“二倍角的正弦、余弦、正切”教學(xué)設(shè)計(jì)

“二倍角的正弦、余弦、正切”教學(xué)設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)理念：根據(jù)皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展理論，在個(gè)體從出生到成熟的發(fā)展過程中，智力發(fā)展可以分為具有不同的質(zhì)的四個(gè)主要階段：激活原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)、構(gòu)建新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、嘗試新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、發(fā)展新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。發(fā)展的各個(gè)階段順序是一致的，前一階段總是達(dá)到后一階段的前提。階段的發(fā)展不是間斷性的跳躍，而是逐漸、持續(xù)的變化。皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展階段論為發(fā)展性輔導(dǎo)中學(xué)生智力發(fā)展水平的評(píng)估和診斷，提供了重要的理論依據(jù)。教學(xué)內(nèi)容：普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(數(shù)學(xué))必修4(人教A版)，第三章、第一節(jié)、第145-148頁?！岸督堑恼?、余弦、正切”是在研究了兩角和與差的三角函數(shù)的基礎(chǔ)上研究具有“二倍角”關(guān)系的正弦、余弦、正切公式，它既是兩角和的正弦、余弦、正切公式的特殊化，又為以后求三角函數(shù)值、化簡和證明提供了非常有用的理論工具，通過對(duì)二倍角公式的推導(dǎo)知道：二倍角公式的內(nèi)涵是“揭示具有倍數(shù)關(guān)系的兩個(gè)角的三角函數(shù)的運(yùn)算規(guī)律”，通過推導(dǎo)還讓學(xué)生了解高中數(shù)學(xué)中由“一般”到“特殊”的化歸數(shù)學(xué)思想，因此這節(jié)課也是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算和邏輯推理能力的重要內(nèi)容，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新能力都有重要意義。教學(xué)目標(biāo)：根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求、本節(jié)教材的特點(diǎn)和學(xué)生對(duì)三角函數(shù)的認(rèn)知特點(diǎn)，我們把本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)確定為：1、能從兩角和的正弦、余弦、正切公式出發(fā)推導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式，理解它們的內(nèi)在聯(lián)系，從中體會(huì)數(shù)學(xué)的化歸思想和數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)過程。2、掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，通過對(duì)二倍角公式的正用、逆用、變形使用，提高三角變形的能力，以及應(yīng)用轉(zhuǎn)化、化歸、換元等數(shù)學(xué)思想方法解決問題的能力。3、通過一題多解、一題多變，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維、創(chuàng)新意識(shí)和數(shù)學(xué)情感，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。學(xué)情分析：我們的學(xué)生從認(rèn)知角度上看，已經(jīng)比較熟練的掌握了兩角和與差的三角函數(shù)的基礎(chǔ)上。從學(xué)習(xí)情感方面看，大部分學(xué)生愿意主動(dòng)學(xué)習(xí)。從能力上看，學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)能力、探究的能力、較弱。