上證指數(shù)日收盤價(jià)的關(guān)聯(lián)維數(shù).doc

精品論文上證指數(shù)日收盤價(jià)的關(guān)聯(lián)維數(shù)陳楠 遼寧工程技術(shù)大學(xué)工商管理學(xué)院，遼寧葫蘆島 (125105) e-mail：摘要：關(guān)聯(lián)維數(shù)(correlation dimension)是定量描述非線性時(shí)間序列的一個(gè)重要參數(shù)，近來(lái) 在腦電、心電等生物醫(yī)學(xué)信號(hào)的特征描述方面得到了廣泛的應(yīng)用?，F(xiàn)在不僅實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家， 而且某些生理學(xué)家和經(jīng)濟(jì)學(xué)家也已經(jīng)掌握了這一方法，用來(lái)處理數(shù)據(jù)和解決問(wèn)題。相對(duì)于hausdorff 維數(shù)和相似維數(shù)，在統(tǒng)計(jì)分形方面，顯然關(guān)聯(lián)維數(shù)的計(jì)算更為簡(jiǎn)便。然而，關(guān)聯(lián)維數(shù)的計(jì)算涉及到諸如延遲時(shí)間、嵌入維數(shù)等多個(gè)參數(shù)的選擇，同時(shí)需要確定 lnc(r)ln(r) 的線性擬和的尺度區(qū)間。本文以 1990 年 12 月 19 日至 2008 年 11 月 22 日上海證券市場(chǎng)上證 指數(shù)日收盤價(jià)的數(shù)據(jù)，采用 g-p 算法，應(yīng)用 excel2003 找出了上證指數(shù)日收盤價(jià)的關(guān)聯(lián)維數(shù)為 2.267，即證券市場(chǎng)運(yùn)行系統(tǒng)的混沌吸引子的維數(shù)。關(guān)鍵詞：關(guān)聯(lián)維數(shù)；時(shí)間序列；上證指數(shù)；excel20031.引 言自從美國(guó)著名控制論專家扎德1(l.a.zadeh)教授于 1965 年發(fā)表模糊集合論文并建立 模糊集合論以來(lái)，模糊數(shù)學(xué)這門學(xué)科迅速地發(fā)展起來(lái)，幾十年來(lái)，模糊數(shù)學(xué)以及由此衍生的 模糊邏輯、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、遺傳算法、分形幾何和混沌理論等等軟計(jì)算方法得到了飛躍的發(fā)展， 并且已經(jīng)在人工智能、信息處理、數(shù)理統(tǒng)計(jì)、預(yù)測(cè)決策、社會(huì)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、心理學(xué)、管理學(xué)、 教育學(xué)、運(yùn)籌學(xué)等眾多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。分形幾何的發(fā)展是 20 世紀(jì)數(shù)學(xué)領(lǐng)域最偉大的發(fā)現(xiàn)之一。近來(lái)分形研究也廣泛地應(yīng)用于 經(jīng)濟(jì)學(xué)。王衛(wèi)寧 1、汪秉宏 1、史曉平 2 根據(jù)對(duì)上證指數(shù)數(shù)據(jù)的分析1，證明我國(guó)股價(jià)指數(shù)波 動(dòng)表現(xiàn)出明顯的混沌性質(zhì)而并不是完全隨機(jī)的行為。本文以 1990 年 12 月 19 日至 2008 年11 月 22 日上海證券市場(chǎng)上證指數(shù)日收盤價(jià)的數(shù)據(jù)，應(yīng)用 excel2003 找出了上證指數(shù)日收盤 價(jià)的關(guān)聯(lián)維數(shù)為 2.267，即證券市場(chǎng)運(yùn)行系統(tǒng)的混沌吸引子的維數(shù)。2.影響股指波動(dòng)的因素2.1 國(guó)家經(jīng)濟(jì)政策和政治方針國(guó)家的經(jīng)濟(jì)政策和政治方針無(wú)疑對(duì)上證指數(shù)有著很大的影響力。例如 2007 年的 5 月 30日，國(guó)家將證券交易印花稅從 1提高到 3。政策出臺(tái)后，市場(chǎng)出現(xiàn)急速下挫，兩市連續(xù)4 日觸及跌停板個(gè)股高達(dá) 700 多家，500 多只個(gè)股跌幅超過(guò) 30%，基金凈值也由此遭受重大 損失。