用數(shù)學思維解決物理題庫目.doc

第三講 常見的數(shù)學方法數(shù)學作為工具學科，其思想、方法和知識始終滲透、貫穿于整個物理學習和研究的過程中，為物理概念、定律的表述提供簡潔、精確的數(shù)學語言，為學生進行抽象思維和邏輯推理提供有效的方法，為物理學中的數(shù)量分析和計算提供有力工具中學物理考試大綱中對學生應用數(shù)學工具解決物理問題的能力作出了明確要求，要求考生有“應用數(shù)學處理物理問題的能力”高考物理試題的解答離不開數(shù)學知識和方法的應用，借助物理知識考查數(shù)學能力是高考命題的永恒主題 所謂數(shù)學方法，就是要把客觀事物的狀態(tài)、關(guān)系和過程用數(shù)學語言表達出來，并進行推導、演算和分析，以形成對問題的判斷、解釋和預測可以說，任何物理試題的求解過程實質(zhì)上是一個將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題再經(jīng)過求解還原為物理結(jié)論的過程本講中所指的數(shù)學方法，都是一些特殊、典型的方法處理中學物理問題，常用的數(shù)學方法有極值法、幾何法、圖象法、數(shù)學歸納推理法、微元法、等差(比)數(shù)列求和法等如下表：名稱內(nèi)容極限法1.三角函數(shù)求極值：y()=cos+sin，ymax=2.二次函數(shù)求極值：y=ax2+bx+c，ym=(a0時，有ymin；a0時，有ymax)3.均值不等式：a+b2( a0 ,b0), a+b+c3( a0 ,b0, c0)幾何法1.對稱點的性質(zhì)、鏡像對稱2.兩點間的直線距離最短3.正弦定理： = = ；余弦定理：a2=b2+c2+2bccos4.全等、相似三角形的特征5.圓軌道及圓的相關(guān)性質(zhì)、圓方程圖象法1.直線型圖象：y=kx+b2.正(余)弦曲線型圖象3.拋物線型圖象4.描述一個物理量隨另一個物理量變化的曲線等，如閉合電路中各物理量間關(guān)系數(shù)列法1.等差數(shù)列：其和Sn= =na1+d(d為公差)2.等比數(shù)列：Sn= ,a1為首項，q為公比，當q1時，qn0.微元法無窮小等分，往往對其中的一個微元作處理.數(shù)學歸納法對于一個復雜的過程由特殊到一般，歸納成某一通式，求解.三角函數(shù)變換sin2+cos2=1，sin2=2sincos，cos2=2cos2-1=1-2sin2=cos2-sin2方程法直線方程，一元二次方程的判別式，橢圓方程，二次函數(shù)，圓方程等另外還有比值法、不等式法探究思維拓展典題分析圖7-1【例1】 2008年高考上海卷4向量與矢量三角形 如圖7-1所示，在豎直平面內(nèi)的直角坐標系中，一個質(zhì)量為m的質(zhì)點在外力F的作用下，從坐標原點O由靜止沿直線ON斜向下運動，直線ON與y軸負方向成角（/4）。則F大小至少為_；若Fmgtan，則質(zhì)點機械能大小的變化情 況是_。跳出陷阱 某同學這樣解第2問，若Fmgtan時，正好F力的方向沿著x軸正方向，因此外力F與運動位移方向成銳角，質(zhì)點的機械能增加。指點迷津 實際上該同學忽視了題干只給出外力F的大小，而未給出該力的方向。Fmgtan時，外力F的方向不僅僅為沿著x軸正方向，還可能有其它方向。為了能夠嚴密的找出Fmgtan時的所有可能性，需要運用力的矢量三角形定則。