教材分析：對(duì)公式的引入改變了教材中直接填結(jié)果的做法，而是通過提出問題，設(shè)置情景對(duì)和角公式中的角、的關(guān)系特殊情形時(shí)的簡化，讓學(xué)生探討發(fā)現(xiàn)、推證得出二倍角公式，這樣學(xué)生會(huì)感到自然，好接受，并可清晰知道和角的三角函數(shù)與二倍角公式的聯(lián)系，同時(shí)讓學(xué)生學(xué)會(huì)怎樣發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，并體會(huì)到化歸(這里是將一般化歸到特殊)這一基本數(shù)學(xué)思想在發(fā)現(xiàn)中所起的作用，對(duì)教材的例題則有所增減，處理方式也有適當(dāng)改變。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：使學(xué)生在掌握了和角、差角公式后如何將和角公式化為二倍角公式，以及公式的兩種變形和公式成立的條件;如何學(xué)會(huì)去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，并體會(huì)化歸、轉(zhuǎn)化等基本數(shù)學(xué)思想在發(fā)現(xiàn)中所起的作用，能正確應(yīng)用這些公式進(jìn)行三角化簡、求值、證明等。難點(diǎn)：靈活應(yīng)用二倍角公式變形的態(tài)式，熟練解三角綜合題。教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)啟發(fā)、設(shè)置情景、引出正題1、(復(fù)習(xí)性提問)：請同學(xué)回顧兩角和的公式(學(xué)生回答，教師板書)2、(探索性提問)當(dāng)上述公式中角、具有特殊化關(guān)系時(shí)，公式變?yōu)槭裁葱问?請一名學(xué)生到黑板上演示簡化，其他同學(xué)在座位上做。學(xué)生板書：3、集體訂正后，引導(dǎo)學(xué)生觀察其結(jié)構(gòu)，并指名回答觀察結(jié)果(學(xué)生回答：左邊角均為，右邊角均為，具有“二倍”關(guān)系)4、引入正題師：肯定學(xué)生觀察結(jié)論準(zhǔn)確，并加以說明公式中蘊(yùn)含著“對(duì)稱”、“和諧”之美教師板書(放幻燈片)二倍角公式簡記為即為我們今天要學(xué)習(xí)的二倍角公式【設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)已學(xué)公式，對(duì)其特殊化。讓學(xué)生學(xué)會(huì)從“一般”到“特殊”的化歸方法，從而達(dá)到“溫故知新”的教學(xué)目的】二、引導(dǎo)探究、深化認(rèn)識(shí)1、回憶推導(dǎo)過程，讓學(xué)生明確二倍角公式是和角公式的特殊情形。知道二者之間的聯(lián)系2、(探索性提問)對(duì)：中的平方聯(lián)想到，有無其他變式?(學(xué)生探索、總結(jié)得出兩種變式：)3、(深化性提問)：有了這組二倍角公式，我們是否可以放心大膽的應(yīng)用呢?(學(xué)生：不能，要注意公式成立的條件)引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想和角公式的條件，利用類比的方法，探索出二倍角公式的條件指出：尤其注意成立的條件【設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用聯(lián)想、類比的教學(xué)思想、得出公式成立的條件】4、(探索性提問)在中，當(dāng)左邊的時(shí)，雖然右邊的不存在，但左邊的存在，能否用求?該怎樣求?引導(dǎo)學(xué)生：改用誘導(dǎo)公式：【設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生對(duì)特殊情形，另辟蹊徑，尋找求解依據(jù)，培養(yǎng)學(xué)生細(xì)致、靈活的探索習(xí)慣】5、二倍角公式中的倍數(shù)關(guān)系是相對(duì)的，為深化對(duì)二倍角公式的理解，出示一組填空題(放幻燈片)(1)填角(2)(填號(hào))一般情況下：【設(shè)計(jì)意圖：通過填空，讓學(xué)生靈活理解“二倍角”的含義，根據(jù)學(xué)生易混點(diǎn)，類比公式，展開訓(xùn)練，達(dá)到“跨越障礙、突破難點(diǎn)”之目的】三、鞏固公式，學(xué)習(xí)應(yīng)用出示四道例題，學(xué)生分組訓(xùn)練，每組一題，做完后組內(nèi)交流，訂正答案，最后教師引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)方法、技巧、要點(diǎn)、解題規(guī)范等。放幻燈片(第一組學(xué)生做)例1、不查表,求下列函數(shù)值【設(shè)計(jì)意圖：通過直接應(yīng)用公式、間接應(yīng)用公式、一題多解,鞏固二倍角公式】(第二組學(xué)生做)例2、已知，求的值。講評(píng)：此題目中對(duì)角有范圍限制,做題中應(yīng)注意什么?僅知道值,欲求二倍角正弦、余弦、正切,先需要知道什么? 