bzier-PH曲線(xiàn)之間的比較,逼近精度30，分割次數(shù)5,逼近精度20，分割次數(shù)8,逼近精度50，分割次數(shù)10,Bzier曲線(xiàn)與三次Bzier-PH 曲線(xiàn)之間的誤差,平面三次Bzier曲線(xiàn) 由其生成的Bzier-PH曲線(xiàn) 兩條曲線(xiàn)之間的誤差：,四次Bzier曲線(xiàn)與三次Bzier-PH 曲線(xiàn)之間的誤差,四次