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文檔簡介
9.2兩條直線的位置關(guān)系最新考綱考情考向分析1.能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直.2.會求過兩點(diǎn)的直線斜率、兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)、兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線的距離、兩條平行直線間的距離.以考查兩條直線的位置關(guān)系、兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線的距離、兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為主,有時也會與圓、橢圓、拋物線交匯考查.題型以選擇、填空題為主,要求相對較低.1.兩條直線的位置關(guān)系(1)兩條直線平行與垂直兩條直線平行:()對于兩條不重合的直線l1,l2,若其斜率分別為k1,k2,則有l(wèi)1l2k1k2.()當(dāng)直線l1,l2不重合且斜率都不存在時,l1l2.兩條直線垂直:()如果兩條直線l1,l2的斜率存在,設(shè)為k1,k2,則有l(wèi)1l2k1k21.()當(dāng)其中一條直線的斜率不存在,而另一條的斜率為0時,l1l2.(2)兩條直線的交點(diǎn)直線l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,則l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解.2.幾種距離(1)兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)之間的距離|P1P2|.(2)點(diǎn)P0(x0,y0)到直線l:AxByC0的距離d.(3)兩條平行線AxByC10與AxByC20(其中C1C2)間的距離d.概念方法微思考1.若兩條直線l1與l2垂直,則它們的斜率有什么關(guān)系?提示當(dāng)兩條直線l1與l2的斜率都存在時,1;當(dāng)兩條直線中一條直線的斜率為0,另一條直線的斜率不存在時,l1與l2也垂直.2.應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式和兩平行線間的距離公式時應(yīng)注意什么?提示(1)將方程化為最簡的一般形式.(2)利用兩平行線之間的距離公式時,應(yīng)使兩平行線方程中x,y的系數(shù)分別對應(yīng)相等.題組一思考辨析1.判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊被颉啊?(1)當(dāng)直線l1和l2斜率都存在時,一定有k1k2l1l2.()(2)已知直線l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20(A1,B1,C1,A2,B2,C2為常數(shù)),若直線l1l2,則A1A2B1B20.()(3)點(diǎn)P(x0,y0)到直線ykxb的距離為.()(4)直線外一點(diǎn)與直線上一點(diǎn)的距離的最小值就是點(diǎn)到直線的距離.()(5)若點(diǎn)A,B關(guān)于直線l:ykxb(k0)對稱,則直線AB的斜率等于,且線段AB的中點(diǎn)在直線l上.()題組二教材改編2.P110B組T2已知點(diǎn)(a,2)(a0)到直線l:xy30的距離為1,則a等于()A.B.2C.1D.1答案C解析由題意得1.解得a1或a1.a0,a1.3.P101A組T10已知P(2,m),Q(m,4),且直線PQ垂直于直線xy10,則m_.答案1解析由題意知1,所以m42m,所以m1.4.P110B組T1若三條直線y2x,xy3,mx2y50相交于同一點(diǎn),則m的值為_.答案9解析由得所以點(diǎn)(1,2)滿足方程mx2y50,即m12250,所以m9.題組三易錯自糾5.直線2x(m1)y40與直線mx3y20平行,則m等于()A.2B.3C.2或3D.2或3答案C解析直線2x(m1)y40與直線mx3y20平行,則有,故m2或3.故選C.6.直線2x2y10,xy20之間的距離是_.答案解析先將2x2y10化為xy0,則兩平行線間的距離為d.7.