基于線性代數(shù)與差分方程方法的模型(2).pptVIP

基于線性導(dǎo)數(shù)與差分方法的模型,張文博 北京郵電大學(xué)理學(xué)院,基于線性代數(shù)與 差分方程方法的模型,電子計算機(jī)的廣泛應(yīng)用為我們處理大量信息提供了實現(xiàn)的可能，這就十分自然地提出了一個問題，對具有離散變量的實際問題直接建立一個離散模型是否更為可?。勘菊陆榻B的幾個模型就是基于這種想法建立起來的。,4.1 狀態(tài)轉(zhuǎn)移問題,所謂狀態(tài)轉(zhuǎn)移問題討論的是在一定的條件下，系統(tǒng)由一狀態(tài) 逐步轉(zhuǎn)移到另一狀態(tài)是否可能，如果可以轉(zhuǎn)移的話，應(yīng)如何 具體實現(xiàn)？,在本問題中，可采取如下方法：一物在此岸時相應(yīng)分量為1，而在彼岸時則取 為0，例如（1,0,1,0）表示人和雞在此岸，而狗和米則在對岸。,（i）可取狀態(tài)：根據(jù)題意，并非所有狀態(tài)都是允許的，例如（0,1,1,0）就是一個不可取的狀態(tài)。本題中可取狀態(tài)（即系統(tǒng)允許的狀態(tài)）可以用窮舉法列出來，它們是： 人在此岸 人在對岸 (1，1，1，1) (0，0，0，0) (1，1，1，0) (0，0，0，1) (1，1，0，1) (0，0，1，0) (1，0，1，1) (0，1，0，0) (1，0，1，0) (0，1，0，1) 總共有十個可取狀態(tài)，對一般情況，應(yīng)找出狀態(tài)為可取的充要條件。 （ii）可取運(yùn)算：狀態(tài)轉(zhuǎn)移需經(jīng)狀態(tài)運(yùn)算來實現(xiàn)。在實際問題中，擺一次渡即可改變現(xiàn)有狀態(tài)。為此也引入一個四維向量（轉(zhuǎn)移向量），用它來反映擺渡情況。例如 （1，1，0，0）表示人帶狗擺渡過河。根據(jù)題意，允許使用的轉(zhuǎn)移向量只能有（1，0，0，0，）、（1，1，0，0）、（1，0，1，0）、（1，0，0，1）四個。,規(guī)定一個狀態(tài)向量與轉(zhuǎn)移向量之間的運(yùn)算。規(guī)定狀態(tài)向量與 轉(zhuǎn)移向量之和為一新的狀態(tài)向量，其運(yùn)算為對應(yīng)分量相加， 且規(guī)定0+0=0，1+0=0+1=1，1+1=0。,在具體轉(zhuǎn)移時，只考慮由可取狀態(tài)到可取狀態(tài)的轉(zhuǎn)移。問題化為： 由初始狀態(tài)（1，1，1，1）出發(fā)，經(jīng)奇數(shù)次上述運(yùn)算轉(zhuǎn)化為（0，0，0，0）的轉(zhuǎn)移過程。,我們可以如下進(jìn)行分析 ：（第一次渡河）,（第二次渡河）,以下可繼續(xù)進(jìn)行下去，直至轉(zhuǎn)移目的實現(xiàn)。上述分析實際 上采用的是窮舉法，對于規(guī)模較大的問題是不宜采用的。,例4.2 夫妻過河問題,這一問題的狀態(tài)和運(yùn)算與前一問題有所不同，根據(jù)題意，狀態(tài)應(yīng)能反映出兩岸的男女人數(shù)，過河也同 樣要反映出性別,問題歸結(jié)為由狀態(tài) (3,3)經(jīng)奇數(shù)次可取運(yùn)算，即由可取狀態(tài)到可取狀態(tài)的轉(zhuǎn)移，轉(zhuǎn)化 為(0,0)的轉(zhuǎn)移問題。和上題一樣，我們既可以用計算機(jī)求解，也可以分析求解，此外，本題還可用作圖方法來求解。,在HW平面坐標(biāo)中，以 “”表示可取狀態(tài)， 從A(3,3)經(jīng)奇數(shù)次轉(zhuǎn)移到 達(dá)O(0,0)。奇數(shù)次轉(zhuǎn)移時向左或下移 動1-2格而落在一個可取狀態(tài)上，偶數(shù)次轉(zhuǎn)移時向右或上移 動1-2格而落在一個可取狀態(tài)上。為了區(qū)分起見 ,用紅箭線表示奇數(shù)次轉(zhuǎn)移，用藍(lán)箭線表示第偶數(shù) 次轉(zhuǎn)移,下圖給出了一種可實現(xiàn)的方案 , 故,這三對夫妻是可以過河的 。