2018_2019學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章推理與證明2.1.1第2課時類比推理學(xué)案蘇教版.docx

第2課時類比推理學(xué)習(xí)目標1.了解類比推理的含義、特征，能利用類比進行簡單的推理.2.能正確區(qū)別歸納推理與類比推理的不同點，了解合情推理的合理性知識點一類比推理思考科學(xué)家對火星進行研究，發(fā)現(xiàn)火星與地球有許多類似的特征：(1)火星也是繞太陽公轉(zhuǎn)、繞軸自轉(zhuǎn)的行星；(2)有大氣層，在一年中也有季節(jié)更替；(3)火星上大部分時間的溫度適合地球上某些已知生物的生存等由此，科學(xué)家猜想：火星上也可能有生命存在他們使用了什么樣的推理？答案類比推理梳理(1)類比推理的定義根據(jù)兩個(或兩類)對象之間在某些方面的相似或相同，推演出它們在其他方面也相似或相同，像這樣的推理通常稱為類比推理，簡稱類比法(2)類比推理的思維過程大致如圖(3)特征：由特殊到特殊的推理知識點二合情推理思考1歸納推理與類比推理有何區(qū)別與聯(lián)系？答案區(qū)別：歸納推理是由特殊到一般的推理；而類比推理是由個別到個別的推理或是由特殊到特殊的推理聯(lián)系：在前提為真時，歸納推理與類比推理的結(jié)論都可真可假思考2歸納推理和類比推理的結(jié)論一定正確嗎？答案不一定正確梳理(1)合情推理的含義合情推理是根據(jù)已有的事實、正確的結(jié)論、實驗和實踐的結(jié)果，以及個人的經(jīng)驗和直覺等推測某些結(jié)果的推理過程歸納推理和類比推理都是數(shù)學(xué)活動中常用的合情推理(2)合情推理的過程1由合情推理得出的結(jié)論一定是正確的()2合情推理必須有前提有結(jié)論()3類比推理不能猜想()類型一數(shù)列中的類比推理例1設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，則S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差數(shù)列，類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列bn的前n項積為Tn，則T4，_，_，成等比數(shù)列答案解析由于等差數(shù)列與等比數(shù)列具有類比性，且等差數(shù)列與和差有關(guān)，等比數(shù)列與積商有關(guān)，因此當?shù)炔顢?shù)列依次每4項的和仍成等差數(shù)列時，類比等比數(shù)列為依次每4項的積成等比數(shù)列下面證明該結(jié)論的正確性：設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q，首項為b1，則T4bq6，T8bq127bq28，T12bq1211bq66，T16bq1215bq120，bq22，bq38，bq54，即2T4，2，故T4，成等比數(shù)列反思與感悟已知等差數(shù)列與等比數(shù)列有類似的性質(zhì)，在類比過程中也有一些規(guī)律，如下表所示的部分結(jié)論(其中d，q分別是公差和公比，m，n，p，rN*)：等差數(shù)列等比數(shù)列定義anan1d(n2)anan1q(n2)通項公式ana1(n1)dana1qn1性質(zhì)若mnpr，則amanapar若mnpr，則amanapar跟蹤訓(xùn)練1若數(shù)列an(nN*)是等差數(shù)列，則有數(shù)列bn(nN*)也是等差數(shù)列；類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：若數(shù)列cn(nN*)是等比數(shù)列，且cn0，則有數(shù)列dn_(nN*)也是等比數(shù)列答案解析數(shù)列an(nN*)是等差數(shù)列，則有數(shù)列bn(nN*)也是等差數(shù)列類比猜想：若數(shù)列cn(nN*)是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，則當dn(nN*)時，數(shù)列dn也是等比數(shù)列類型二幾何中的類比推理例2如圖，在RtABC中，C90.設(shè)a，b，c分別表示三條邊的長度，由勾股定理，得c2a2b2.類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理，試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想解如題圖，在RtABC中，C90.設(shè)a，b，c分別表示3條邊的長度，由勾股定理，得c2a2b2.類似地，如圖所示，在四面體PDEF中，PDFPDEEDF90.設(shè)S1，S2，S3和S分別表示PDF，PDE，EDF和PEF的面積，相對于直角三角形的兩條直角邊a，b和1條斜邊c，圖中的四面體有3個“直角面”S1，S2，S3和1個“斜面”S.