正確析解 mgabcON圖7-2如圖7-2所示，質(zhì)點受到的力有重力mg和外力F，合力的方向沿著ON方向，將重力、外力、合力歸結(jié)到一個三角形中，該質(zhì)點受到重力和外力F從靜止開始做直線運動，說明質(zhì)點做勻加速直線運動，如圖中顯示當F力的方向為a方向（垂直于ON）時，F(xiàn)力最小為mgsin；若Fmgtan，即F力可能為b方向或c方向，故F力的方向可能與運動方向相同，也可能與運動方向相反，除重力外的F力對質(zhì)點做正功，也可能做負功，故質(zhì)點機械能增加、減少都有可能。兩空分別填：mgsin，增大、減小都有可能。方法歸類 力的矢量三角形定則是從平行四邊形定則中演繹出來的新的數(shù)學方法，解決共點力問題有很好的作用，特別是動態(tài)平衡問題、力的合成與分解中的多解分析，這樣的方法非常嚴密。矢量三角形的處理原則：1、抓住“定”量，比如重力的大小和方向?qū)噶咳切蔚倪呴L和方向，這點很重要，它直接確定了三角形的兩個頂點和一個邊；再比如墻壁上的彈力方向始終不變，這確定了動態(tài)三角形中的某個邊的方向；2、找到“變”量，往往以某個力的角度發(fā)生變化引起三角形另外兩個邊的變化，有時候是邊長變化、有時候是方向發(fā)生變化。NFfmg圖7-3一題多變 物體放置在水平地面上，物理與地面之間的動摩擦因數(shù)為，物體重為G，欲使物體沿水平地面做勻速直線運動，所用的最小拉力F為多大？畫龍點睛 該題的已知量只有和G，說明最小拉力的表達式中最多只含有和G ，但是，物體沿水平地面做勻速直線運動時，拉力F可由夾角的不同值而有不同的取值。因此，可根據(jù)題意先找到F與夾角有關(guān)的關(guān)系式再作分析。析解 方法一：如圖7-3，對物體受力分析，設(shè)拉力F與水平方向的夾角為，根據(jù)題意可列平衡方程式， 即Fcosf=0N+Fsin=Gf=N圖7-4聯(lián)立解得：,FFGFFFF圖7-5其中tan= ，故方法二：向量就是物理學中的矢量，當物體受三力平衡時，將三矢量首尾相連后，必定構(gòu)成三角形。利用點到直線的垂直線段最短可求極值。對本題我們也可用矢量知識求極值。將摩擦力f和地面對木塊的彈力N合成一個力F，如圖7-4，F(xiàn)與豎直方向的夾角為tan= =（為一定值）。這樣木塊可認為受到三個力:重力G，桌面對木塊的作用力F和拉力F的作用。盡管F大小方向均未確定，F(xiàn)方向一定，但大小未定，但三力首尾相連后必構(gòu)成三角形，如圖7-5所示。只有當F與F垂直時，即拉力與水平方向成角時，拉力F最小為F=Gsin而 ，故圖7-6一題多變 2008年高考四川延考卷21正弦定理與矢量三角形兩個可視為質(zhì)點的小球a和b，用質(zhì)量可忽略的剛性細桿相連，放置在一個光滑的半球面內(nèi)，如圖7-6所示。己知小球a和b的質(zhì)量之比為，細桿長度是球面半徑的倍。兩球處于平衡狀態(tài)時，細桿與水平面的夾角是 ( )A45B30C22.5D15畫龍點睛 通過對a和b兩小球的受力分析，抓住受力的共同特點：輕桿對小球的作用力等大、反向，以及重力均豎直向下，大小關(guān)系在題干已經(jīng)給出，還有重要的幾何關(guān)系即細桿的長度是球面半徑的倍。分別將兩小球受到的共點力歸結(jié)到矢量三角形中，最后利用數(shù)學的正弦定理列方程求解。