假如按這樣的方案過 河,共需經(jīng)過十一次擺渡。 不難看出 ,在上述規(guī)則下,4對夫妻就無法過河了,讀者可以自行證明之.類似可以討論船每次可載三人的情況,其結(jié)果 是5對夫妻是可以過河的,而六對以上時就 無法過河了。,4.2 密碼的設(shè)計，解碼與破譯,早期密碼,替代密碼 移位密碼 代數(shù)密碼,1.代替法密碼,明文字母表 ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ 密文字母表 KLMNOPQRSTUVWXYZABCDEFGHIJ,密鑰常用一密鑰單詞或密鑰短語生成混淆字母表。密鑰單詞 或密鑰短語可以存放在識別碼、通行字或密鑰的秘密表格中。,混合一個字母表，常見的有兩種方法，這兩種方法都采用了一個密鑰單詞或一個密鑰短語。,明文字母表 ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ 密文字母表 CONSTRUABDEFGHIJKLMPQVWXYZ,明文字母表 ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ 密文字母表 KLMPQVWXYZCONSTRUABDEFGHIJ,得： cugmyoahpznbiqsdjvrtekwrflx 按照此方法產(chǎn)生的字母表稱為 混淆字母表。,為增加保密性，在使用代替法時還可利用一些其他技巧，如單字母表對多字母表、單字母對多字母、多重代替等。,2.移位密碼體制,另一種移位 法采用將字母表中的字母平移若干位的方法來構(gòu)造密文字母表，傳說這類方法是由古羅馬皇帝凱撒最早使用的，故這種密文字母表被稱為凱撒字母表。例如，如用將字母表向右平移3位的方法來構(gòu)造密文字母表，可 得：,明文字母表： ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ 密文字母表： DEFGHIJKLMNOPQRTSUVWXYZABC,例如，對明文：THE HISTORY OF ZJU IS MORE THAN ONE HUNDRED YEARS.以7列矩陣表示如下： THEHIST ORYOFZJ UISMORE THANONE HUNDRED YEARS,再按事先約定的方式選出密文。例如，如按列選出，得到密文：touthyhrihueeysanahomndrifoorsszrnetjeed,使用不同的順序進(jìn)行編寫和選擇，可以得到各種不同的路線加密體制。對于同一明文消息矩陣，采用不同的抄寫方式，得到的密文也是不同的。,當(dāng)明文超過規(guī)定矩陣的大小時，可以另加一矩陣。當(dāng)需要加密的字母數(shù)小于矩陣大小時，可以在矩陣中留空位或以無用的字母來填滿矩陣。,例如，用密鑰單詞 construct對明文MATHEMATICAL MODELING IS USEFUL加密： CONSTRUCT 1 4 3 675 9 28 MATHEMATI CALMODELI NGISUSEFU L 按混淆數(shù)的順序選出各列，得到密文： MCNLTLFTLIAAGMDSHMSEOSIIUAEE,對竊聽到的密文進(jìn)行分析時 ，窮舉法和統(tǒng)計法是最基本的破譯方法 。,在上述兩種加密方法中字母表中的字母是一一對應(yīng)的，因此，在截獲的密文中各字母出現(xiàn)的概率提供了重要的密鑰信息。根據(jù)權(quán)威資料報道，可以 將26個英文字母按其出現(xiàn)的頻率大小較合理地分為五組：,t,a,o,i,n,s,h,r; e; d,l; c,u,m,w,f,g,y,p,b; v,k,j,x,q,z;,按頻率大小 將雙字母排列如下： th,he,in,er,an,re,ed,on,es,st,en,at,to,nt,ha,nd,ou,ea,ng,as,or,ti,is,er,it,ar,te,se,hi,of 使用最多的三字母按頻率大小排列如下： The,ing,and,her,ere,ent,tha,nth,was,eth,for,dth,統(tǒng)計的章節(jié)越長，統(tǒng)計結(jié)果就越可靠。