于是類比勾股定理的結(jié)構(gòu)，我們猜想S2SSS成立反思與感悟(1)類比推理的基本原則是根據(jù)當前問題的需要，選擇適當?shù)念惐葘ο螅梢詮膸缀卧氐臄?shù)目、位置關(guān)系、度量等方面入手由平面中相關(guān)結(jié)論可以類比得到空間中的相關(guān)結(jié)論(2)中學(xué)階段常見的類比知識點：等差數(shù)列與等比數(shù)列，空間與平面，圓與球等等，比如平面幾何的相關(guān)結(jié)論類比到立體幾何的相關(guān)類比點如下：平面圖形空間圖形點直線直線平面邊長面積面積體積三角形四面體線線角面面角跟蹤訓(xùn)練2在長方形ABCD中，對角線AC與兩鄰邊所成的角分別為，cos2cos21，則在立體幾何中，給出類比猜想解在長方形ABCD中，cos2cos2221.于是類比到長方體中，猜想其體對角線與共頂點的三條棱所成的角分別為，則cos2cos2cos21.類型三合情推理的應(yīng)用例3我們已經(jīng)學(xué)過了等差數(shù)列，思考一下有沒有等和數(shù)列呢？(1)類比“等差數(shù)列”給出“等和數(shù)列”的定義；(2)探索等和數(shù)列an的奇數(shù)項和偶數(shù)項各有什么特點，并加以說明；(3)在等和數(shù)列an中，如果a1a，a2b，求它的前n項和Sn.解(1)如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的和等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等和數(shù)列(2)由(1)知anan1an1an2，所以an2an.所以等和數(shù)列的奇數(shù)項相等，偶數(shù)項也相等(3)當n為奇數(shù)時，令n2k1，kN*，則SnS2k1S2k2a2k1(ab)a(ab)aab；當n為偶數(shù)時，令n2k，kN*，則SnS2kk(ab)(ab)所以它的前n項和Sn反思與感悟定義類比應(yīng)用問題是?？疾榈念}型，通過對某種概念的定義及性質(zhì)的理解，類比出其他相似概念的定義和性質(zhì)，很好地考查學(xué)生類比應(yīng)用的能力，其解決的關(guān)鍵在于弄清兩個概念的相似性和相異性跟蹤訓(xùn)練3定義“等積數(shù)列”：在一個數(shù)列中，從第二項起每一項與它前一項的積都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等積數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公積已知數(shù)列an是等積數(shù)列，且a12，公積為6，求這個數(shù)列的前n項和Sn.解由定義，得an前n項和Sn1由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運算法則：“mnnm”類比得到“abba”；“(mn)tmtnt”類比得到“(ab)cacbc”；“t0，mtntmn”類比得到“c0，acbcab”；“|mn|m|n|”類比得到“|ab|a|b|”以上類比得到的正確結(jié)論的序號是_答案2下列平面圖形中，與空間的平行六面體作為類比對象較合適的是_(填序號)三角形；梯形；平行四邊形；矩形答案解析因為平行六面體相對的兩個面互相平行，類比平面圖形，則相對的兩條邊互相平行3在平面上，若兩個正三角形的邊長的比為12，則它們的面積比為14，類似地，在空間上，若兩個正四面體的棱長的比為12，則它們的體積比為_答案18解析設(shè)兩個正四面體的體積分別為V1，V2，則V1V2S1h1S2h2S1h1S2h218.4已知bn為等比數(shù)列，b52，則b1b2b3b929.若an為等差數(shù)列，a52，則類似結(jié)論為_答案a1a2a929解析等比數(shù)列中的積運算類比等差數(shù)列中的和運算，從而有a1a2a929.5三角形的面積為S(abc)r，a，b，c為三角形的邊長，r為三角形內(nèi)切圓的半徑，利用類比推理可以得到四面體的體積為_答案(S1S2S3S4)r(S1，S2，S3，S4為四個面的面積，r為內(nèi)切球的半徑)解析ABC的內(nèi)心為O，連結(jié)OA，OB，OC，將ABC分割為三個小三角形，這三個小三角形的高都是r，底邊長分別為a，b，c.類比：設(shè)四面體ABCD的內(nèi)切球球心為O，半徑為r，連結(jié)OA，OB，OC，OD，將四面體分割為四個以O(shè)為頂點，以原來面為底面的四面體，高都為r，所以V(S1S2S3S4)r.1在進行類比推理時，要盡量從本質(zhì)上思考，不要被表面現(xiàn)象所迷惑，否則，只抓住一點表面的相似甚至假象就去類比，就會犯機械類比的錯誤2提高所得結(jié)論的準確性的常用技巧(1)類比對象的共同屬性或相似屬性盡可能的多些(2)這些共同屬性或相似屬性應(yīng)是類比對象的主要屬性(3)這些共同(相似)屬性應(yīng)包括類比對象的各個方面，并盡可能是多方面.一、填空題1下列幾種推理是類比推理的是_(填序號)內(nèi)錯角相等，兩直線平行；由平面三角形的性質(zhì)，猜想空間四面體的性質(zhì)；由數(shù)列的前幾項，猜想數(shù)列的通項公式答案解析由類比推理的定義，得只有為類比推理2“若直角三角形兩直角邊的長分別為a，b，將其補成一個矩形，則根據(jù)矩形的對角線長可求得該直角三角形外接圓的半徑r”對于“若三棱錐三條側(cè)棱兩兩垂直，側(cè)棱長分別為a，b，c”，類比上述處理方法，可得該三棱錐的外接球的半徑R_.