上證指數(shù)日收盤價的關聯(lián)維數(shù).doc

精品論文上證指數(shù)日收盤價的關聯(lián)維數(shù)陳楠 遼寧工程技術大學工商管理學院，遼寧葫蘆島 (125105) e-mail：摘要：關聯(lián)維數(shù)(correlation dimension)是定量描述非線性時間序列的一個重要參數(shù)，近來 在腦電、心電等生物醫(yī)學信號的特征描述方面得到了廣泛的應用?，F(xiàn)在不僅實驗物理學家， 而且某些生理學家和經(jīng)濟學家也已經(jīng)掌握了這一方法，用來處理數(shù)據(jù)和解決問題。相對于hausdorff 維數(shù)和相似維數(shù)，在統(tǒng)計分形方面，顯然關聯(lián)維數(shù)的計算更為簡便。然而，關聯(lián)維數(shù)的計算涉及到諸如延遲時間、嵌入維數(shù)等多個參數(shù)的選擇，同時需要確定 lnc(r)ln(r) 的線性擬和的尺度區(qū)間。本文以 1990 年 12 月 19 日至 2008 年 11 月 22 日上海證券市場上證 指數(shù)日收盤價的數(shù)據(jù)，采用 g-p 算法，應用 excel2003 找出了上證指數(shù)日收盤價的關聯(lián)維數(shù)為 2.267，即證券市場運行系統(tǒng)的混沌吸引子的維數(shù)。關鍵詞：關聯(lián)維數(shù)；時間序列；上證指數(shù)；excel20031.引 言自從美國著名控制論專家扎德1(l.a.zadeh)教授于 1965 年發(fā)表模糊集合論文并建立 模糊集合論以來，模糊數(shù)學這門學科迅速地發(fā)展起來，幾十年來，模糊數(shù)學以及由此衍生的 模糊邏輯、神經(jīng)網(wǎng)絡、遺傳算法、分形幾何和混沌理論等等軟計算方法得到了飛躍的發(fā)展， 并且已經(jīng)在人工智能、信息處理、數(shù)理統(tǒng)計、預測決策、社會學、經(jīng)濟學、心理學、管理學、 教育學、運籌學等眾多領域得到了廣泛的應用。分形幾何的發(fā)展是 20 世紀數(shù)學領域最偉大的發(fā)現(xiàn)之一。近來分形研究也廣泛地應用于 經(jīng)濟學。王衛(wèi)寧 1、汪秉宏 1、史曉平 2 根據(jù)對上證指數(shù)數(shù)據(jù)的分析1，證明我國股價指數(shù)波 動表現(xiàn)出明顯的混沌性質(zhì)而并不是完全隨機的行為。本文以 1990 年 12 月 19 日至 2008 年11 月 22 日上海證券市場上證指數(shù)日收盤價的數(shù)據(jù)，應用 excel2003 找出了上證指數(shù)日收盤 價的關聯(lián)維數(shù)為 2.267，即證券市場運行系統(tǒng)的混沌吸引子的維數(shù)。2.影響股指波動的因素2.1 國家經(jīng)濟政策和政治方針國家的經(jīng)濟政策和政治方針無疑對上證指數(shù)有著很大的影響力。例如 2007 年的 5 月 30日，國家將證券交易印花稅從 1提高到 3。政策出臺后，市場出現(xiàn)急速下挫，兩市連續(xù)4 日觸及跌停板個股高達 700 多家，500 多只個股跌幅超過 30%，基金凈值也由此遭受重大 損失。4 天內(nèi)單位凈值跌幅超過 10%的基金個數(shù)高達 120 只，損失之慘重歷史罕見。又如， 從圖 1 可以看出，上證指數(shù)在 06 年以前表現(xiàn)平平，06 年之后開始大幅上漲，究其原因，主 要是國家經(jīng)濟形式運行良好，國家實行了股權(quán)分置改革(股改）形成的結(jié)果，加之當時很多 股票價值低估，改革過程中，國家給了很多的優(yōu)惠，于是大量機構(gòu)就開始購買，接著大量普 通老百姓開始進入股市，各種資金介入熱情高漲，一時間股市能掙錢成為預期。當時甚至有 人夸張地稱“搶錢不如去炒股”。但是好景不常，08 年的全球經(jīng)濟出現(xiàn)拐點，美國次級貸款1 盧菲特扎德(lotfi asker zadeh，1921 年 2 月 4 日生于巴庫，阿塞拜疆語為 lotfi aliaskerzadeh)，于 1965 年建立了模糊集合和模糊邏輯，主要研究模糊邏輯的應用。