若直線(3a2)x(14a)y80與(5a2)x(a4)y70垂直,則a_.答案0或1解析由兩直線垂直的充要條件,得(3a2)(5a2)(14a)(a4)0,解得a0或a1.題型一兩條直線的平行與垂直例1已知直線l1:ax2y60和直線l2:x(a1)ya210.(1)試判斷l(xiāng)1與l2是否平行;(2)當(dāng)l1l2時,求a的值.解(1)方法一當(dāng)a1時,l1:x2y60,l2:x0,l1不平行于l2;當(dāng)a0時,l1:y3,l2:xy10,l1不平行于l2;當(dāng)a1且a0時,兩直線可化為l1:yx3,l2:yx(a1),l1l2解得a1,綜上可知,當(dāng)a1時,l1l2,a1時,l1與l2不平行.方法二由A1B2A2B10,得a(a1)120,由A1C2A2C10,得a(a21)160,l1l2可得a1,故當(dāng)a1時,l1l2.(2)方法一當(dāng)a1時,l1:x2y60,l2:x0,l1與l2不垂直,故a1不成立;當(dāng)a0時,l1:y3,l2:xy10,l1不垂直于l2,故a0不成立;當(dāng)a1且a0時,l1:yx3,l2:yx(a1),由1,得a.方法二由A1A2B1B20,得a2(a1)0,可得a.思維升華(1)當(dāng)直線方程中存在字母參數(shù)時,不僅要考慮到斜率存在的一般情況,也要考慮到斜率不存在的特殊情況.同時還要注意x,y的系數(shù)不能同時為零這一隱含條件.(2)在判斷兩直線平行、垂直時,也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論.跟蹤訓(xùn)練1(1)(2012浙江)設(shè)aR,則“a1”是“直線l1:ax2y10與直線l2:x(a1)y40平行”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案A解析若直線l1與l2平行,則a(a1)210,且,即a2或a1,所以a1是直線l1與直線l2平行的充分不必要條件.(2)已知兩條直線l1:axby40和l2:(a1)xyb0,求滿足下列條件的a,b的值.l1l2,且直線l1過點(diǎn)(3,1);l1l2,且坐標(biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等.解l1l2,a(a1)b0,又直線l1過點(diǎn)(3,1),3ab40.故a2,b2.直線l2的斜率存在,l1l2,直線l1的斜率存在.k1k2,即1a.又坐標(biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等,l1,l2在y軸上的截距互為相反數(shù),即b.故a2,b2或a,b2.題型二兩直線的交點(diǎn)與距離問題1.若直線l與兩直線y1,xy70分別交于M,N兩點(diǎn),且MN的中點(diǎn)是P(1,1),則直線l的斜率是()A.B.C.D.答案A解析由題意,設(shè)直線l的方程為yk(x1)1,分別與y1,xy70聯(lián)立解得M,N.又因?yàn)镸N的中點(diǎn)是P(1,1),所以由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得k.2.若P,Q分別為直線3x4y120與6x8y50上任意一點(diǎn),則|PQ|的最小值為()A.B.C.D.答案C解析因?yàn)椋詢芍本€平行,將直線3x4y120化為6x8y240,由題意可知|PQ|的最小值為這兩條平行直線間的距離,即,所以|PQ|的最小值為.3.已知直線ykx2k1與直線yx2的交點(diǎn)位于第一象限,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_.答案解析方法一由方程組解得交點(diǎn)坐標(biāo)為.又交點(diǎn)位于第一象限,解得k.方法二如圖,已知直線yx2與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A(4,0),B(0,2).而直線方程ykx2k1可變形為y1k(x2),表示這是一條過定點(diǎn)P(2,1),斜率為k的動直線.兩直線的交點(diǎn)在第一象限,兩直線的交點(diǎn)必在線段AB上(不包括端點(diǎn)),動直線的斜率k需滿足kPAkkPB.kPA,kPB.k.4.已知A(4,3),B(2,1)和直線l:4x3y20,若在坐標(biāo)平面內(nèi)存在一點(diǎn)P,使|PA|PB|,且點(diǎn)P到直線l的距離為2,則P點(diǎn)坐標(biāo)為_.