對于只有幾個單詞的密文，統(tǒng)計是無意義的。,以上對英語統(tǒng)計的討論是在僅涉 及26個字母的假設(shè)條件下進(jìn)行的。實際上消息的構(gòu)成還包括間隔、標(biāo)點、數(shù)字等字符。總之，破譯密碼并不是件很容易的事。,2.希爾密碼,1929年，希爾利用線性代數(shù)中的矩陣運(yùn)算，打破了字符間的對應(yīng)關(guān)系，設(shè)計了一種被稱為希爾密碼的代數(shù)密碼。為了便于計算，希爾首先將字符變換成數(shù)，例如，對英文字母，我們可以作如下變換：,ABC DE FG H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 0,用矩陣A左乘各向量加密（關(guān) 于26取余）得,得到密文 JXCPI WEK,希爾密碼系統(tǒng)的解密依賴于以下幾把鑰匙 （key）：,（希爾密碼的破譯）,解： 前兩組明文字 母de和ar 對應(yīng)的二維向量是： 按同一對應(yīng)整數(shù)表，密文中對應(yīng)這兩組的二維向量是：,由此可得,，對應(yīng)上例則有,利用這一逆矩陣，可對截獲密文進(jìn)行解密，破譯出的電文是Dear Mac God forbid.,RSA公開密鑰體制,雖然只要能解密的密文，從理論上講 都是可破譯的，但如果破譯所需要 的工作量過大，要求花費(fèi)的時間過 長，以致超過了保密期限，則該密 碼系統(tǒng)應(yīng)當(dāng)被認(rèn)為是安全可靠的。,不難證明：若 p，q為兩個相異素數(shù)，n=pq，則 (n) =(p-1)(q-1) 令p,q為隨機(jī)選取的兩個大素數(shù)（大約為十進(jìn) 制100位或更大）, n=pq, n是公開的， 而p,q則是保密的。僅知道歐拉函數(shù)(n) =(p-1)(q-1)，但如果不知道因式分解就不能用這個公式計算。隨機(jī)選取一個 數(shù)e，e為小于(n)且與它互素的正整數(shù)。利用輾轉(zhuǎn)相除法，可以找到整 數(shù)d和r，使 ed+r(n) =1 即 ed 1 (mod (n),數(shù)n,e和d分別稱為模、加密密鑰和解密密鑰。 數(shù)n和e組成公開密鑰的加密密鑰，而其余的 項p,q, (n)和 d 組成了秘密陷門。很顯然，陷門信息包含了四個相關(guān)的項。,(mod n),要解密消息，取每一個加密 塊c(I)并計算 (mod n) 由公式ed 1 (mod (n) 我們有ed = 1 - r(n),因此 (mod n) 其中r為某一整數(shù)。這里利用 了歐拉定理: (n) 1(mod n)根據(jù)以上公式從密文恢復(fù)出了明文。,設(shè)使用者取 定 p=47，q=59, 則 N=pq=2773,(n)=(p-1)(q-1)=2668. 取素數(shù)e=17，顯然它與(n)互素，加密者知 道p、q的值，易得出d=157。將(e,n)=(17,2773)作為公開密鑰發(fā)布；嚴(yán)守機(jī)密的秘密密鑰是(157,2773).現(xiàn)在有人要向此使用者傳送一段（英文）明文信息，例如： I love zhejiang university 將這段文字轉(zhuǎn)換為數(shù)字，不計大小寫，每兩個詞之間為一個空格符號，空格符對應(yīng)數(shù) 字00，每個英文字母對應(yīng)表征其在字母表中位置的兩位數(shù)字，例如：A對應(yīng)01，B對應(yīng)02，Z對應(yīng)26，等等。再從頭向后，將每四位數(shù)字劃歸一組，不足時補(bǔ)充空格。如此得到以下十三組數(shù)字： 0900 1215 2205 0026 0805 1009 0114 0700 2114 0922 0518 1909 2025 每一組數(shù)字視為一個數(shù)，用公開密 鑰(17,2773)對其加以變換。