對坐標(biāo)的曲面積分(13).ppt

一、對坐標(biāo)曲面積分的定義,第八節(jié) 對坐標(biāo)的曲面積分,二、對坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算,（第十章 第五節(jié)）,2,關(guān)于曲面,觀察以下曲面的側(cè) (假設(shè)曲面是光滑的),曲面分上側(cè)和下側(cè),曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè),典型雙側(cè)曲面,曲面的分類:,1.雙側(cè)曲面;,2.單側(cè)曲面.,3,莫比烏斯帶,典型單側(cè)曲面:,決定了側(cè)的曲面稱為有向曲面.,曲面法向量的指向決定曲面的側(cè).,內(nèi)側(cè)與外側(cè),左側(cè)與右側(cè),下側(cè)與上側(cè),前側(cè)與后側(cè),5,有向曲面的投影問題:,（上側(cè)）,（下側(cè)）,（法向量垂直于z軸）,若在有向曲面上取一小塊曲面,6,一、對坐標(biāo)的曲面積分定義,實(shí)例: 計(jì)算流向曲面一側(cè)的流量.,斜柱體的體積,求單位時間流過A的流體的質(zhì)量,(假定密度為1).,1.設(shè)流速場為常向量,有向平面區(qū)域?yàn)锳,7,2.設(shè)穩(wěn)定流動的不可壓縮流體(假定密度,為1的速度場由向量函數(shù),給出,是速度場中的一片有向曲面,函數(shù),都在上連續(xù), 求在單位時間內(nèi)流向指,定側(cè)的流體的質(zhì)量,在曲面上取一小塊,利用元素法計(jì)算,記為另一種形式,對坐標(biāo)的曲面積分.,流量微元,故流體流向指定一側(cè)的流量為,對面積的曲面積分,對坐標(biāo)曲面積分的定義,定義 設(shè)為光滑的有向曲面, 函數(shù)P,Q,R在,上有界，,注:,(1) 當(dāng),在有向光滑曲面上連續(xù)時,對坐標(biāo)的曲面積分存在.,（2）當(dāng)為封閉曲面時，記為,（3）向量形式,其中,稱為有向曲面元,流體流向指定一側(cè)的流量為,或,(4)對坐標(biāo)的積分具有方向性,性質(zhì):,區(qū)域可加性,線性性,二、 計(jì)算法,被積函數(shù),在上連續(xù).,上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),為,下側(cè),下側(cè),對坐標(biāo)的曲面積分,必須注意曲面所取的側(cè).,上側(cè)取“+”,下側(cè)取“ ”,前側(cè)取“+”,后側(cè)取“ ”,右側(cè)取“+”,左側(cè)取“ ”,解,下側(cè),上側(cè),同理，得,故原積分,注,把三個積分合并,只向一個坐標(biāo)面投影,轉(zhuǎn)換公式,下側(cè),把兩個積分合并, 只向坐標(biāo)面xoy投影,分析,解,把兩個積分合并,只向坐標(biāo)面xoy投影,下側(cè),小 結(jié),一、對坐標(biāo)（第二類）曲面積分的定義,兩類曲面積分的聯(lián)系,指定側(cè)的法向量,稱為有向曲面元,向量形式,其中,二、計(jì)算方法,上側(cè)取“+”,下側(cè)取“ ”,前側(cè)取“+”,后側(cè)取“ ”,右側(cè)取“+”,左側(cè)取“ ”,思考題,思考題解答,此時 的左側(cè)為負(fù)側(cè)