函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)(8).pptVIP

函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù),f (x)0,f (x)0,1.定義:一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間（a，b）內(nèi)有導(dǎo)數(shù),如果在 這個區(qū)間內(nèi)f/（x） 0,那么函數(shù)y=f(x) 在為這個區(qū)間內(nèi) 的增函數(shù);如果在這個區(qū)間內(nèi)f/（x）0,那么函數(shù)y=f(x) 在為這個區(qū)間內(nèi)的減函數(shù).,一、知識回顧:,如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有 ,則 為常數(shù).,2.求函數(shù)單調(diào)性的一般步驟,求函數(shù)的定義域;,求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) f/（x） ;,解不等式 f/（x）0 得f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間; 解不等式 f/（x）0 得f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.,關(guān)注用導(dǎo)數(shù)本質(zhì)及其幾何意義解決問題,3.思考： 觀察下圖，當(dāng)t=t0時距水面的高度最大,那么函數(shù) h（t）在此點的導(dǎo)數(shù)是多少呢？此點附近的圖象有什么特點？相應(yīng)地，導(dǎo)數(shù)的符號有什么變化規(guī)律？,二、新課講解函數(shù)的極值:,觀察圖象中，點a和點b處的函數(shù)值與它們附近點的函數(shù)值有什么的大小關(guān)系？,一 極值的定義,點a叫做函數(shù)y=f(x)的極小值點，函數(shù)值f（a）稱為函數(shù)y=f(x)的極小值， 點b叫做函數(shù)y=f(x)的極大值點，函數(shù)值f（b）稱為函數(shù)y=f(x)的極大值 。 極大值點極小值點統(tǒng)稱為極值點，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值,注：極值點指的是自變量的值，極值指的是函數(shù)值。,觀察函數(shù)y=f(x)的圖像,探究 1、圖中有哪些極值點？極值點唯一嗎？ 2、極大值一定比極小值大么？,函數(shù)極值是在某一點附近的小區(qū)間內(nèi)定義的，是局部性質(zhì)。因此一個函數(shù)在其整個定義區(qū)間上可能有多個極大值或極小值，并對同一個函數(shù)來說，在某一點的極大值也可能小于另一點的極小值。,如圖，函數(shù) y=f（x）在x1，x2，x3，x4等點的 函數(shù)值與這些點附近的函數(shù)值有什么關(guān)系？ Y=f（x）在這些點的導(dǎo)數(shù)值是多少？在這些點附近，y=f（x）的導(dǎo)數(shù)的符號有什么規(guī)律？,2.探索思考：,從而我們得出結(jié)論: 若x0滿足 f/(x)=0,且在x0的兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號,則x0是f(x)的極值點,f(x0)是極值,并且如果 f/(x) 在x0兩側(cè)滿足“左正右負(fù)”,則x0是f(x)的極大值點,f(x0)是極大值;如果 f/(x) 在x0兩側(cè)滿足“左負(fù)右正”,則x0是f(x)的極小值點,f(x0)是極小值.極大值與極小值統(tǒng)稱為極值.,從曲線的切線角度看,曲線在極值點處切線的斜率為0,并且,曲線在極大值點左側(cè)切線的斜率為正,右側(cè)為負(fù);曲線在極小值點左側(cè)切線的斜率為負(fù),右側(cè)為正.,如上左圖所示,若x0是f(x)的極大值點,則x0兩側(cè)附近點的函數(shù)值必須小于f(x0) .因此, x0的左側(cè)附近f(x)只能是增函數(shù),即 ; x0的右側(cè)附近f(x)只能是減函數(shù),即,同理,如上右圖所示,若x0是f(x)極小值點,則在x0的左側(cè)附近f(x)只能是減函數(shù),即 ;在x0的右側(cè)附近只能是增函數(shù),即 .,三、例題選講:,例1:求y=x3/3-4x+4的極值.,解:,令 ,解得x1=-2,x2=2.,當(dāng)x變化時, ,y的變化情況如下表:,因此,當(dāng)x=-2時有極大值,并且,y極大值=28/3; 而,當(dāng)x=2時有極小值,并且,y極小值=- 4/3.,四.探索思考:,導(dǎo)數(shù)值為0的點一定是函數(shù)的極值點嗎?,可導(dǎo)函數(shù)的極值點一定是它導(dǎo)數(shù)為零的點,反之函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零的點,不一定是該函數(shù)的極值點.例如,函數(shù)y=x3,在點x=0處的導(dǎo)數(shù)為零,但它不是極值點,原因是函數(shù)在點x=0處左右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)都大于零.,因此導(dǎo)數(shù)為零的點僅是該點為極值點的必要條件,其充分條件是在這點兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號.,一般地,求函數(shù)y=f(x)的極值的方法是:,(1):如果在x0附近的左側(cè) f/(x)0 右側(cè) f/(x)0 , 那么f(x0)是極大值;,(2):如果在x0附近的左側(cè) f/(x)0 , 那么f(x0)是極小值.,解方程f/(x)=0.