,以第一個數(shù)為例，由于n=2773,比這里任何可能出現(xiàn)的四位數(shù)字均大，故只需計算每一數(shù)字在 模2773下的17次冪。我們有 900 1510 (mod 2773). 在以上整個過程中，為減少計算量應(yīng)隨時注意取模。這樣900對應(yīng)的密碼是1510。以這一方法得到的密文電碼是： 1510 0417 1524 1445 0542 2692 1684 0761 1644 2488 1787 1877 1672 解密過程與此類似，只不過使用密 鑰(157,2773)，直接計算很煩瑣，但用計算機(jī)處理這一問題卻非常簡單。 本例中將四位數(shù)字劃分為一組，是為了使每組的數(shù)字不超過n=2773. 當(dāng)使用一個很大 的n時，每次完全可以處理一個位數(shù)更多的數(shù)碼組。只要相應(yīng)的整數(shù)小于n即可。,4.3 馬氏鏈模型,隨著人類的進(jìn)化，為了揭示生命的奧秘，人們越來越注重遺傳學(xué)的研究，特別是遺傳特征的逐代傳播，已引起人們廣泛的注意。無論是人，還是動、植物都會將本身的特征遺傳給下一代，這主要是因為后代繼承了雙親的基因，形成自己的基因?qū)?，由基因又確定了后代所表現(xiàn)的特征。本節(jié)將利用數(shù)學(xué)的 馬氏鏈方法來建立相應(yīng)的遺傳模型等，并討論幾個簡單而又有趣的實例。 馬氏鏈（馬爾柯夫鏈）研究的是一類重要的隨機(jī)過程，研究對象的狀 態(tài)s(t)是不確定的，它可能 取K種 狀態(tài)si(i=1,k)之一，有時甚至可取無窮多種狀態(tài)。在建模時，時間變量也被離散化，我們希望通過建立兩個相鄰時刻研究對象取各種狀態(tài)的概率之間的聯(lián)系來研究其變化規(guī)律，故馬氏鏈研究的也是一類狀態(tài)轉(zhuǎn)移問題。,例4.6中的關(guān)系既可用一轉(zhuǎn)移矩陣表示,相應(yīng)的轉(zhuǎn)移矩陣 為：,且Sj+1=SjM,首先，任一轉(zhuǎn)移矩陣的行向量均為概率向量，即有 （1） （I , j=1,n） （2） （i=1,n） 這樣的矩陣被稱為 隨機(jī)矩陣。,常染色體遺傳模型,下面給出雙親體基因型的所有可能的結(jié)合，以及其后代形成每種基因型的概率，如 表所示。,雙親隨機(jī)結(jié)合的較一般模型相對比較復(fù)雜，這些我們僅研究一個較簡單的特例 。,（a）假設(shè)：令n=0,1,2,。 （i）設(shè)an,bn和cn分別表示第n代植物中，基因型 為AA,Aa和aa的植物占植物總數(shù)的百分比 。令x (n)為第n代植物的基因型分布：,當(dāng)n=0時,表示植物基因型的初始分布（即培育開始時的分布）,（b）建模 根據(jù)假設(shè)(ii)，先考慮第n代中的AA型。由于第n1代的AA型與AA型結(jié)合。后代全部是AA型；第n1代的Aa型與AA型結(jié)合，后代是AA型的可能性為 1/2，而 第n1代的aa型與AA型結(jié)合，后代不可能 是AA型。因此當(dāng)n=1,2時,即,類似可推出,cn=0,顯然有 （ii）第n代的分布與 第n1代的分布之間的關(guān)系是通過表5.2確定的。,(4.2),(4.3),(4.4),將（4.2）、（4.3）、（4.4）式相加，得,根據(jù)假設(shè)(I)，可遞推得出：,對于(4.2)式.(4.3)式和(4.4)式，我們采用矩陣形式簡記為,其中,（注：這里M為轉(zhuǎn)移矩陣的位置）,(4.5),由（4.5）式遞推，得,(4.6),（4.6）式給出第n代基因型的分布與初始分布的關(guān)系。 為了計算出Mn，我們將M對角化，即求出可逆矩 陣P和對角庫D，使 M=PDP-1 因而有 Mn=PDnP-1, n=1,2, 其中,這里 ， ， 是矩 陣M的三個特征值。對于 (4.5)式中的M，易求得它的特征值和特征向量： =1， =1/2， =0,因此,所以,通過計算，P-1=P，因此有,即,所以有,即在極限的情況下，培育的植物都 是AA型。 若在上述問題中，不選用基 因AA型的植物與每一植物結(jié)合，而是將具有相同基因型植物相結(jié)合，那么后代具有三種基因型的概率如 表所示。