8圓內(nèi)接正多邊形

8圓內(nèi)接正多邊形關(guān)鍵問答正n邊形的中心角是多少度？連接正六邊形的中心和任意兩個相鄰頂點得到的三角形是一個什么樣的三角形？解決與圓內(nèi)接正多邊形的有關(guān)計算題，應(yīng)如何添加輔助線？1.2019株洲下列圓的內(nèi)接正多邊形中，一條邊所對的圓心角最大的圖形是()A正三角形 B正方形 C正五邊形 D正六邊形2利用等分圓的方法可以作正多邊形，下列只利用直尺和圓規(guī)不能作出的多邊形是()A正三角形 B正方形 C正六邊形 D正七邊形3已知正六邊形的半徑為r，則它的邊長、邊心距、面積分別為()A.r，r，r2 Br，2r2 C.r，r，r2 Dr，r24如圖381，正三角形ABC內(nèi)接于O，若AB2 cm，求O的半徑圖381命題點 1正多邊形的畫法熱度：87%5如圖382，要在一個圓形紙板上截出一個面積最大的正方形，試用尺規(guī)作出這個正方形(不要求寫作法，保留作圖痕跡)圖3826.如圖383，已知O和O上的一點A，作O的內(nèi)接正六邊形ABCDEF.圖383解題突破正六邊形的半徑與其外接圓的半徑有什么關(guān)系？命題點 2與圓內(nèi)接正多邊形有關(guān)的計算熱度：81%7如圖384，正六邊形DEFGHI的頂點分別在等邊三角形ABC的各邊上，則的值為()圖384A. B. C. D.解題突破根據(jù)正六邊形的每一個內(nèi)角是120得到ADI是什么三角形？得到的值是多少？8.如圖385，正五邊形ABCDE內(nèi)接于O，過點A的切線與CB的延長線相交于點F，則F的度數(shù)是()圖385A18 B36 C54 D72解題突破連接OA，OB, 你能求出AOB, BAF, ABF的度數(shù)嗎？92019達州以半徑為2的圓的內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊心距為三邊作三角形，則該三角形的面積是()A. B. C. D.10.如圖386，A，B，C在O上，AB是O內(nèi)接正六邊形的一邊，BC是O內(nèi)接正十邊形的一邊，若AC是O內(nèi)接正n邊形的一邊，則n等于()圖386A12 B15 C18 D20解題突破連接OA，OC，OB，你能求出AOC的度數(shù)嗎？11.2019玉林如圖387，正六邊形ABCDEF的邊長是64 ，點O1，O2分別是ABF，CDE的內(nèi)心，則O1O2_圖387方法點撥解決正六邊形問題，往往需要作輔助線將其轉(zhuǎn)換為三角形問題進行求解.命題點 3與圓內(nèi)接正多邊形有關(guān)的證明熱度：80%12如圖388，已知O的內(nèi)接正十邊形ABCD，AD與OB，OC分別交于點M，N.圖388求證：(1)MNBC；(2)MNBCOB.13.如圖389，在O的內(nèi)接等腰三角形ABC中，ABAC，弦BD，CE分別平分ABC，ACB，BEBC.(1)求證：五邊形AEBCD是正五邊形；(2)若BD，CE相交于點F，試判斷四邊形AEFD的形狀，并證明你的結(jié)論圖389知識鏈接(1)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；(2)各邊相等，各角相等的五邊形是正五邊形.命題點 4與正多邊形有關(guān)的實際應(yīng)用熱度：79%14.如圖3810是一個寶塔，它的地基邊緣是周長為26 m的正五邊形ABCDE(如圖3810)，點O為中心(1)求地基的中心到邊緣的距離(結(jié)果精確到0.1 m)；(2)已知塔的墻體寬1 m，現(xiàn)要在塔的底層中心建一圓形底座的塑像，并且留出最窄處為1.6 m的觀光通道，則塑像底座的半徑最大是多少？圖3810模型建立從實際問題中建立正多邊形模型，并構(gòu)造直角三角形，借助三角函數(shù)進行計算.15.如圖3811，正三角形ABC、正方形ABCD、正五邊形ABCDE分別是O的內(nèi)接三角形、內(nèi)接四邊形、內(nèi)接五邊形，點M，N分別從點B，C開始，以相同的速度在O上做逆時針運動，AM與BN交于點P.(1)求圖中APB的度數(shù)(2)圖中APB的度數(shù)是_，圖中APB的度數(shù)是_(3)根據(jù)前面的探索，你能否由本題推出一般的正n邊形的情況？若能，請寫出你的結(jié)論；若不能，請說明理由圖3811方法點撥從特殊到一般發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再從一般到特殊驗證規(guī)律.16.