函數的單調性與曲線的凹凸性(11).ppt

第四節(jié),一、函數單調性的判定法,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,二、曲線的凹凸與拐點,函數的單調性與,曲線的凹凸性,第三章,一、 函數單調性的判定法,若,定理 1. 設函數,則 在 I 內單調遞增,(遞減) .,證: 無妨設,任取,由拉格朗日中值定理得,故,這說明 在 I 內單調遞增.,在開區(qū)間 I 內可導,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,證畢,例1. 確定函數,的單調區(qū)間.,解:,令,得,故,的單調增區(qū)間為,的單調減區(qū)間為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,說明:,單調區(qū)間的分界點除駐點外,也可是導數不存在的點.,例如,2) 如果函數在某駐點兩邊導數同號, 則不改變函數的單調性 .,例如,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例2. 證明,時, 成立不等式,證: 令,從而,因此,且,證,證明 目錄 上頁 下頁 返回 結束,* 證明,令,則,從而,即,定義 . 設函數,在區(qū)間 I 上連續(xù) ,(1) 若恒有,則稱,圖形是凹的;,(2) 若恒有,則稱,連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點 稱為拐點 .,圖形是凸的 .,二、曲線的凹凸與拐點,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,定理2.(凹凸判定法),(1) 在 I 內,則 在 I 內圖形是凹的 ;,(2) 在 I 內,則 在 I 內圖形是凸的 .,證:,利用一階泰勒公式可得,兩式相加,說明 (1) 成立;,(2),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,設函數,在區(qū)間I 上有二階導數,證畢,例3. 判斷曲線,的凹凸性.,解:,故曲線,在,上是向上凹的.,說明:,1) 若在某點二階導數為 0 ,2) 根據拐點的定義及上述定理, 可得拐點的判別法如下:,若曲線,或不存在,的一個拐點.,則曲線的凹凸性不變 .,在其兩側二階導數不變號,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例4. 求曲線,的拐點.,解:,不存在,因此點 ( 0 , 0 ) 為曲線,的拐點 .,凹,凸,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例5. 求曲線,的凹凸區(qū)間及拐點.,解:,1) 求,2) 求拐點可疑點坐標,令,得,對應,3) 列表判別,故該曲線在,及,上向上凹,向上凸 ,點 ( 0 , 1 ) 及,均為拐點.,凹,凹,凸,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,內容小結,1. 可導函數單調性判別,在 I 上單調遞增,在 I 上單調遞減,2.曲線凹凸與拐點的判別,拐點, 連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,思考與練習,上,則,或,的大小順序是 ( ),提示: 利用,單調增加 ,及,B,1. 設在,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,.,2. 曲線,的凹區(qū)間是,凸區(qū)間是,拐點為,提示:,及,作業(yè) P152 3 (1),(7) ; 4 (2), (4) ; 8 (3), (6) ; 9 (3) ; 10 ; 12 ; 13 ; 14,;,;,第五節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結束,有位于一直線的三個拐點.,1.求證曲線,證明：,備用題,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,令,得,從而三個拐點為,因為,所以三個拐點共線.