,M的特征值為,通過計算，可以解出與 、 相對應(yīng)的兩個線性無關(guān)的特征向量e1和e2，及與相對應(yīng)的特征內(nèi) 量e3：,因此,解得：,，所以,因此，如果用基因 型相同的植物培育 后代，在極限情況 下，后代僅具有基 因AA和aa。,現(xiàn)在，我們考慮在控制結(jié)合的情況下，如何確定后代中隱性患者的概率。,（b）建模 由假設(shè)（iii），從第n1代到第n代基因型分布的變化取 決于方程,所以,，其中,如果初始分 布x(0)已知，那么 第n代基因型分布為,解 將M對角化，即求出特征值及其所對應(yīng)的特征向量，得,計算,=,(4.8),，,隱性患者逐漸消失。 從(4.8)式中可知,每代隱性患者的概率是前一代隱性患者概率的1/2。,(4.9),（c）模型討論 研究在隨機(jī)結(jié)合的情況下，隱性患者的變化是很有意思的，但隨機(jī)結(jié)合導(dǎo)致了非線性化問題，超出了本章范圍，然而用其它技巧，在隨機(jī)結(jié)合的情況下可以 把（4.9）式改寫為,(4.10),（群體的近交系數(shù)） 設(shè)某群體中存在近親婚配現(xiàn)象，稱各種近交系數(shù)的數(shù)學(xué)期望為該群體的近交系數(shù)。例如，某村鎮(zhèn)共有2000對婚配關(guān)系，其中有59對表親，22對半堂親 和28對從表親，則該村鎮(zhèn)的近親系數(shù)為,現(xiàn)在，我們來研究近親結(jié) 婚會產(chǎn)生什么結(jié)果。,設(shè)某基因?qū)τ?A、a兩種基因組成，出 現(xiàn)A的概率為p，出現(xiàn)a的概率為q=1-p。在隨機(jī)交配群體中，其子女 為AA、Aa及aa型的概率分別 為p2、2pq及q2。 對近交系數(shù) 為F的群體，根據(jù)條件概率公式，后代出 現(xiàn)aa型基因?qū)Φ母怕蕿?比較存在近親交配的群體與不允許近親交配 (F=0)的群體， 令,若a為某種隱性疾病的基因，易見，在近交群體中，后代產(chǎn) 生遺傳?。╝a型）的概率增大了， 且F越大，后代患遺傳病 的概率也越大。,同樣，后代出現(xiàn)AA型基因?qū)Φ母怕?為p2+Fpq。Aa型不可能 是共同祖先同一基因的重復(fù)，故其出現(xiàn)的概率為2pq(1-F)。,例如，苯丙酮尿癥是一種隱性基因純合子 aa型疾?。╝為隱性疾病基因），隱性基因出現(xiàn)的頻率 ，求表 兄妹結(jié)婚及非近親結(jié)婚的子女中患有苯丙酮尿癥的概率。 由前，表兄妹結(jié)婚的近交系數(shù)為 1/16,故其子女發(fā)生該疾病的概率為 而對禁止近親結(jié)婚的群體，子女發(fā)生該疾病的概率為q2=10-4。表兄妹（或堂兄妹）結(jié)婚使子女發(fā)生該疾病的概率增大了大 約7.19倍，由此可見，為了提高全民族的身體素質(zhì)，近親結(jié)婚是應(yīng)當(dāng) 禁止的。,(4.11),其中,從（4.11）式中易得,經(jīng)過計算，矩陣 M的特征值和特征向量為,M對角化，則有,(4.12),其中：,即,即同胞對是(A,AA)型的概率是2/3，是(a,aa)型的概率為1/3。,根據(jù)定義3，例4.7中狀態(tài)S4即 為一吸收鏈,具有r個吸收狀態(tài)，nr個非吸收狀態(tài)的吸收鏈，它的nn轉(zhuǎn)移矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形式為,（注：非標(biāo)準(zhǔn)形式可經(jīng)對狀態(tài)重新編號 ）,其中Ir為r 階單位陣，O為rs零陣，R為sr 矩陣，S為ss矩陣。令,上式中的子陣Sn表達(dá)了以任何非吸收狀態(tài)作為初始狀態(tài)，經(jīng)過n步轉(zhuǎn)移后，處于s個非吸收狀態(tài)的概率。 在吸收鏈中，令F=(IS) -1，稱F為基矩陣。,設(shè)甲勝一題的概率 為p，（0p1），p與兩隊的實力有關(guān)。 