當(dāng)f/(x)=0時:,故當(dāng)x=-a時,f(x)有極大值f(-a)=-2a;當(dāng)x=a時,f(x)有極小值f(a)=2a.,例2:求函數(shù) 的極值.,解:函數(shù)的定義域為,令 ,解得x1=-a,x2=a(a0).,當(dāng)x變化時, ,f(x)的變化情況如下表:,練習(xí)1:求函數(shù) 的極值.,解:,令 =0,解得x1=-1,x2=1.,當(dāng)x變化時, ,y的變化情況如下表:,因此,當(dāng)x=-1時有極大值,并且,y極大值=3; 而,當(dāng)x=1時有極小值,并且,y極小值=- 3.,例3:已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2+b. (1)若函數(shù)f(x)在x=0,x=4處取得極值,且極小值為-1, 求a、b的值. (2)若 ,函數(shù)f(x)圖象上的任意一點的切線斜 率為k,試討論k-1成立的充要條件 .,解:(1)由 得x=0或x=4a/3.故4a/3=4, a=6.,由于當(dāng)x0時, 故當(dāng)x=0時, f(x)達(dá)到極小值f(0)=b,所以b=-1.,(2)等價于當(dāng) 時,-3x2+2ax-1恒成立,即g(x)= 3x2-2ax-10對一切 恒成立.,由于g(0)=-10,故只需g(1)=2-2a0,即a1.,反之,當(dāng)a1時,g(x)0對一切 恒成立.,所以,a1是k-1成立的充要條件.,例4:已知f(x)=ax5-bx3+c在x= 1處有極值,且極大值為 4,極小值為0.試確定a,b,c的值.,解:,由題意, 應(yīng)有根 ,故5a=3b,于是:,(1)設(shè)a0,列表如下:,由表可得 ,即 .,又5a=3b,解得a=3,b=5,c=2.,(2)設(shè)a0,列表如下:,由表可得 ,即 .,又5a=3b,解得a=-3,b=-5,c=2.,練習(xí)1:已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值為 10,求a、b的值.,解: =3x2+2ax+b=0有一個根x=1,故3+2a+b=0.,又f(1)=10,故1+a+b+a2=10.,由、解得 或,當(dāng)a=-3,b=3時, ,此時f(x)在x=1處無 極值,不合題意.,當(dāng)a=4,b=-11時,-3/111時, ,此時x=1是極 值點.,從而所求的解為a=4,b=-11.,第二課時,一、復(fù)習(xí):,1.設(shè)函數(shù)y=f(x)在x0及其附近有定義,如果f(x0)的值比x0 附近所有各點的函數(shù)值都大,我們說f(x0)是函數(shù)y=f(x) 的一個極大值;如果f(x0)的值比x0附近所有各點的函 數(shù)值都小,我們說f(x0)是函數(shù)y=f(x)的一個極小值.極 大值與極小值統(tǒng)稱極值.,2.當(dāng)函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)時,判別f(x0)是極大(小)值的方 法是:,(1):如果在x0附近的左側(cè) 右側(cè) 那么, f(x0)是極大值;,(2):如果在x0附近的左側(cè) 右側(cè) 那么, f(x0)是極小值.,3.理解函數(shù)極值的定義時應(yīng)注意以下幾點:,(1)函數(shù)的極值是一個局部性的概念,極值點是區(qū)間內(nèi) 部的點而不會是端點.,(2)若f(x)在某區(qū)間內(nèi)有極值,那么f(x)在某區(qū)間內(nèi)一定 不是單調(diào)函數(shù),即在區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)沒有極值.,(3)極大值與極小值沒有必然的大小關(guān)系,即極大值不 一定比極小值大,極小值不一定比極大值小.,(4)函數(shù)f(x)在某區(qū)間內(nèi)有極值,它的極值點的分布是 有規(guī)律的,相鄰兩個極大值點之間必有一個極小值 點,同樣相鄰兩個極小值點之間必有一個極大值點. 一般地,當(dāng)函數(shù)f(x)在某區(qū)間上連續(xù)且有有限極值 點時,函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)的極大值點與極小值點 是交替出現(xiàn)的.,(5)導(dǎo)數(shù)為零的點是該點為極值點的必要條件,而不是 充分條件.,(6)極值只能在函數(shù)不可導(dǎo)的點或?qū)?shù)為零的點取到.,4.確定函數(shù)的極值應(yīng)從幾何直觀入手,理解可導(dǎo)函數(shù)在 其定義域上的單調(diào)性與函數(shù)極值的相互關(guān)系,掌握利 用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)極值的基本方法.,例1:已知函數(shù) f(x)滿足條件:當(dāng)x2時, ;當(dāng) x2時, ; . 求證:函數(shù)y=f(x2)在 處有極小值.,證:設(shè)g(x)=f(x2),則,故當(dāng) 時,x22,由條件可知 ,即:,當(dāng) 時,x22,由條件可知 ,即:,又當(dāng) 時,所以當(dāng) 時,函數(shù)y=f(x2)取得極小值.,為什么要加上這一步?,例3:已知: (1)證明:f(x)恰有一個極大值點和一個極小值點; (2)當(dāng)f(x)的極大值為1、極小值為-1時,求a、b的值.,解:(1),令 ,得-ax2-2bx+a=0,=4b2+4a20,故 有不相等的兩實根、,設(shè).,又設(shè)g(