答案或解析設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,b).A(4,3),B(2,1),線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3,2).而AB的斜率kAB1,線段AB的垂直平分線方程為y2x3,即xy50.點(diǎn)P(a,b)在直線xy50上,ab50.又點(diǎn)P(a,b)到直線l:4x3y20的距離為2,2,即4a3b210,由聯(lián)立解得或所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,4)或.思維升華 (1)求過兩直線交點(diǎn)的直線方程的方法先求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo),再結(jié)合其他條件寫出直線方程.(2)利用距離公式應(yīng)注意:點(diǎn)P(x0,y0)到直線xa的距離d|x0a|,到直線yb的距離d|y0b|;兩平行線間的距離公式要把兩直線方程中x,y的系數(shù)化為相等.題型三對稱問題命題點(diǎn)1點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)中心對稱例2過點(diǎn)P(0,1)作直線l,使它被直線l1:2xy80和l2:x3y100截得的線段被點(diǎn)P平分,則直線l的方程為_.答案x4y40解析設(shè)l1與l的交點(diǎn)為A(a,82a),則由題意知,點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的對稱點(diǎn)B(a,2a6)在l2上,代入l2的方程得a3(2a6)100,解得a4,即點(diǎn)A(4,0)在直線l上,所以直線l的方程為x4y40.命題點(diǎn)2點(diǎn)關(guān)于直線對稱例3如圖,已知A(4,0),B(0,4),從點(diǎn)P(2,0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上,最后經(jīng)直線OB反射后又回到P點(diǎn),則光線所經(jīng)過的路程是()A.3B.6C.2D.2答案C解析直線AB的方程為xy4,點(diǎn)P(2,0)關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)為D(4,2),關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為C(2,0),則光線經(jīng)過的路程為|CD|2.命題點(diǎn)3直線關(guān)于直線的對稱問題例4直線2xy30關(guān)于直線xy20對稱的直線方程是_.答案x2y30解析設(shè)所求直線上任意一點(diǎn)P(x,y),則P關(guān)于xy20的對稱點(diǎn)為P(x0,y0),由得由點(diǎn)P(x0,y0)在直線2xy30上,2(y2)(x2)30,即x2y30.思維升華解決對稱問題的方法(1)中心對稱點(diǎn)P(x,y)關(guān)于Q(a,b)的對稱點(diǎn)P(x,y)滿足直線關(guān)于點(diǎn)的對稱可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱問題來解決.(2)軸對稱點(diǎn)A(a,b)關(guān)于直線AxByC0(B0)的對稱點(diǎn)A(m,n),則有直線關(guān)于直線的對稱可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對稱問題來解決.跟蹤訓(xùn)練2(2018寧波模擬)已知直線l:3xy30,求:(1)點(diǎn)P(4,5)關(guān)于l的對稱點(diǎn);(2)直線xy20關(guān)于直線l對稱的直線方程;(3)直線l關(guān)于(1,2)的對稱直線.解(1)設(shè)P(x,y)關(guān)于直線l:3xy30的對稱點(diǎn)為P(x,y),kPPkl1,即31.又PP的中點(diǎn)在直線3xy30上,330.由得把x4,y5代入得x2,y7,點(diǎn)P(4,5)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,7).