甲隊得分有5種可能，即0，1，2，3，4。我們分別記為狀態(tài)S0，S1，S2，S3，S4，其中S0和S4是吸收狀態(tài)，a1，a2和a3是非吸收狀態(tài)。過程 以S2作為初始狀態(tài)。根據(jù)甲隊贏 得1分的概率為 p，建立轉(zhuǎn)移矩陣：,S 0 S 1 S 2 S 3 S 4,將上式改記為標(biāo)準(zhǔn)形 式T：,其中,計算 F：,令q=1-p，則,因為a2是初始狀態(tài)，根 據(jù)定理4，甲隊獲分為1，2，3分的平均次數(shù)為,=,=,根據(jù)定理5，以a2為初始狀態(tài)，甲隊最終獲勝的平均轉(zhuǎn) 移欠 數(shù)為,。又因為，,根據(jù)定理6，甲隊最后獲勝的概率,。,4.4 差分方程建模,則被稱為方程對應(yīng)的 齊次線性差分方程 。,若所有的 ai(t)均為與t無關(guān)的常數(shù)，則稱其為 常系數(shù)差分方程，即n階常系數(shù)線性差分方程可分成,（4.15）,的形式，其對應(yīng)的齊次方程為,（4.16）,也是方程（4.16）的解，其 中c1、c2為任意常數(shù)，這說明， 齊次方程的解構(gòu)成一個 線性空間（解空間）。 此規(guī)律對于（4.15）也成立。,方程（4.15）可用如下的代數(shù)方法求其通解： （步一）先求解對應(yīng)的特征方程,（4.17）,(C1,Cn為任意常數(shù)),，,為任意常數(shù)，i=1,2k。,例4.13 求解兩階差分方程,記t時段初市場上的供應(yīng)量 (即上 一時段的生產(chǎn) 量)為xt ，市場上 該商品的價格 為Pt 。商品成交的 價格是由需求曲線決定的， 即,x,但是，如果供應(yīng)曲線和需求曲線呈圖中的形狀，則平衡點M*是不穩(wěn)定的，Mt將越來越遠(yuǎn)離平衡點。,圖和圖的區(qū)別在哪里， 如何判定平衡點的穩(wěn)定 性呢？,現(xiàn)在利用差 分方程方法來研究蛛網(wǎng)模型，以驗證上述猜測是否正確。我們知道，平衡 點M*是否穩(wěn)定取決于 在M*附近供、需曲線的局部性態(tài)。為此， 用M*處供、需曲線的線性近似來代替它們，并討論此線性近似模型 中M*的穩(wěn)定性。,設(shè)供應(yīng)曲線與需求曲線的線性近似分別為,解得下一時段的商品量,（4.21） 將（4.19）式、（4.21）式代入（4.20）式，整理得,（4.19） 但t+1時段的商品量則不再為,由（4.19）式得,（4.22）,（4.22）式是一個常系數(shù)二階線性差分方程，特征方程為,其特征根為,，則,此時差分方程（4.22）是不穩(wěn)定的。,由線性差分方程穩(wěn)定的條件， 當(dāng)r2即b2a時（4.22）式是穩(wěn)定的，從 而M*是穩(wěn)定的平衡點。,再生產(chǎn)的投資水 平It取決于消費(fèi)水平的變化量，設(shè),易見，此時關(guān)系式 （4.12）成立，又若 取y0=1600，y1=1700， G=550，則由迭代公式,求得 y2=1862.5, y3=2007.8, y4=2110.3, y5=2171.2, y6=2201.2, y7=2212.15, y8=2213.22, y9=2210.3,。 易見,從表中可以看出，該商品在 前5年相同季節(jié)里的銷售量呈增長趨勢，而在同一年中銷售量先增后減，第一季度的銷售量最小而第三季度的銷售量最大。預(yù)測該商品以后的銷售情況，一種辦法是應(yīng) 用最小二乘法建立經(jīng)驗?zāi)Ｐ?。即根?jù)本例中數(shù)據(jù)的特征，可以按季度建立四個經(jīng)驗公式，分別用來預(yù)測以后各年同一季度的銷售量。例如，如認(rèn)為第一季度的銷售量大體按線性增長，可設(shè)銷售量,由,求得 a=1.3， b=9.5。 根據(jù) 預(yù)測第六年起第一季度的銷售量 為 =17.3， =18.6， 如認(rèn)為銷售量并非逐年等量增長而是按前一年或前幾年同期銷售量的一定比例增長的，則可建立相應(yīng)的差分方程模