4 天內(nèi)單位凈值跌幅超過(guò) 10%的基金個(gè)數(shù)高達(dá) 120 只，損失之慘重歷史罕見(jiàn)。又如， 從圖 1 可以看出，上證指數(shù)在 06 年以前表現(xiàn)平平，06 年之后開(kāi)始大幅上漲，究其原因，主 要是國(guó)家經(jīng)濟(jì)形式運(yùn)行良好，國(guó)家實(shí)行了股權(quán)分置改革(股改）形成的結(jié)果，加之當(dāng)時(shí)很多 股票價(jià)值低估，改革過(guò)程中，國(guó)家給了很多的優(yōu)惠，于是大量機(jī)構(gòu)就開(kāi)始購(gòu)買，接著大量普 通老百姓開(kāi)始進(jìn)入股市，各種資金介入熱情高漲，一時(shí)間股市能掙錢成為預(yù)期。當(dāng)時(shí)甚至有 人夸張地稱“搶錢不如去炒股”。但是好景不常，08 年的全球經(jīng)濟(jì)出現(xiàn)拐點(diǎn)，美國(guó)次級(jí)貸款1 盧菲特扎德(lotfi asker zadeh，1921 年 2 月 4 日生于巴庫(kù)，阿塞拜疆語(yǔ)為 lotfi aliaskerzadeh)，于 1965 年建立了模糊集合和模糊邏輯，主要研究模糊邏輯的應(yīng)用。1991 年又引進(jìn)軟計(jì)算的概念。1996 年提出用詞 匯計(jì)算(computing with words)。近期的研究重點(diǎn)是軟計(jì)算在自然語(yǔ)言處理的應(yīng)用何語(yǔ)言的語(yǔ)義計(jì)算。- 8 -危機(jī)成為股市下跌的導(dǎo)火索，現(xiàn)在大盤指數(shù)表現(xiàn)又重新回到股改之前的水平。2.2 上市公司的表現(xiàn)通常情況下，一家有良好利潤(rùn)的公司很大程度上吸引股票投資人，因?yàn)楣蓛r(jià)從根本上來(lái) 說(shuō)是靠公司良好的經(jīng)營(yíng)狀況來(lái)支撐的。利潤(rùn)不好、表現(xiàn)不佳的上市公司關(guān)注的投資者就會(huì)相 對(duì)少，而投資者資金少了股價(jià)就不容易持續(xù)升高。另外，上市公司的各種行為甚至產(chǎn)品的質(zhì) 量，價(jià)位，優(yōu)劣都會(huì)影響到該上市公司的股票指數(shù)。例如臭名昭著的美國(guó)第一破產(chǎn)案安然丑 聞敗露后，安然公司的股票價(jià)格從最高峰時(shí)的每股 90 多美元一路下跌至 2001 年 11 月 30 日的每股 0.26 美元，可見(jiàn)其波動(dòng)是如何慘烈。2.3 投資者的心理預(yù)期證券市場(chǎng)中，每一個(gè)投資者都是基于自己所擁有的信息做出主觀的決策。每個(gè)投資者都 會(huì)充分利用自己所擁有的信息去做出理性預(yù)期。一般情況下，當(dāng)某一事件使市場(chǎng)上大多數(shù)人 對(duì)某只股票持觀望態(tài)度或悲觀態(tài)度時(shí)。該股票就可能一蹶不振甚至大幅下挫。例如前不久發(fā) 生的 “三聚氰胺”事件，直接影響到了國(guó)內(nèi)乳品制造企業(yè)，這些企業(yè)的的股價(jià)昨日紛紛下挫， 并且在全球范圍內(nèi)形成普跌態(tài)勢(shì)。而令人啼笑皆非的是，某些豆?jié){機(jī)制造企業(yè)和豆奶制造企 業(yè)的股價(jià)卻是逆市而動(dòng)，一路大漲。當(dāng)然，影響股市波動(dòng)的因素往往是多方面的，不同時(shí)期的同一因素也能對(duì)股市波動(dòng)造成 不同的影響。所以研究上市公司的股價(jià)表現(xiàn)要全方位多層次考慮。3.上證指數(shù)日收盤價(jià)時(shí)間序列的關(guān)聯(lián)維數(shù)3.1 數(shù)據(jù)分析分形維數(shù)是定量刻畫(huà)混沌吸引子“奇異”程度的一個(gè)重要參數(shù)。一般來(lái)說(shuō)，系統(tǒng)的不確定 性越大，關(guān)聯(lián)維數(shù)越大；系統(tǒng)的確定性越大，關(guān)聯(lián)維數(shù)越小。因此，關(guān)聯(lián)維數(shù)可用于定量描 述非線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特征。有研究表明，數(shù)據(jù)點(diǎn)在 500 點(diǎn)至 2 000 點(diǎn)之間，數(shù)據(jù)點(diǎn)與維數(shù)呈 現(xiàn)不規(guī)則變化，到 2000 點(diǎn)以后,點(diǎn)與維數(shù)基本呈現(xiàn)穩(wěn)定 2。