盼盼同學(xué)在學(xué)習(xí)正多邊形時，發(fā)現(xiàn)了以下一組有趣的結(jié)論：(1)若P是正三角形ABC的外接圓上的一點，則PBPCPA；(2)若P是正四邊形ABCD的外接圓上的一點，則PBPDPA；(3)若P是正五邊形ABCDE的外接圓上的一點，請問PBPE與PA有怎樣的數(shù)量關(guān)系，寫出結(jié)論，并加以證明；(4)若P是正n邊形A1A2A3An的外接圓上的一點，請問PA2PAn與PA1又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，寫出結(jié)論，不要求證明圖3812方法點撥解決正多邊形問題時，通常需要作輔助線構(gòu)造直角三角形，借助三角函數(shù)加以計算.詳解詳析1A2D解析 利用圓的半徑即可將圓等分成6份，這樣就能得出正三角形，也可以得出正六邊形；作兩條互相垂直的直徑即可得到圓的4等分點，連接各分點可得出正方形；但是無法只利用直尺與圓規(guī)將圓7等分，故無法得到正七邊形3D4解：過點O作ODBC于點D，連接BO.正三角形ABC內(nèi)接于O，點O既是三角形的內(nèi)心也是外心，OBD30，BDCDBCAB cm，cos30 ，解得BO2 cm，即O的半徑為2 cm.5解：作兩條弦AB，BC的垂直平分線，交點即為圓心O; 作直徑DE，作直徑DE的垂直平分線，交圓O于點F，G；順次連接D，G，E，F(xiàn)，四邊形DGEF即為所求，如圖所示6解：如圖，首先作直徑AD，然后分別以點A，D為圓心，OA長為半徑畫弧，與O分別交于點B，F(xiàn)，C，E，連接AB，BC，CD，DE，EF，AF，則正六邊形ABCDEF即為所求7C解析 六邊形DEFGHI是正六邊形，EDI120，ADI60，ADI是等邊三角形，ADDE.同理，BEDE，ADDEBE，SADISABC，同理，SBEFSABC，SCGHSABC，.故選C.8D解析 連接OA，OB.AF是O的切線，OAF90.正五邊形ABCDE內(nèi)接于O，AOB72.OAOB，OABOBA54，BAF905436.ABF72，F(xiàn)180367272.故選D.9A10B解析 連接OC，OA，OB.AB是O內(nèi)接正六邊形的一邊，AOB360660.BC是O內(nèi)接正十邊形的一邊，BOC3601036，AOCAOBBOC603624，n3602415.故選B.11124 解析 過點A作AMBF于點M，連接O1F，O1B.六邊形ABCDEF是正六邊形，F(xiàn)AB120，AFAB，點A，O，M在一條直線上，AFBABF(180120)30，ABF中BF邊上的高AMAF(64 )32 ，F(xiàn)MBMAM3 6，BF3 63 6126 .設(shè)ABF的內(nèi)切圓的半徑為r，SABFSAO1FSAO1BSBFO1，(32 )(6 12)(64 )r(64 )r(126 )r，解得r3，即O1Mr3，O1O22364 124 .12證明：(1)如圖，連接OA，OD.BC，CD為O的內(nèi)接正十邊形的邊長，BOCCOD36，BOD72，BADBOD36.OBOC，12(18036)72.同理可得372，ABC13144，BADABC180，ADBC，即MNBC.(2)BAD36，372，AMB180BAD372，OMNAMB72.OMNAOMOAM，OAM36，OMAM.在OMN和AMB中，MONMAB，OMAM，OMNAMB，OMNAMB，MNMB，ONAB.OMON，OBOMBMABMN.ABBC，MNBCOB.13解：(1)證明：ABAC，ABCACB.BD，CE分別平分ABC，ACB，ABDDBCECBACE.BEBC，BECBCE.BACBEC，ABDDBCECBACEBAC，AEADDCBCBE，五邊形AEBCD是正五邊形(2)四邊形AEFD是菱形理由如下：五邊形AEBCD是正五邊形，EBCEADAEBADCBCD108.BCDC，CBDBDC36，ADB72，EADADB180，AEBD，同理可得：ECAD，四邊形AEFD是平行四邊形又AEAD，四邊形AEFD是菱形14解：(1) 如圖，過點O作OMAB于點M，連接OA，OB，則OM為邊心距，AOB是中心角由正五邊形的性質(zhì)得AOB360572.又AB265.2(m)，所以AM2.6 m，AOM36.在RtAMO中，邊心距OM3.6(m)所以地基的中心到邊緣的距離約為3.6 m.(2)3.611.61(m)所以塑像底座的半徑最大約為1 m.15解：(1)ABC是正三角形，ABC60.點M，N分別從點B，C開始以相同的速度在O上做逆時針運動，BAMCBN，APB180ABNBAM180ABNCBN180ABC120.(2)9072(3)能圖中APB.16解：(3)PBPE與PA滿足的數(shù)量關(guān)系是：PBPE2PAcos36.理由：連接OA，OE，過點A作AMPB于點M，ANPE于點N.因為APMAPN，所以RtAMPRtANP，所以AMAN，PMPN.因為ABAE，所以RtAMBRtANE，所以MBNE，所以PBPE(PMMB)(PNNE)2PN.因為APEAOE，且五邊形ABCDE為正五邊形，所以