1991 年又引進軟計算的概念。1996 年提出用詞 匯計算(computing with words)。近期的研究重點是軟計算在自然語言處理的應用何語言的語義計算。- 8 -危機成為股市下跌的導火索，現(xiàn)在大盤指數(shù)表現(xiàn)又重新回到股改之前的水平。2.2 上市公司的表現(xiàn)通常情況下，一家有良好利潤的公司很大程度上吸引股票投資人，因為股價從根本上來 說是靠公司良好的經(jīng)營狀況來支撐的。利潤不好、表現(xiàn)不佳的上市公司關注的投資者就會相 對少，而投資者資金少了股價就不容易持續(xù)升高。另外，上市公司的各種行為甚至產(chǎn)品的質(zhì) 量，價位，優(yōu)劣都會影響到該上市公司的股票指數(shù)。例如臭名昭著的美國第一破產(chǎn)案安然丑 聞敗露后，安然公司的股票價格從最高峰時的每股 90 多美元一路下跌至 2001 年 11 月 30 日的每股 0.26 美元，可見其波動是如何慘烈。2.3 投資者的心理預期證券市場中，每一個投資者都是基于自己所擁有的信息做出主觀的決策。每個投資者都 會充分利用自己所擁有的信息去做出理性預期。一般情況下，當某一事件使市場上大多數(shù)人 對某只股票持觀望態(tài)度或悲觀態(tài)度時。該股票就可能一蹶不振甚至大幅下挫。例如前不久發(fā) 生的 “三聚氰胺”事件，直接影響到了國內(nèi)乳品制造企業(yè)，這些企業(yè)的的股價昨日紛紛下挫， 并且在全球范圍內(nèi)形成普跌態(tài)勢。而令人啼笑皆非的是，某些豆?jié){機制造企業(yè)和豆奶制造企 業(yè)的股價卻是逆市而動，一路大漲。當然，影響股市波動的因素往往是多方面的，不同時期的同一因素也能對股市波動造成 不同的影響。所以研究上市公司的股價表現(xiàn)要全方位多層次考慮。3.上證指數(shù)日收盤價時間序列的關聯(lián)維數(shù)3.1 數(shù)據(jù)分析分形維數(shù)是定量刻畫混沌吸引子“奇異”程度的一個重要參數(shù)。一般來說，系統(tǒng)的不確定 性越大，關聯(lián)維數(shù)越大；系統(tǒng)的確定性越大，關聯(lián)維數(shù)越小。因此，關聯(lián)維數(shù)可用于定量描 述非線性系統(tǒng)的運動特征。有研究表明，數(shù)據(jù)點在 500 點至 2 000 點之間，數(shù)據(jù)點與維數(shù)呈 現(xiàn)不規(guī)則變化，到 2000 點以后,點與維數(shù)基本呈現(xiàn)穩(wěn)定 2。本文采集了 1990 年 12 月 19 日 至 2008 年 11 月 22 日上海證券市場上證指數(shù)日收盤價的數(shù)據(jù)，共 4397 個數(shù)據(jù)點。首先將原 始數(shù)據(jù)制成折線圖(如圖 1 所示)，即我們將要分析的時間序列。上 6,000.00證指數(shù) 5,000.004,000.003,000.002,000.001,000.000.001990-12-191994-8-311998-9-18日期2003-11-252007-12-28圖1 1990年12月19日至2008年11月22日上證指數(shù)時間序列圖3.2 重構(gòu)空間矢量根據(jù)已經(jīng)采集到的數(shù)據(jù)，可以得到一組數(shù)據(jù)序列為x1 , x 2 , x 3 ,k, x 4397其中 x i 是第 i 時刻采集到的上證指數(shù)日收盤價。這組數(shù)據(jù)序列即為將要分析的時間序列。 由于不知道實際的相空間的維數(shù)，可以先將這些數(shù)據(jù)嵌入一個 m 維的相空間。例如當 m=5 時，令y1 = x1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5作為 5 維空間的第一個矢量 y1 ，然后將 x1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 右移一個數(shù)據(jù)，令y2 = x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6作為 5 維空間的第二個矢量 y2 ，以此類推。