隱函數(shù)組概念隱函數(shù)組定理反函數(shù)組與坐標(biāo)變換.ppt

2 隱函數(shù)組,隱函數(shù)組概念 隱函數(shù)組定理 反函數(shù)組與坐標(biāo)變換,一、隱函數(shù)組概念,隱函數(shù)存在定理還可以推廣到方程組的情形.,以兩個(gè)方程確定兩個(gè)隱函數(shù)的情況為例 ,例如, 方程組,隱函數(shù)組在 D 上成立恒等式：,二、隱函數(shù)組定理,其中,稱為F、G 的雅可比( Jacobi )行列式.,例. 設(shè),解:,方程組兩邊對(duì) x 求導(dǎo)，并移項(xiàng)得,求,由題設(shè),故有,類似地可計(jì)算:,答案:,三、反函數(shù)組與坐標(biāo)變換,設(shè)函數(shù)組,是定義在 x y 平面點(diǎn)集 B 上的兩個(gè)函數(shù)，其值域?yàn)?若對(duì)每一點(diǎn),都有唯一確定的點(diǎn),與 u , v 一起滿足方程組，由此產(chǎn)生,上的一個(gè)函數(shù)組：,稱方程組為方程組的反函數(shù)組.,它們滿足：,定義在,反函數(shù)組的存在性問題，是隱函數(shù)組存在性,反函數(shù)組的存在性問題，是隱函數(shù)組存在性,應(yīng)用定理 18.4 ，可得下述定理：,問題的一種特殊情形，將方程組改寫成,反函數(shù)組的存在性,例2: 直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)之間的坐標(biāo)變換公式為,所以，除原點(diǎn)外,由于,從而，除原點(diǎn)外，在一切點(diǎn)上由函數(shù)組：,可確定一反函數(shù)組：,例3: 直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)之間的坐標(biāo)變換公式為,由于,所以，在,即除去 z 軸上的一切點(diǎn)，,方程組,可確定一反函數(shù)組：,例. 設(shè)函數(shù),在點(diǎn)(u,v) 的某一,1) 證明函數(shù)組,( x, y) 的某一鄰域內(nèi),2) 求,解: 1) 令,對(duì) x , y 的偏導(dǎo)數(shù).,在與點(diǎn) (u, v) 對(duì)應(yīng)的點(diǎn),鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),且,唯一確定一組單值、連續(xù)且具有,連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的反函數(shù),式兩邊對(duì) x 求導(dǎo), 得,則有,由定理 3 可知結(jié)論 1) 成立.,2) 求反函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).,從方程組解得,同理, 式兩邊對(duì) y 求導(dǎo), 可得,從方程組解得,同理, 式兩邊對(duì) y 求導(dǎo), 可得,例: 計(jì)算極坐標(biāo)變換,的反變換的導(dǎo)數(shù) .,同樣有,所以,由于,內(nèi)容小結(jié),1. 隱函數(shù)( 組) 存在定理,2. 隱函數(shù) ( 組) 求導(dǎo)方法,方法1. 利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接計(jì)算 ;,方法2. 利用微分形式不變性 ;,方法3. 代公式,思考與練習(xí),設(shè),求,提示:,解法2. 利用全微分形式不變性同時(shí)求出各偏導(dǎo)數(shù).,由d y, d z 的系數(shù)即可得,備用題,分別由下列兩式確定 :,又函數(shù),有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù) ,1. 設(shè),解: 兩個(gè)隱函數(shù)方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo), 得,(2001考研),解得,因此,2. 設(shè),是由方程,和,所確定的函數(shù) , 求,解法1 分別在各