abOc圖7-7正確解析 如圖7-7，對a、b分別受力分析，將三個力歸結(jié)到三角形Oac與Obc中，由牛頓第三定律可設(shè)兩球受到桿的作用力大小Nac=Nbc，依題意可知，ab=Oa=Ob，故三角形Oab為等腰直角三角形?？稍O(shè)aOc=90bOc=，根據(jù)矢量三角形定則及正弦定理可得： = ， = ，解得=30，由幾何關(guān)系可得=15 。本題還有其他解法，比如杠桿平衡條件解題、利用質(zhì)心找到平衡點等方法，不妨試一試。追問 1、試討論一下a球和b球質(zhì)量比為n發(fā)生變化時，細桿與水平面的夾角如何變化？2、若撤去光滑的半球面，Oa、Ob為細繩，a、b為同性電荷，其它條件不變，思考一下結(jié)果還是不是一樣？【例2】 2008年高考全國卷21不等式與極值 一束由紅、藍兩單色光組成的光線從一平板玻璃磚的上表面以入射角射入，穿過玻璃磚自下表面射出。已知該玻璃對紅光的折射率為1.5。設(shè)紅光與藍光穿過玻璃磚所用的時間分別為t1和t2，則光線從0逐漸增大至90的過程中 ( )At1始終大干t2 Bt1始終小于t2Ct1先大干后小于t2 Dt1先小于后大于t2跳出陷阱高考中某些考生解法如下：設(shè)折射角為，玻璃磚的厚度為h，由折射定律n= ，且n= ，在玻璃磚中的時間為t= ，聯(lián)立解得t2= 。研究這個函數(shù)，若對變化的入射角，和不同光的折射率n，設(shè)紅光的折射率為n1，藍光的折射率為n2，且n2n11，討論：當t紅2= t藍2時，有 = ，化簡得sin2 = ，由sin21，可得n1時，即當紅光的折射率n1=時出現(xiàn)極值，n1時，入射角從0逐漸增大至90的過程中，一定有t1t2 ，故B正確。實際上，當sin2 ，即 45時，t1t2 。指點迷津?qū)嶋H上能夠在列出函數(shù)方程后，利用強大的數(shù)學功底，應用函數(shù)變化和不等式知識得到最后結(jié)果，是非常困難的，也會耗掉很多時間，這在高考臨場中是一大禁忌。我們不禁發(fā)問高考物理試題難道要這么強大的數(shù)學函數(shù)功底才能解決問題嗎？其實作為選擇題，有靈活的數(shù)學處理方法。本題存在一個轉(zhuǎn)折點，就是給出的該玻璃對紅光的折射率為1.5這個條件。要想快速解題，列出簡單的函數(shù)方程對計算量的簡化和思維時間有很大的幫助。正確析解我們從時間的表達式開始，t = = = = ，對紅光的折射角1，藍光的折射角2，則t紅 : t藍= ，由于1 2 ，故在2190，即145時總有t1t2 ，要入射角從0逐漸增大至90的過程中總成立，要求紅光的折射率n1= ，由于題干給定n1=1.5，故總有t1t2 ，B正確。方法歸類高考中對處理物理情景后列出數(shù)學函數(shù)方程，然后運用數(shù)學不等式的知識靈活處理臨界問題，一直是考生的一大瓶頸。處理臨界值問題時可以考慮：1、運用二次函數(shù)極值公式求極值；2、利用一元二次方程求極值；3、利用配方法求極值；4、利用不等式求極值；5、利用三角函數(shù)的有界性求極值；6、利用“化一法”（即正弦、余弦、正切等三角函數(shù)轉(zhuǎn)換為同名三角函數(shù)）求三角函數(shù)極值；7、利用向量求極值；8、圖象法求極值；9、利用數(shù)學求導的方法求極值；以上求極值的方法是解高中物理題的常用方法。在使用中，還要注意題目中的條件及“界”的范圍。