本文采集了 1990 年 12 月 19 日 至 2008 年 11 月 22 日上海證券市場(chǎng)上證指數(shù)日收盤價(jià)的數(shù)據(jù)，共 4397 個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)。首先將原 始數(shù)據(jù)制成折線圖(如圖 1 所示)，即我們將要分析的時(shí)間序列。上 6,000.00證指數(shù) 5,000.004,000.003,000.002,000.001,000.000.001990-12-191994-8-311998-9-18日期2003-11-252007-12-28圖1 1990年12月19日至2008年11月22日上證指數(shù)時(shí)間序列圖3.2 重構(gòu)空間矢量根據(jù)已經(jīng)采集到的數(shù)據(jù)，可以得到一組數(shù)據(jù)序列為x1 , x 2 , x 3 ,k, x 4397其中 x i 是第 i 時(shí)刻采集到的上證指數(shù)日收盤價(jià)。這組數(shù)據(jù)序列即為將要分析的時(shí)間序列。 由于不知道實(shí)際的相空間的維數(shù)，可以先將這些數(shù)據(jù)嵌入一個(gè) m 維的相空間。例如當(dāng) m=5 時(shí)，令y1 = x1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5作為 5 維空間的第一個(gè)矢量 y1 ，然后將 x1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 右移一個(gè)數(shù)據(jù)，令y2 = x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6作為 5 維空間的第二個(gè)矢量 y2 ，以此類推。于是我們可以夠造出矢量 y1 , y2 ,k yn 。令rij =yi yj(1)即為矢量 yi 與 y j 端點(diǎn)間的距離。grassberger 和 procaccia 證明了當(dāng)嵌入維數(shù)大于分形維時(shí)，所求的分形維不因嵌入維數(shù) 的增加而增加，也就是說(shuō)，當(dāng)嵌入維數(shù)很大時(shí)，所求出的分形維數(shù)應(yīng)該是不變的。在實(shí)際中 我們并不知道所求的系統(tǒng)的混沌吸引子的維數(shù)是多少。對(duì)于大盤指數(shù)來(lái)說(shuō)，決定日收盤價(jià)變 化的主要因素有國(guó)家的宏觀經(jīng)濟(jì)狀況、大盤中權(quán)重股的表現(xiàn)、投資者的投資行為和心理預(yù)期 以及國(guó)際環(huán)境等。因此，在實(shí)際操作中嵌入維數(shù)可選取在 5 到 10 之間。3.3 計(jì)算矢量間距離接下我們就要計(jì)算任兩個(gè)矢量之間的距離。任給定一個(gè)實(shí)數(shù) r，把 rij r 的數(shù)目記為 n2(r)，總的點(diǎn)對(duì)數(shù)目記為 n (r)= n1(r)+ n2(r)。把距離 rij 小于 r 的所有點(diǎn) 對(duì)在所有點(diǎn)對(duì)中所占比例記為 c(r)，即 c(r)= n1(r)/n (r)。由于yi yj =y j yi ，且當(dāng) i=j 時(shí)， rij =yi yj =0，為減少計(jì)算量，在實(shí)際操作中可只取矩陣 r11kr1n mom r n1lrnn 沿對(duì)角線的上半部分或者下半部分進(jìn)行運(yùn)算。對(duì)于本例來(lái)說(shuō)，由于當(dāng) m=10 維時(shí)，n=4397-(m-1)=4388，共需 (1+2+4387)=9625078 次不重復(fù)運(yùn)算，故可以通過(guò)計(jì)算機(jī)來(lái)完 成。借助數(shù)理統(tǒng)計(jì)軟件，我們可以輕松地完成對(duì)這些數(shù)據(jù)的分析，比較著名的數(shù)理統(tǒng)計(jì)軟件 有 matlab，spss，還有經(jīng)濟(jì)學(xué)統(tǒng)計(jì)軟件 eviews，這些軟件的功能非常強(qiáng)大，不過(guò)對(duì)英語(yǔ) 和計(jì)算機(jī)水平要求較高，特別是 matlab，要懂一些計(jì)算機(jī)語(yǔ)言和編程。