函數(shù)的連續(xù)性(課件.ppt

四、函數(shù)的連續(xù)性,1.函數(shù)的增量,(一)、連續(xù)的定義,2.連續(xù)的定義,例1,證,由定義2.9知,3.單側(cè)連續(xù),性質(zhì)2.14,例2,解,右連續(xù)但不左連續(xù) ,4.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間,連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.,若f(x)在定義域內(nèi)連續(xù),則稱f(x)為連續(xù)函數(shù).,定理2.3: 基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)都是連續(xù)的.,f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù):,(二)、函數(shù)的間斷點(diǎn)及類型,1,x=2,例4,1.第一類間斷點(diǎn),1)跳躍間斷點(diǎn),2)可去間斷點(diǎn),注意 可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的定義, 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn).,例5,2.第二類間斷點(diǎn),例6,解,例7,解,注意 不要以為函數(shù)的間斷點(diǎn)只能是個(gè)別的幾個(gè)點(diǎn).,狄利克雷函數(shù),在定義域R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷，且都是第二類間斷點(diǎn)。,在定義域 R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷, 但其絕對值處處連續(xù).,12/16,例8,解,(三)、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),例如,結(jié)論: 一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.,定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.,復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性,(四)、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),定理1 (有界性定理)設(shè)f(x)在a,b上連續(xù),則f(x) 在a,b上有界.,連續(xù)但無界,例如,定義:,定理2 (最大、最小值定理)設(shè)f(x)在a,b上連續(xù),則f(x) 在a,b上可取到最大值,最小值.,注意:1.若區(qū)間是開區(qū)間, 定理不一定成立;,2.若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn), 定理不一定成立.,Th3 (介值定理),幾何解釋:,定義:,推論(零點(diǎn)存在定理),幾何解釋:,注意(1) 若f(x)在a,b上單調(diào),則只有唯一零點(diǎn).,(2)若a,b改為(a,b)結(jié)論未必成立.,在(1,2)連續(xù),但Th2.6 不成立.,例1,證,由零點(diǎn)定理,例2,證,由零點(diǎn)定理,證:,在0,1連續(xù),由零點(diǎn)定理,(五)、 小結(jié),1.函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿足的三個(gè)條件;,3.間斷點(diǎn)的分類與判別;,2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);,第一類間斷點(diǎn):可去型,跳躍型.,第二類間斷點(diǎn):無窮型,振蕩型.,間斷點(diǎn),(見下圖),可去型,第一類間斷點(diǎn),跳躍型,無窮型,振蕩型,第二類間斷點(diǎn),連續(xù)函數(shù)的和差積商的連續(xù)性.,復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性.,初等函數(shù)的連續(xù)性.,求極限的又一種方法.,反函數(shù)的連續(xù)性.,四個(gè)定理,有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理.,注意 1閉區(qū)間； 2連續(xù)函數(shù) 這兩點(diǎn)不滿足上述定理不一定成立,思考題,下述命題是否正