于是我們可以夠造出矢量 y1 , y2 ,k yn 。令rij =yi yj(1)即為矢量 yi 與 y j 端點間的距離。grassberger 和 procaccia 證明了當嵌入維數(shù)大于分形維時，所求的分形維不因嵌入維數(shù) 的增加而增加，也就是說，當嵌入維數(shù)很大時，所求出的分形維數(shù)應該是不變的。在實際中 我們并不知道所求的系統(tǒng)的混沌吸引子的維數(shù)是多少。對于大盤指數(shù)來說，決定日收盤價變 化的主要因素有國家的宏觀經(jīng)濟狀況、大盤中權(quán)重股的表現(xiàn)、投資者的投資行為和心理預期 以及國際環(huán)境等。因此，在實際操作中嵌入維數(shù)可選取在 5 到 10 之間。3.3 計算矢量間距離接下我們就要計算任兩個矢量之間的距離。任給定一個實數(shù) r，把 rij r 的數(shù)目記為 n2(r)，總的點對數(shù)目記為 n (r)= n1(r)+ n2(r)。把距離 rij 小于 r 的所有點 對在所有點對中所占比例記為 c(r)，即 c(r)= n1(r)/n (r)。由于yi yj =y j yi ，且當 i=j 時， rij =yi yj =0，為減少計算量，在實際操作中可只取矩陣 r11kr1n mom r n1lrnn 沿對角線的上半部分或者下半部分進行運算。對于本例來說，由于當 m=10 維時，n=4397-(m-1)=4388，共需 (1+2+4387)=9625078 次不重復運算，故可以通過計算機來完 成。借助數(shù)理統(tǒng)計軟件，我們可以輕松地完成對這些數(shù)據(jù)的分析，比較著名的數(shù)理統(tǒng)計軟件 有 matlab，spss，還有經(jīng)濟學統(tǒng)計軟件 eviews，這些軟件的功能非常強大，不過對英語 和計算機水平要求較高，特別是 matlab，要懂一些計算機語言和編程。雖然這點計算量 對于計算機來說算不了什么，但是對于不懂這些軟件的人來說卻很難。這里介紹一種基于 excel2003 的距離計算方法，在數(shù)據(jù)量不大的情況下，這種方法不失為一種簡單且行之有效 的方法。3.3.1 錄入數(shù)據(jù)這一步是最為簡單的一步，實際上就是把采集到的數(shù)據(jù)點復制到 excel 工作表中。這樣， 我們就得到了從 a1 到 a4397 單元格的一列數(shù)據(jù)。下面所有的運算都是基于這一列數(shù)據(jù)進行 的。3.3.2 編寫公式與數(shù)據(jù)處理用 excel 的一點好處就是，借助單元格右下方的可拖動柄，我們可以迅速地填寫所需要 的公式。例如當 m=10 維時，b1 單元格的公式為 (即 r12 )：=sqrt(a2-a1)2+(a3-a2)2+(a4-a3)2+(a5-a4)2+(a6-a5)2+(a7-a6)2+(a8-a7)2+(a9-a8)2+(a10-a9)2+(a11-a10)2)(2)相應的，b2 單元格公式為 (即 r23 )：=sqrt(a3-a2)2+(a4-a3)2+(a5-a4)2+(a6-a5)2+(a7-a6)2+(a8-a7)2+(a9-a8)2+(a10-a9)2+(a11-a10)2+(a12-a11)2)(3)我們先將 b1 單元格的公式加上絕對引用，即=sqrt(a2-$a$1)2+(a3-$a$2)2+(a4-$a$3)2+(a5-$a$4)2+(a6-$a$5)2+(a7-$a$6)2+ (a8-$a$7)2+(a9-$a$8)2+(a10-$a$9)2+(a11-$a$10)2)(4)以便產(chǎn)生公式。然后雙擊拖動柄，很快，我們就得到了 b1 到 b4397 單元格的一列數(shù)據(jù)，即 由公式自動計算的數(shù)據(jù)，我們的目的是先找出公式，而不是數(shù)據(jù)，所以可以按“ctrl+”以顯 示公式。