求最大和最小值問題，這類問題往往是物理學公式結(jié)合必要的教學知識才得出結(jié)論，這就要求學生不僅理解掌握物理概念、規(guī)律，還要具備較好的運用數(shù)學解決問題的能力。解決極值問題的關(guān)鍵是扎實掌握高中物理的基本概念，基本規(guī)律，在分析清楚物理過程后，再靈活運用所學的數(shù)學知識。無論采用何種方法解物理極值問題，首先都必須根據(jù)題意，找出符合物理規(guī)律的物理方程或物理圖象，這也是解決物理問題的核心，決不能盲目地將物理問題純數(shù)學化。一題多變 2008年高考全國卷15函數(shù)與極值一束單色光斜射到厚平板玻璃的一個表面上，經(jīng)兩次折射后從玻璃板另一個表面射出，出射光線相對于入射光線側(cè)移了一段距離。在下列情況下，出射光線側(cè)移距離最大的是 ( )A紅光以30的入射角入射B紅光以45的入射角入射C紫光以30的入射角入射D紫光以45的入射角入射跳出陷阱高考中某些考生思路如下：因為同種介質(zhì)對紫光的折射率較大，故入射角相同時，紫光側(cè)移距離較大，排除A、B選項；設(shè)入射角為i，折射角為r，玻璃磚厚度為d則側(cè)移距離x = d(tanitanr)cosi，由n= 代入化簡得：。指點迷津 這個函數(shù)已經(jīng)列出來了，思路上沒有出錯，而且折射率n1時，x隨著入射角i的增大而增大，但要怎么該函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)并不容易。通過精確畫圖的確可以很快得到結(jié)果，而且最大側(cè)移距離趨近于玻璃磚的厚度。利用數(shù)學函數(shù)分析以及高三教材的數(shù)據(jù)可以更加清晰的看到側(cè)移距離的變化。正確析解 Mm圖7-8我們重新列函數(shù)方程：x = ，在高三教材中，折射定律這一節(jié)有入射角與折射角的數(shù)據(jù)表格，從數(shù)據(jù)可知，入射角增大時，折射角也增大，且入射角與折射角的差值也在增大，故隨著入射角i的增大，sin(ir)增大，cosr減小，故x必定增大。從而選擇D選項。從這個結(jié)論中總結(jié)規(guī)律，同一種單色光，入射角增大時，側(cè)移距離逐漸增大到玻璃的厚度；同樣的入射角的前提下，折射率增大，側(cè)移距離增大?！纠?】 2007年高考全國卷24數(shù)學歸納法與碰撞 如圖7-8所示，質(zhì)量為m的由絕緣材料制成的球與質(zhì)量為M19m的金屬球并排懸掛?，F(xiàn)將絕緣球拉至與豎直方向成60的位置自由釋放，下擺后在最低點處與金屬球發(fā)生彈性碰撞。在平衡位置附近存在垂直于紙面的磁場。已知由于磁場的阻尼作用，金屬球?qū)⒂谠俅闻鲎睬巴Ｔ谧畹忘c處。求經(jīng)過幾次碰撞后絕緣球偏離豎直方向的最大角度將小于45。跳出陷阱這是一道碰撞中的動量與能量守恒問題，試題沒有給出磁場的阻尼作用如何產(chǎn)生，但給出了磁場，您考生容易產(chǎn)生錯覺，以為要運用磁場相關(guān)知識解決問題。對于兩個金屬球的運動過程，題目給出的描述并不是一目了然。特別是碰撞多次，每次碰撞過程中絕緣球的動能損失并不是一個常量，這給解決問題帶來了困難。指點迷津?qū)τ诿看闻鲎策^程中絕緣小球的動能損失量不是一個常量，那么有什么規(guī)律呢？為了找到規(guī)律，數(shù)學中常常以數(shù)學歸納法來尋找通項公式。