(2)用分別代換xy20中的x,y,得關(guān)于l對稱的直線方程為20,化簡得7xy220.(3)在直線l:3xy30上取點(diǎn)M(0,3),關(guān)于(1,2)的對稱點(diǎn)M(x,y),1,x2,2,y1,M(2,1).l關(guān)于(1,2)的對稱直線平行于l,k3,對稱直線方程為y13(x2),即3xy50.妙用直線系求直線方程在求解直線方程的題目中,可采用設(shè)直線系方程的方式簡化運(yùn)算,常見的直線系有平行直線系,垂直直線系和過直線交點(diǎn)的直線系.一、平行直線系由于兩直線平行,它們的斜率相等或它們的斜率都不存在,因此兩直線平行時,它們的一次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)有必然的聯(lián)系.例1求與直線3x4y10平行且過點(diǎn)(1,2)的直線l的方程.解由題意,設(shè)所求直線方程為3x4yc0(c1),又因?yàn)橹本€過點(diǎn)(1,2),所以3142c0,解得c11.因此,所求直線方程為3x4y110.二、垂直直線系由于直線A1xB1yC10與A2xB2yC20垂直的充要條件為A1A2B1B20.因此,當(dāng)兩直線垂直時,它們的一次項(xiàng)系數(shù)有必然的聯(lián)系.可以考慮用直線系方程求解.例2求經(jīng)過A(2,1),且與直線2xy100垂直的直線l的方程.解因?yàn)樗笾本€與直線2xy100垂直,所以設(shè)該直線方程為x2yC0,又直線過點(diǎn)A(2,1),所以有221C0,解得C0,即所求直線方程為x2y0.三、過直線交點(diǎn)的直線系例3求經(jīng)過直線l1:3x2y10和l2:5x2y10的交點(diǎn),且垂直于直線l3:3x5y60的直線l的方程.解方法一將直線l1,l2的方程聯(lián)立,得解得即直線l1,l2的交點(diǎn)為(1,2).由題意得直線l3的斜率為,又直線ll3,所以直線l的斜率為,則直線l的方程是y2,即5x3y10.方法二由于ll3,所以可設(shè)直線l的方程是5x3yC0,將直線l1,l2的方程聯(lián)立,得解得即直線l1,l2的交點(diǎn)為(1,2),則點(diǎn)(1,2)在直線l上,所以5(1)32C0,解得C1,所以直線l的方程為5x3y10.方法三設(shè)直線l的方程為3x2y1(5x2y1)0,整理得(35)x(22)y(1)0.由于ll3,所以3(35)5(22)0,解得,所以直線l的方程為5x3y10.1.直線2xym0和x2yn0的位置關(guān)系是()A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.不能確定答案C解析直線2xym0的斜率k12,直線x2yn0的斜率k2,則k1k2,且k1k21.故選C.2.(2018嘉興期末)點(diǎn)(1,0)到直線xy10的距離是()A.B.C.1D.答案A解析由點(diǎn)到直線的距離公式得點(diǎn)(1,0)到直線xy10的距離為,故選A.3.(2018浙江嘉興一中月考)點(diǎn)P在直線l:xy10上運(yùn)動,A(4,1),B(2,0),則|PA|PB|的最小值是()A.B.C.3D.4答案C解析A(4,1)關(guān)于直線xy10的對稱點(diǎn)為A(2,3),|PA|PB|PA|PB|,當(dāng)P,A,B三點(diǎn)共線時,|PA|PB|取得最小值|AB|3.4.過點(diǎn)M(3,2),且與直線x2y90平行的直線方程是()A.2xy80B.x2y70C.x2y40D.x2y10答案D解析方法一因?yàn)橹本€x2y90的斜率為,所以與直線x2y90平行的直線的斜率為,又所求直線過M(3,2),所以所求直線的點(diǎn)斜式方程為y2(x3),化為一般式得x2y10.故選D.方法二由題意,設(shè)所求直線方程為x2yc0(c9),將M(3,2)代入,解得c1,所以所求直線為x2y10.故選D.5.若直線l1:xay60與l2:(a2)x3y2a0平行,則l1與l2之間的距離為()A.B.4C.D.2答案C解析l1l2,a2且a0,解得a1,l1與l2的方程分別為l1:xy60,l2:xy0,l1與l2的距離d.6.已知直線l1:y2x3,直線l2與l1關(guān)于直線yx對稱,則直線l2的斜率為()A.B.C.2D.2答案A解析直線y2x3與yx的交點(diǎn)為A(1,1),而直線y2x3上的點(diǎn)(0,3)關(guān)于yx的對稱點(diǎn)為B(3,0),而A,B兩點(diǎn)都在l2上,所以.7.