接著，我們把 b1 到公式復制到記事本里，再將“$”全部替換為空。這樣，我們就得 到了所有的公式。實際上，當 b1 單元格公式為式(1)時： 雙擊拖動柄得到的一列數(shù)據(jù)即是矩陣 r11kr1,4388 momr4388,1lr4388,4388 中的沿對角線的一列數(shù)據(jù) r12 , r23 , r34 ,k,k r4387 ,4388 。同樣地，將 c1 單元格定義為(即 r13 )：=sqrt(a3-a1)2+(a4-a2)2+(a5-a3)2+(a6-a4)2+(a7-a5)2+(a8-a6)2+(a9-a7)2+(a10-a8)2+(a11-a9)2+(a12-a10)2)(5)d1 單元格定義為(即 r14 )：=sqrt(a4-a1)2+(a5-a2)2+(a6-a3)2+(a7-a4)2+(a8-a5)2+(a9-a6)2+(a10-a7)2+( a11-a8)2+(a12-a9)2+(a13-a10)2)(6) 以此類推。然后我們通過雙擊拖動柄就實現(xiàn)了 rij 的運算。需要注意的是，excel 的一張工作表是 65535 行，256 列，所以當 m=5 時，我們無法將所有公式都放入到一張表中。所以我把這 4397 個數(shù)據(jù)點大概分成每張工作表 220 列數(shù)據(jù)， 分別放入 20 個工作表中。這樣，我們就完成了 rij 的全部計算。由于計算機的性能不同，計 算時間也不同，筆者的計算機采用 pentium（r）4 2.80ghz 的 cpu，256m 內(nèi)存，運算時間 大約為 20 分鐘。3.3.3 數(shù)據(jù)裁剪在上述過程中由于 excel 在計算公式時會引用到空的單元格，所以必須裁剪去無效的數(shù) 據(jù)，比較人性化的是，excel 在引用公式出錯時會在該單元格的左上方顯示一個綠色小三角 形，我們需要做的就是刪除這些帶綠色三角形的單元格內(nèi)的無效數(shù)據(jù)。由于無效數(shù)據(jù)呈三角 區(qū)域分布，而 excel 只能拖動出矩形框，所以我們需要裁剪這些數(shù)據(jù)。這里也可以編寫宏命 令來快速實現(xiàn)。3.3.4 得出結(jié)論在完成了上述計算之后，我們得到的就是 rij 的距離矩陣： r11kr1,4388 mom 沿對角線的上半部分或者下半部分。r4388,1lr4388,4388 現(xiàn)在要做的就是任給定一個實數(shù) r，把 rij r 的數(shù)目記為 n2(r)，總的點對數(shù)目記為 n (r)= n1(r)+ n2(r)。我們可以運用 excel 中的 countif(range,criteria)公式來 實現(xiàn)。不過我們得把這個矩陣“變瘦”，因為 excel 一張工作表只有 256 列。把距離 rij 小于 r 的所有點對在所有點對中所占比例記為 c(r)，即 c(r)= n1(r)/n (r)。對 于 m=10 維來說，n (r)= 4 388 2 =19254544。之后我們分別對 r，c(r)取對數(shù)，就得到了一堆 點 (r1 , c (r1 ), (r2 , c (r2 ), (r3 , c (r3 ),l需要注意的是，計算結(jié)果與 r 的取值有關。如果 r 取值太大，那么一切 rij 都不會超過 r，這時 n1(r)=n (r)，c(r)=1，取對數(shù)后 ln c(r)=0，這樣的 r 無法反映系統(tǒng)的內(nèi)部性質(zhì)，沒有意 義；如果 r 取值太小，那么所有的 rij 都大于 r，此時 n1(r)=0，c(r)=0，也沒有意義。適當?shù)卣{(diào)整 r 的范圍，可能在一段范圍里有c (r) = r v其中指數(shù) v 是一種維數(shù)，關聯(lián)維數(shù)即為(7)式中 c (r) 通常有如下形式：d= limx0ln c(r)ln(r )(8)c (r) = 1nn (r y y1)=nn (r r )(9)n2 ijijn2 ijij式中 ( x) 是 heaviside 函數(shù)，且有1，當 ( r rij ) 0 時ij (r rij ) = 0 ，當 ( r r) 0 時 (10)3.4 線性回歸分析最后我們只需在 lnc(r)-ln(r)曲線上求出直線段部分的斜率即可(如圖 2 ，圖 3)。