正確析解設(shè)在第n次碰撞前絕緣球的速度為vn1，碰撞后絕緣球、金屬球的速度分別為vn、Vn。由于碰撞過程中動量守恒、碰撞前后動能相等，設(shè)速度向左，則解得： ，第n次碰撞后絕緣球的動能為： E0為第1次碰撞前的動能，即初始能量。絕緣球在060與45處的勢能之比為經(jīng)n次碰撞后有： 易算出(0.81)20656，(0.81)30.531，因此，經(jīng)過3次碰撞后小于45 。方法歸類該題除了考查碰撞中的動量守恒定律以及能量守恒定律外，還運用了數(shù)學歸納法尋找通項公式，即絕緣小球每一次碰撞前與碰撞后的動能關(guān)系，從而找到了絕緣小球每次碰后的動能與初動能的關(guān)系。找不到這個通項關(guān)系，而使用遞推法解題的計算量會非常大。在解決某些物理過程比較復雜的具體問題時，常從特殊情況出發(fā)，類推出一般情況下的猜想，然后用數(shù)學歸納法加以證明，從而確定我們的猜想是正確的。此類題要求注意在書寫上的規(guī)范，以便于找出其中的規(guī)律。圖7-9一題多變 2008年高考四川卷25遞推法與碰撞 如圖7-9，一傾角為45的斜面固定于地面，斜面頂端離地面的高度h01m，斜面底端有一垂直于斜面的固定擋板。在斜面頂端自由釋放一質(zhì)量m0.09kg的小物塊（視為質(zhì)點）。小物塊與斜面之間的動摩擦因數(shù)0.2。當小物塊與擋板碰撞后，將以原速返回。重力加速度g10 m/s2。在小物塊與擋板的前4次碰撞過程中，擋板給予小物塊的總沖量是多少？畫龍點睛在小物塊與擋板的前4次碰撞過程中，每一次擋板給予小物塊的沖量是一個定量、還是變量，需要事先通過物理規(guī)律列方程求解，實際上試探第一次與第二次擋板給予小物塊的沖量即可知曉。在這里可以運用兩種途徑來試探，一種是動能定理，另一種是牛頓運動定律。正確析解 方法一：設(shè)小物塊從高為h處由靜止開始沿斜面向下運動，到達斜面底端時速度為v。由功能關(guān)系得以沿斜面向上為動量的正方向。按動量定理，碰撞過程中擋板給小物塊的沖量 設(shè)碰撞后小物塊所能達到的最大高度為h，則同理，有 式中，v為小物塊再次到達斜面底端時的速度，I為再次碰撞過程中擋板給小物塊的沖量。由式得式中 由此可知，小物塊前4次與擋板碰撞所獲得的沖量成等比級數(shù)，首項為 總沖量為 由 得 代入數(shù)據(jù)得 Ns方法二：設(shè)小物塊從高為h處由靜止開始沿斜面向下運動，小物塊受到重力，斜面對它的摩擦力和支持力，小物塊向下運動的加速度為a，依牛頓第二定律得 設(shè)小物塊與擋板碰撞前的速度為v，則以沿斜面向上為動量的正方向。按動量定理，碰撞過程中擋板給小物塊的沖量為由式得 設(shè)小物塊碰撞后沿斜面向上運動的加速度大小為a， 依牛頓第二定律有 小物塊沿斜面向上運動的最大高度為由式得 式中 同理，小物塊再次與擋板碰撞所獲得的沖量 由式得 由此可知，小物塊前4次與擋板碰撞所獲得的沖量成等比級數(shù)，首項為 總沖量為 由 得 代入數(shù)據(jù)得 Ns【例4】 2007年高考上海8函數(shù)與物理圖象 物體做自由落體運動，Ek代表動能，Ep代表勢能，h代表下落的距離，以水平地面為零勢能面。下列7-10所示圖象中，能正確反映各物理量之間關(guān)系的是（ ）圖7-10跳出陷阱這是一道典型的函數(shù)與圖象數(shù)學、物理兩個學科相聯(lián)系的試題。考查運用數(shù)學知識處理物理問題的能力。