在求值時(shí),要靈活應(yīng)用三種等價(jià)形式,并注意在求解過程中要盡量使用已知的原始數(shù)據(jù),減少錯(cuò)誤的可能性【設(shè)計(jì)意圖：由淺入深,鞏固公式,培養(yǎng)學(xué)生規(guī)范、科學(xué)解題的能力,教給學(xué)生小結(jié)解題經(jīng)驗(yàn),做后反思】(第三組學(xué)生做)例3、證明講評(píng)：證法1：等價(jià)證：證法2：等價(jià)證：證法3：巧妙應(yīng)用“1”，即用“”代換，后略?！驹O(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生學(xué)會(huì)等價(jià)證明、轉(zhuǎn)化證題及一題多證，以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈活性、散發(fā)性及創(chuàng)造性思維，加深鞏固二倍角公式和綜合應(yīng)用已學(xué)過的技巧證題】(第四組學(xué)生做)例4、利用三角公式化簡講評(píng)：此題技巧是：先將“切化弦”，然后用已學(xué)過的知識(shí)和二倍角公式化簡【設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解簡單三角綜合問題，培養(yǎng)學(xué)生綜合解題應(yīng)用能力】四、提煉總結(jié)放幻燈片(1)在兩角和的三角函數(shù)公式中，當(dāng)時(shí)，就可得到二倍角的三角函數(shù)公式。說明：后者是前者的特例。(2)中角沒有條件限制，而中，只有時(shí)才成立。(3)二倍角公式不僅限于是的二倍形式，其他如是的二倍，是的二倍，是的二倍等等都適用，要熟悉這些多形式的兩個(gè)角的倍數(shù)關(guān)系，才能熟練地應(yīng)用好二倍角公式，這是靈活應(yīng)用公式的關(guān)鍵。有三種形式：。要依據(jù)條件靈活應(yīng)用公式，另外逆用此公式時(shí)更要注重結(jié)構(gòu)形式?！驹O(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生對(duì)本節(jié)課所學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)有一個(gè)清晰的認(rèn)識(shí)，抓住重點(diǎn)、難點(diǎn)，關(guān)鍵進(jìn)行課后復(fù)習(xí)鞏固】五、作業(yè)布置：必做：教科書P150習(xí)題3.1A組14、15【設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生自覺學(xué)習(xí)的習(xí)慣，檢查學(xué)習(xí)效果，及時(shí)反饋，插漏補(bǔ)缺】選做：(1)用、表示、(即推導(dǎo)三倍角公式)(2)已知：?！驹O(shè)計(jì)意圖：對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生留出自我發(fā)展的空間，嘗試能力，拓展創(chuàng)新】設(shè)計(jì)思路：1、本節(jié)公式比較多，首先要搞清楚各公式之間的內(nèi)在聯(lián)系，也就是要很好地理解上面的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，其次理解如何由和角公式推導(dǎo)倍角公式，然后明確倍角的含義，熟練地運(yùn)用倍角公式進(jìn)行求值、化簡等三角運(yùn)算及恒等變形。2、在三角式的運(yùn)算及恒等變形過程中，除了倍角公式外，也離不開前面所學(xué)的同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式以及和角公式等，它們是一個(gè)有機(jī)整體。在解題過程中要求學(xué)生先分析條件與求解目標(biāo)之間的差異，選擇恰當(dāng)?shù)墓竭M(jìn)行轉(zhuǎn)化溝通，然后明確解題思路，設(shè)計(jì)解題步驟，完善解答過程，培養(yǎng)邏輯思維能力。3、我們通過一題多解，使我們學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考與推理，訓(xùn)練發(fā)散性思維，培養(yǎng)創(chuàng)造新意識(shí)，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。4、以公式特殊情形化簡為切入點(diǎn)以學(xué)生探索、推導(dǎo)、應(yīng)用教師范讀的是閱讀教學(xué)中不可缺少的部分，我常采用范讀，讓幼兒學(xué)習(xí)、模仿。如領(lǐng)讀，我讀一句，讓幼兒讀一句，邊讀邊記；第二通讀，我大聲讀，我大聲讀，幼兒小聲讀，邊學(xué)邊仿；第三賞讀，我借用錄好配朗讀磁帶，一邊放錄音，一邊幼兒反復(fù)傾聽，在反復(fù)傾聽中體驗(yàn)、品味。為主線以學(xué)生發(fā)展能力為目的其實(shí),任何一門學(xué)科都離不開死記硬背,關(guān)鍵是記憶有技巧,“死記”之后會(huì)“活用”。不記住那些基礎(chǔ)知識(shí)