適當?shù)?調(diào)整 r 的大小使之出現(xiàn)無標度區(qū)，即點集近似在一條直線上。lnc(r)-3.0000000-4.0000000-5.0000000-6.0000000-7.0000000-8.00000003.50000004.00000004.5000000ln(r)5.0000000圖2 m=10維時關聯(lián)維數(shù)的計算 (d=2.267)m=10 時的雙對數(shù)圖如圖 2。進行線性回歸，回歸方程為：y = 2.267 x 14.884r2 = 0.998其中 2.267 即為所求的關聯(lián)維數(shù)。lnc(r)-3.0000000-4.0000000-5.0000000-6.00000003.50000003.75000004.00000004.25000004.50000004.7500000ln(r)圖3 m=5維時關聯(lián)維數(shù)的計算 (d=1.987)最后嵌入維數(shù)和關聯(lián)維數(shù)的結(jié)果如表 1 所示。表 1 嵌入維數(shù)和關聯(lián)維數(shù)的運算結(jié)果嵌入維數(shù)(m)關聯(lián)維數(shù)(d)51.98762.14272.22382.28692.231102.2674.結(jié)論本文采用 g-p 算法，應用 excel2003 找出了 1990 年 12 月 19 日至 2008 年 11 月 22 日上 海證券市場上證指數(shù)日收盤價關聯(lián)維數(shù)為 2.267，即證券市場運行系統(tǒng)的混沌吸引子的維數(shù)。 這說明雖然股票市場運行千變?nèi)f化，但并不是某些人所謂毫無規(guī)律可言。雖然決定市場的因 素非常多，但是本質(zhì)因素卻只有 2 個，只要 2 個因素就能決定整個系統(tǒng)的趨勢。雖然我國股 票市場雖然不成熟，各種控制機制有待健全，但是總體上來說股市具有穩(wěn)定性結(jié)構(gòu)，只不過 在表現(xiàn)上呈現(xiàn)出混沌規(guī)律。參考文獻1 王衛(wèi)寧、汪秉宏、史曉平股票價波動的混沌行為分析j數(shù)量經(jīng)濟技術經(jīng)濟研究：141-147，2004 年第 4 期2 于青關聯(lián)維數(shù)計算的分析研究j天津理工學院學報：60-62，2004 年 12 月第 20 卷第四期3 高紅兵、潘瑾、陳宏民深圳成分股指數(shù)收益率序列的分形維j預測：50-51，2000 年第 6期4 郭嗣琮、陳剛信息科學中的軟計算方法m東北大學出版社，2001 年 11 月the correlation dimension of the shanghai stock exchangecomposite indexchen nancollege of business administration, liaoning technical university, huludao, liaoning (125105)abstractcorrelation dimension is an important parameter of describing non-linear time series quantitatively andis recently widely used in character-description of bio-medical aspects, such as eeg, ecg signals. now not only experimental physicist and physiologist, but also some economists have mastered this method to process data and solve problems. compared to hausdorff dimension