需要通過給定的運動列出物理運動方程，即拿出函數(shù)關(guān)系式。函數(shù)均為勢能EP與相關(guān)時間、速度、動能、高度的關(guān)系。指點迷津 該題應該從數(shù)學函數(shù)與物理圖象相聯(lián)系。在自由落體運動中，勢能與下落的高度成正比，下落的高度與時間的平方成正比；任意高度的勢能值等于該處的動能值，與速度的平方成正比。再根據(jù)函數(shù)方程對應的圖象即可獲取答案。正確析解由機械能守恒定律：EP=EEK，故勢能與動能的圖像為傾斜的直線，C錯；由動能定理：EK =mgh=mv2=mg2t2，則EP=Emgh，故勢能與h的圖像也為傾斜的直線，D錯；且EP=Emv2，故勢能與速度的圖像為開口向下的拋物線，B對；同理EP=Emg2t2，勢能與時間的圖像也為開口向下的拋物線，A錯。本題答案B。方法歸類本題的突破口在于建立數(shù)學函數(shù)與運動學方程的關(guān)系，轉(zhuǎn)換為圖象?？疾榱藢D象的理解與認識。解決此類問題往往需要理解圖象的物理意義，是一次函數(shù)還是二次函數(shù)或其它函數(shù)，一次函數(shù)中的斜率的大小、傾斜的方向、橫軸和縱軸的截距等都是重要信息；二次函數(shù)中要注意圖象的開口、對稱軸以及與橫軸的交點等信息；還有圓方程、橢圓方程以及雙曲線方程等，都是要注意掌握的數(shù)學知識。一題多變 2008年高考海南卷5分段函數(shù)與圖象 一質(zhì)子和中于是由更基本的粒子即所謂“夸克”組成的兩個強作用電荷相反（類似于正負電荷）的夸克在距離很近時幾乎沒有相互作用（稱為“漸近自由”）；在距離較遠時，它們之間就會出現(xiàn)很強的引力（導致所謂“夸克禁閉”）作為一個簡單的模型，設(shè)這樣的兩夸克之間的相互作用力F與它們之間的距離r的關(guān)系為：式中F0為大于零的常量，負號表示引力用U表示夸克間的勢能，令U0F0(r2r1)，取無窮遠為勢能零點下列7-11所示Ur圖示中正確的是 （ ）圖7-11DU OU0 rr1r2AU OU0 rr1r2BU OU0 rr1r2CU OU0 rr1r2畫龍點睛該題在基本物理知識的背景下，實際上純粹考查數(shù)學知識，即數(shù)學分段函數(shù)的理解。能夠從物理知識與情景中找到數(shù)學分段函數(shù)即可獲取正確的圖象。在物理知識中需要運用勢能值與兩夸克之間的相互作用力做功的值大小相等，這樣從無窮遠處開始逐漸縮小距離到r=r2，從r=r2到r=r1，從r=r1縮小到最小距離，三個過程，三段函數(shù)圖象。正確析解 從無窮遠處電勢為零開始到r = r2位置，勢能恒定為零，在r = r2到r = r1過程中，恒定引力做正功，勢能逐漸均勻減小，即勢能為負值且越來越小，此部分圖像為A、B選項中所示；r r1之后勢能不變，恒定為U0，由引力做功等于勢能將少量，故U0=F0(r2r1)。本題答案B。訓練能力提升【訓1】 2008年高考四川卷18函數(shù)與物理圖象一物體沿固定斜面從靜止開始向下運動，經(jīng)過時間t0滑至斜面底端。已知在物體運動過程中物體所受的摩擦力恒定。