答案解析由求直角三角形外接圓的半徑的方法，通過類比得出求三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐外接球的半徑的方法為：首先將該三棱錐補全為長方體，而長方體的體對角線長就是三棱錐的外接球的直徑，從而得出該三棱錐的外接球的半徑R.3已知扇形的弧長為l，半徑為r，類比三角形的面積公式S，可推知扇形面積公式S扇_.考點類比推理的應(yīng)用題點平面曲線的類比答案解析扇形的弧類比三角形的底邊，扇形的半徑類比三角形的高，則S扇.4已知tan且tanx是以為周期的周期函數(shù)若a0，且f(xa)，通過類比，f(x)是以_為周期的周期函數(shù)答案4a(答案不唯一)解析類比tan與f(xa)可知，與a對應(yīng)而tanx是以4為周期的周期函數(shù)，所以猜想f(x)應(yīng)是以T4a為周期的周期函數(shù)事實上f(x2a).所以f(x4a)f(x)故此類比猜想正確5已知圓的方程是x2y2r2，則經(jīng)過圓上一點M(x0，y0)的切線方程為x0xy0yr2.類比上述性質(zhì)，可以得到橢圓1(ab0)類比的性質(zhì)為_.答案經(jīng)過橢圓1(ab0)上一點M(x0，y0)的切線方程為1解析已知圓的性質(zhì)中，經(jīng)過圓上一點M(x0，y0)的切線方程，就是將圓的方程中的一個x與y分別用點M(x0，y0)的橫坐標與縱坐標替換的結(jié)果經(jīng)類比猜想，即可得橢圓1(ab0)類似的性質(zhì)為：經(jīng)過橢圓1(ab0)上一點M(x0，y0)的切線方程為1.6類比平面向量基本定理：“如果e1，e2是平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么對于平面內(nèi)任一向量a，有且只有一對實數(shù)1，2，使得a1e12e2.”試寫出空間向量基本定理：_.答案如果e1，e2，e3是空間中不共面的向量，那么對空間中的任一向量a，有且只有一組實數(shù)1，2，3，使得a1e12e23e37已知正三角形內(nèi)切圓的半徑是高的，把這個結(jié)論推廣到空間正四面體，類似的結(jié)論是_答案正四面體的內(nèi)切球的半徑是高的解析原問題的解法為等面積法，即正三角形的面積Sah3arrh.類比，用等體積法，VSh4rSrh.8半徑為r的圓的面積S(r)r2，周長C(r)2r，若將r看作(0，)上的變量，則(r2)2r，式可以用語言敘述為：圓的面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于圓的周長函數(shù)對于半徑為R的球，若將R看作(0，)上的變量，請你寫出類似于的式子：_，式可以用語言敘述為：_.答案4R2球的體積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于球的表面積函數(shù)解析通過給出的兩個量之間的關(guān)系，類比球的體積公式和球的表面積公式，我們不難發(fā)現(xiàn)4R2，從而使問題解決9在平面中ABC的角C的內(nèi)角平分線CE分ABC的面積所成的比，將這個結(jié)論類比到空間：在三棱錐ABCD中，平面DEC平分二面角ACDB且與AB交于E，則類比的結(jié)論為_答案解析平面中的面積類比到空間為體積，故類比成.平面中的線段長類比到空間為面積，故類比成，故有.10由圖1有面積關(guān)系：，則由圖2有體積關(guān)系：_.答案解析設(shè)點A，D到平面PBC的距離分別為h1，h2，則且VPABCSPBCh1，VPDEFSPEFh2，所以11下列類比推理中正確的個數(shù)是_(ab)nanbn與(ab)n類比，則有(ab)nanbn；logm(xy)logmxlogmy與sin(ab)類比，則有sin(ab)sinab；(ab)2a22abb2與(ab)2類比，則有(ab)2a22abb2.答案1解析對于，令ab1，n2，則(ab)n4，anbn2，(ab)nanbn，故錯誤；對于，令a0，b30，則sin(ab)，sinab0，sin(ab)sinab，故錯誤；對于，由平面向量的知識可知，顯然正確二、解答題12已知：等差數(shù)列an的公差為d，前n項和為Sn，有如下的性質(zhì)：(1)通項anam(nm)d.(2)若mnpt，且m，n，p，tN*，則amanapat.(3)若mn2p，且m，n，pN*，則aman2ap.類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列bn中，寫出相類似的性質(zhì)解設(shè)等比數(shù)列bn中，公比為q，前n項和為Tn.(1)通項bnbmqnm.(2)若mnpt，且m，n，p，tN*，則bmbnbpbt.(3)若mn2p，且m，n，pN*，則bbmbn.13已知命題：若數(shù)列an為等差數(shù)列，且ama，anb(mn，m，nN*)，則amn.現(xiàn)已知等比數(shù)列bn，類比等差數(shù)列，寫出相似的性質(zhì)解等差數(shù)列的通項an與項數(shù)n是一次函數(shù)關(guān)系，等比數(shù)列的通項bn與項數(shù)n是指數(shù)型函數(shù)關(guān)系利用類比可得bmn.三、探究與拓展14若等差數(shù)列an的首項為a1，公差為d，前n項和為Sn，則數(shù)列為等差數(shù)列，且通項為a1(n1)，類似地，請完成下列命題：若各項均為正數(shù)的等比數(shù)列bn的首項為b1，公比為q，前n項的積為Tn，則_答案數(shù)列為等比數(shù)列，且通項為b1()n1解