(2018紹興調(diào)研)設(shè)直線l1:(a1)x3y2a0,直線l2:2x(a2)y10.若l1l2,則實(shí)數(shù)a的值為_,若l1l2,則實(shí)數(shù)a的值為_.答案4解析由l1l2得2(a1)3(a2)0,故a;當(dāng)l1l2時,有則a4.8.已知直線l過點(diǎn)P(3,4)且與點(diǎn)A(2,2),B(4,2)等距離,則直線l的方程為_.答案2x3y180或2xy20解析顯然當(dāng)直線l的斜率不存在時,不滿足題意;設(shè)所求直線方程為y4k(x3),即kxy43k0,由已知,得,k2或k.所求直線l的方程為2xy20或2x3y180.9.(2018浙江嘉興一中月考)已知直線l1:axy60與l2:x(a2)ya10相交于點(diǎn)P,若l1l2,則a_,此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為_.答案1(3,3)解析直線l1:axy60與l2:x(a2)ya10相交于點(diǎn)P,且l1l2,a11(a2)0,即a1,聯(lián)立方程易得x3,y3,P(3,3).10.(2018浙江杭州名校協(xié)作體月考)已知點(diǎn)A(0,1),直線l1:xy10,直線l2:x2y20,則點(diǎn)A關(guān)于直線l1的對稱點(diǎn)B的坐標(biāo)為_,直線l2關(guān)于直線l1的對稱直線的方程是_.答案(2,1)2xy50解析設(shè)B(x,y),則解得即B(2,1).由得設(shè)C(4,3),由(1)得l2上的點(diǎn)A(0,1)關(guān)于直線l1的對稱點(diǎn)為B,因此所求對稱直線過B,C兩點(diǎn),所以y3(x4),即2xy50.11.已知方程(2)x(1)y2(32)0與點(diǎn)P(2,2).(1)證明:對任意的實(shí)數(shù),該方程都表示直線,且這些直線都經(jīng)過同一定點(diǎn),并求出這一定點(diǎn)的坐標(biāo);(2)證明:該方程表示的直線與點(diǎn)P的距離d小于4.(1)解顯然2與(1)不可能同時為零,故對任意的實(shí)數(shù),該方程都表示直線.方程可變形為2xy6(xy4)0,解得故直線經(jīng)過的定點(diǎn)為M(2,2).(2)證明過P作直線的垂線段PQ,由垂線段小于斜線段知|PQ|PM|,當(dāng)且僅當(dāng)Q與M重合時,|PQ|PM|,此時對應(yīng)的直線方程是y2x2,即xy40.但直線系方程唯獨(dú)不能表示直線xy40,M與Q不可能重合,而|PM|4,|PQ|0);l2:4x2y10;l3:xy10,且l1與l2間的距離是.(1)求a的值;(2)能否找到一點(diǎn)P,使P同時滿足下列三個條件:點(diǎn)P在第一象限;點(diǎn)P到l1的距離是點(diǎn)P到l2的距離的;點(diǎn)P到l1的距離與點(diǎn)P到l3的距離之比是.若能,求點(diǎn)P的坐標(biāo);若不能,請說明理由.解(1)直線l2:2xy0,所以兩條平行線l1與l2間的距離為d,所以,即,又a0,解得a3.(2)假設(shè)存在點(diǎn)P,設(shè)點(diǎn)P(x0,y0).若P點(diǎn)滿足條件,則P點(diǎn)在與l1,l2平行的直線l:2xyc0上,且,即c或,所以2x0y00或2x0y00;若P點(diǎn)滿足條件,由點(diǎn)到直線的距離公式,有,即|2x0y03|x0y01|,所以x02y040或3x020;由于點(diǎn)P在第一象限,所以3x020不可能.聯(lián)立方程2x0y00和x02y040,解得(舍去)聯(lián)立方程2x0y00和x02y040,解得所以存在點(diǎn)P同時滿足三個條件.13.已知直線y2x是ABC中C的平分線所在的直線,若點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別是(4,2),(3,1),則點(diǎn)C的坐標(biāo)為()A.(2,4) B.(2,4)C.(2,4) D.(2,4)答案C解析設(shè)A(4,2)關(guān)于直線y2x的對稱點(diǎn)為(x,y),則解得BC所在直線方程為y1(x3),即3xy100.同理可得點(diǎn)B(3,1)
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