2019版 第1部分 專題1 第2講　解三角形

第2講解三角形高考統(tǒng)計定方向熱點題型真題統(tǒng)計題型1：利用正、余弦定理解三角形2019全國卷T17；2019全國卷T16；2019全國卷T9；2019全國卷T17；2019全國卷T17；2019全國卷T17；2019全國卷T17；2019全國卷T13題型2：與三角形有關(guān)的最值范圍問題2019全國卷T16；2019全國卷T16題型3：與解三角形有關(guān)的交匯問題2019全國卷T8；2019全國卷T17命題規(guī)律分析近五年全國卷發(fā)現(xiàn)高考命題有以下規(guī)律：1.解三角形是每年必考題，重點考查正弦定理、余弦定理以及三角形的面積公式的應(yīng)用.2.解三角形常與三角恒等變換、平面幾何圖形、向量等知識交匯命題.3.若以解答題形式出現(xiàn)主要是考查三角函數(shù)與解三角形的綜合問題，一般位于第17題.題型1利用正、余弦定理解三角形(對應(yīng)學(xué)生用書第13頁)核心知識儲備1正弦定理及其變形在ABC中，2R(R為ABC外接圓的半徑)變形：a2Rsin A，sin A，abcsin Asin Bsin C等2余弦定理及其變形在ABC中，a2b2c22bccos A；變形：b2c2a22bccos A，cos A，a2(bc)22bc(1cos A)3三角形面積公式SABCabsin Cbcsin Aacsin B高考考法示例【例1】(1)(2019全國卷)在ABC中，cos，BC1，AC5，則AB()A4BCD2(2)在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若c2a，bsin Basin Aasin C，則sin B()ABCD(3)(2019全國卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2cos C(acos Bbcos A)c.求C；若c，ABC的面積為，求ABC的周長(1)A(2)A(1)因為cos C2cos2121，所以由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcos C25125132，所以AB4，故選A(2)由bsin Basin Aasin C及正弦定理可得b2a2ac，即b2a2ac，c2a，a2c2b2a24a2a2a2a3a2，故cos B，又0B，sin B.故選A(3)解2cos C(acos Bbcos A)c，由正弦定理得：2cos C(sin A cos Bsin B cos A)sin C，即2cos C sin(AB)sin C，ABC，A，B，C(0，)，sin(AB)sin C0，2cos C1，cos C，C(0，)，C.由余弦定理得：c2a2b22abcos C，7a2b22ab，(ab)23ab7，Sabsin Cab，ab6，(ab)2187，ab5.ABC周長為abc5.方法歸納1關(guān)于解三角形問題，一般要用到三角形的內(nèi)角和定理，正、余弦定理及有關(guān)三角形的性質(zhì)，常見的三角變換方法和原則都適用，只是角的范圍受到了限制同時要注意“三統(tǒng)一”，即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”，這是使問題獲得解決的突破口2在三角形中，正、余弦定理可以實現(xiàn)邊角互化，尤其在余弦定理a2b2c22bccos A中，有a2c2和ac兩項，二者的關(guān)系a2c2(ac)22ac經(jīng)常用到3對于含有ab，ab及a2b2的等式，求其中一個的范圍時，可利用基本不等式轉(zhuǎn)化為以該量為變量的不等式求解4三角形形狀判斷的兩種思路：一是化角為邊；二是化邊為角注意：已知兩邊和其中一邊的對角，利用余弦定理求第三邊時，應(yīng)注意檢驗，否則易產(chǎn)生增根對點即時訓(xùn)練1在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若acos Abcos B，則ABC為()A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形D由題得sin Acos Asin Bcos B，sin 2Asin 2B，sin 2Asin 2B，02A2，02B2，sin 2Asin 2B，2A2B或2A2B，AB，或AB，ABC是等腰三角形或直角三角形. 故選D2(2019全國卷)在平面四邊形ABCD中，ADC90，A45，AB2，BD5.(1)求cosADB；(2)若DC2，求BC解(1)在ABD中，由正弦定理得.由題設(shè)知，所以sinADB.由題設(shè)知，ADB90，所以cosADB.(2)由題設(shè)及(1)知，cosBDCsinADB.在BCD中，由余弦定理得BC2BD2DC22BDDCcosBDC25825225.所以BC5.題型2與三角形有關(guān)的最值(范圍)問題(對應(yīng)學(xué)生用書第14頁)核心知識儲備1ABC中的常見的不等關(guān)系(1)內(nèi)角A，B，C 滿足：ABC，0A，B，C；(2)三邊a，b，c滿足：bcabc；(3)三角形中大邊對大角等2函數(shù)ysin x(或ycos x)的有界性、單調(diào)性、在區(qū)間a，b上的值域的求法等3不等式：a2b22ab，ab等高考考法示例角度一長度的最值(范圍)問題【例21】(2019石家莊一模)在ABC中，AB2，C，則ACBC的最大值為( )A B2 C3 D4D由正弦定理，得4，又AB，ACBC4sin B4sin A4sin B4sin4sin B42cos B10sin B4sin.