若用F、v、s和E分別表示該物體所受的合力、物體的速度、位移和機械能，則下列圖象中可能正確的是EOtt0DFOtt0AsOtt0CvOtt0B【答案】AD【解析】物體在沿斜面向下滑動過程中，所受的合力為重力沿斜面向下的分力及摩擦力，故大小不變，A正確；而物體在此合力作用下作勻加速運動，v=at，s=at2，所以B、C錯；物體受摩擦力作用，總的機械能將減小，D正確Fv【訓2】 改編題函數(shù)與物理圖象 如圖所示，水平地面上放置一個質(zhì)量為m的物體，在與水平方向成角的斜向右上方的拉力F的作用下沿水平地面運動，物體與地面間的動摩擦因數(shù)為。求：（1）若物體在拉力F的作用下能始終沿水平面向右運動，拉力F的大小范圍；（2）若物體受到拉力F的作用后，從靜止開始向右做勻加速直線運動，2 s后撤去拉力，已知F100 N、m10 kg、0.5、37，撤去拉力后物體滑行的時間t；（3）已知m10 kg、0.5，若物體以恒定加速度a5 m/s2向右做勻加速直線運動，維持這一加速度的拉力F的最小值?！窘馕觥?（1）要使物體運動時不離開水平面，應有Fsinmg， 要物體能向右運動，應有Fcosm（mgFsin），所以F（2）Fcosm（mgFsin）ma1，a16 m/s2，mmgma2，a25 m/s2， va1t1a2t2，所以t22.4s（3）Fcosm（mgFsin）ma，F(xiàn)F，其中asin1，當sin（a）1時F有最小值，F(xiàn)min40N89.4N【訓3】 模擬題矢量三角形 av水v開sv合一條河寬L=60m，水速v水=4m/s，船在靜水中的開行速度v開=3m/s。（1）求小船渡河的最短時間t，這樣渡河船的位移是多少？（2）小船渡河的最小位移是多少？【解析】（1）小船渡河的運動可看作是小船在靜水中的運動與水的運動兩個運動的合成。由分運動之間互不影響，且河岸的寬度是一定的，只要小船在垂直于河岸方向的分速度越大，小船渡河的時間就越短，即當小船船頭垂直于河岸方向運動時（如圖a），時間最短：v水v開sv合b tmin=L/v開=60/3s=20s， s=v合tmin=520m=100m（2）運動的合成與分解遵循平行四邊形定則，由v開 v水，即小船不可能垂直到達對岸。只有當v開、v水兩個速度的合速度與河岸的夾角越大，則小船的實際位移越小。把代表v開的有向線段移到代表v水的有向線段端點，如圖b所示，可見：改變船頭的方向，有向線段v開的箭頭端點始終在一圓弧上。隨著船頭方向的改變，合速度的方向也隨之改變。只有當船頭的朝向與合運動的方向垂直時， 有最小值。由幾何知識可得：cos=v開/ v水=3/4，又cos=L/smin，即smin =80m?！居?】 模擬題函數(shù)與極值 一輕繩一端固定在O點，另一端拴一小球，拉起小球使輕繩水平，然后無初速度的釋放，如圖所示，小球在運動至輕繩達到豎直位置的過程中，小球所受重力的瞬時功率在何處取得最大值？ vmgABCOLT【解析】當小球運動到繩與豎直方向成角的C時，重力的功率為：P=mgvcos=mgvsin小球從水平位置到圖中C位置時，機械能守恒有：mgLcos=mv2，聯(lián)立解得：P=mg，令y=cossin2= =根據(jù)：2cos2+sin2+sin2=2(sin2+cos2)=2，由基本不等式a+b+c3，定和求積知：當且僅當2cos2 = sin2，y有最大值。由2cos2=1cos2，得：cos=。即：當cos=時，功率P有最大值。【訓5】 2008年高考四川卷24判別式與極值 如圖，一半徑為R的光滑絕緣半球面開口向下，固定在水平面上。整個空間存在勻強磁場，磁感應強度方向豎直向下。一電荷量為q（q0）、質(zhì)量為m的小球P在球面上做水平的勻速圓周運動，圓心為O。球心O到該圓周上任一