故當(dāng)B時， ACBC的最大值為4.故選D【教師備選】(2019安慶二模)在銳角ABC中，A2B，則的取值范圍是( )A(1,3)B(1,3)C(，)D(1,2)D34sin2B，因為ABC是銳角三角形，所以得Bsin2 B .所以34sin2 B(1,2)故選D角度二面積的最值(范圍)問題【例22】在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知abcos Ccsin B(1)求B；(2)若b2，求ABC面積的最大值解(1)由題意及正弦定理得sin Asin Bcos Csin Csin B ， 又A(BC)，故sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C ，由，和C(0，)得sin Bcos B，又B(0，)，所以B.(2)ABC的面積Sacsin Bac.由已知及余弦定理得4a2c22accos .又a2c22ac，故ac，當(dāng)且僅當(dāng)ac時，等號成立因此ABC面積的最大值為1.【教師備選】在ABC中，ABAC，D為AC中點，BD1，則ABC面積的最大值為_在ABD中，由余弦定理得cos A，則sin A， 所以ABC的面積為Sb2sin Ab2，所以ABC的面積的最大值為.方法歸納與三角形有關(guān)的最值(范圍)問題的求解策略與三角形有關(guān)的最值(范圍)問題一般涉及三角形的角度、邊長、面積、周長等的最大、最小問題.常見求解策略如下：策略一：可選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)將問題轉(zhuǎn)化為三角形函數(shù)的問題處理，解題中要借助于正弦定理、余弦定理等工具將邊角問題統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為形如yAsin(x)(或yAcos(x)的函數(shù)的最值問題，然后根據(jù)參數(shù)的范圍求解.策略二：借助正余弦定理，化角的正余弦函數(shù)為邊，然后借助均值不等式對含有a2b2，ab，ab的等式求最值.對點即時訓(xùn)練1在銳角ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足(ab)(sin Asin B)(cb)sin C若a，則b2c2的取值范圍是()A(3,6B(3,5)C(5,6D5,6C由(ab)(sin Asin B)(cb)sin C及正弦定理可得，(ab)(ab)(cb)c，即b2c2a2bc，cos A，又A，A，2，b2c24(sin2 Bsin2 C)4sin2 Bsin2(AB)4sin 2Bcos 2B42sin4.ABC是銳角三角形，B，2B，sin1，5b2c26.故選C2在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，點D滿足2，若B，AD3，則2ac的最大值為_6在ABC中，如圖所示，由點D滿足2，點D在BC的延長線上且|2|，由余弦定理得c2(2a)222accos 32，(2ac)2932ac.2ac，(2ac)29(2ac)2，即(2ac)236，2ac6，當(dāng)且僅當(dāng)2ac，即a，c3時，2ac取得最大值，最大值為6.題型3與解三角形有關(guān)的交匯問題(對應(yīng)學(xué)生用書第15頁)核心知識儲備解三角形的問題常以平面幾何圖形、平面向量等知識為載體，體現(xiàn)知識交匯命題的特點，題設(shè)條件常涉及有關(guān)的幾何元素：如角平分線、中線、高、三角形的內(nèi)切圓等其中角平分線問題的求解要注意三個方面：(1)對稱性，(2)角平分線定理，(3)三角形的面積；中線問題的求解，注意鄰角的互補關(guān)系高考考法示例【例3】(1)在ABC中，角A，B，C所對邊的邊長分別為a，b，c，若|3，6，則ABC面積的最大值為_(2)如圖215，在四邊形ABCD中，DAB，ADAB23，BD，ABBC圖215求sinABD的值；若BCD，求CD的長(1)因為|3，所以|AB|3，又因為6，所以abcos C6，cos C由余弦定理得9a2b22abcos Ca2b2122ab12.ab.所以Sabsin Cabab.故面積的最大值為.(2)解ADAB23，可設(shè)AD2k，AB3k.又BD，DAB.由余弦定理，得()2(3k)2(2k)223k2kcos ，解得k1，AD2，AB3，sinABD.ABBC，cosDBCsinABD，sinDBC，CD.【教師備選】(1)在ABC中，|3，則ABC面積的最大值為( )ABCD3(2)(2019湖北八校聯(lián)考)如圖216，在平面四邊形ABCD中，ABAD，AB1，AC，ABC，ACD.圖216求sinBAC；求DC的長(1)B設(shè)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，|3，bccos Aa3.又cos A11，cos A，0b，所以B角一定是銳角，所以B.再由，sin C，C或C，當(dāng)C，A，a2，當(dāng)C，為等腰三角形，所以a1，選C5(2019甘肅診斷性考試)設(shè)ABC的面積為S，若1，tan A2，則S()A1B2CDA若1，即bccos A1，tan A2cos Abc，s