雖然這點(diǎn)計(jì)算量 對(duì)于計(jì)算機(jī)來(lái)說(shuō)算不了什么，但是對(duì)于不懂這些軟件的人來(lái)說(shuō)卻很難。這里介紹一種基于 excel2003 的距離計(jì)算方法，在數(shù)據(jù)量不大的情況下，這種方法不失為一種簡(jiǎn)單且行之有效 的方法。3.3.1 錄入數(shù)據(jù)這一步是最為簡(jiǎn)單的一步，實(shí)際上就是把采集到的數(shù)據(jù)點(diǎn)復(fù)制到 excel 工作表中。這樣， 我們就得到了從 a1 到 a4397 單元格的一列數(shù)據(jù)。下面所有的運(yùn)算都是基于這一列數(shù)據(jù)進(jìn)行 的。3.3.2 編寫(xiě)公式與數(shù)據(jù)處理用 excel 的一點(diǎn)好處就是，借助單元格右下方的可拖動(dòng)柄，我們可以迅速地填寫(xiě)所需要 的公式。例如當(dāng) m=10 維時(shí)，b1 單元格的公式為 (即 r12 )：=sqrt(a2-a1)2+(a3-a2)2+(a4-a3)2+(a5-a4)2+(a6-a5)2+(a7-a6)2+(a8-a7)2+(a9-a8)2+(a10-a9)2+(a11-a10)2)(2)相應(yīng)的，b2 單元格公式為 (即 r23 )：=sqrt(a3-a2)2+(a4-a3)2+(a5-a4)2+(a6-a5)2+(a7-a6)2+(a8-a7)2+(a9-a8)2+(a10-a9)2+(a11-a10)2+(a12-a11)2)(3)我們先將 b1 單元格的公式加上絕對(duì)引用，即=sqrt(a2-$a$1)2+(a3-$a$2)2+(a4-$a$3)2+(a5-$a$4)2+(a6-$a$5)2+(a7-$a$6)2+ (a8-$a$7)2+(a9-$a$8)2+(a10-$a$9)2+(a11-$a$10)2)(4)以便產(chǎn)生公式。然后雙擊拖動(dòng)柄，很快，我們就得到了 b1 到 b4397 單元格的一列數(shù)據(jù)，即 由公式自動(dòng)計(jì)算的數(shù)據(jù)，我們的目的是先找出公式，而不是數(shù)據(jù)，所以可以按“ctrl+”以顯 示公式。接著，我們把 b1 到公式復(fù)制到記事本里，再將“$”全部替換為空。這樣，我們就得 到了所有的公式。實(shí)際上，當(dāng) b1 單元格公式為式(1)時(shí)： 雙擊拖動(dòng)柄得到的一列數(shù)據(jù)即是矩陣 r11kr1,4388 momr4388,1lr4388,4388 中的沿對(duì)角線的一列數(shù)據(jù) r12 , r23 , r34 ,k,k r4387 ,4388 。同樣地，將 c1 單元格定義為(即 r13 )：=sqrt(a3-a1)2+(a4-a2)2+(a5-a3)2+(a6-a4)2+(a7-a5)2+(a8-a6)2+(a9-a7)2+(a10-a8)2+(a11-a9)2+(a12-a10)2)(5)d1 單元格定義為(即 r14 )：=sqrt(a4-a1)2+(a5-a2)2+(a6-a3)2+(a7-a4)2+(a8-a5)2+(a9-a6)2+(a10-a7)2+( a11-a8)2+(a12-a9)2+(a13-a10)2)(6) 以此類推。然后我們通過(guò)雙擊拖動(dòng)柄就實(shí)現(xiàn)了 rij 的運(yùn)算。需要注意的是，excel 的一張工作表是 65535 行，256 列，所以當(dāng) m=5 時(shí)，我們無(wú)法將所有公式都放入到一張表中。所以我把這 4397 個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)大概分成每張工作表 220 列數(shù)據(jù)， 分別放入 20 個(gè)工作表中。這樣，我們就完成了 rij 的全部計(jì)算。由于計(jì)算機(jī)的性能不同，計(jì) 算時(shí)間也不同，筆者的計(jì)算機(jī)采用 pentium（r）4 2.80ghz 的 cpu，256m 內(nèi)存，運(yùn)算時(shí)間 大約為 20 分鐘。3.3.3 數(shù)據(jù)裁剪在上述過(guò)程中由于 excel 在計(jì)算公式時(shí)會(huì)引用到空的單元格，所以必須裁剪去無(wú)效的數(shù) 據(jù)，比較人性化的是，excel 在引用公式出錯(cuò)時(shí)會(huì)在該單元格的左上方顯示一個(gè)綠色小三角 形，我們需要做的就是刪除這些帶綠色三角形的單元格內(nèi)的無(wú)效數(shù)據(jù)。由于無(wú)效數(shù)據(jù)呈三角 區(qū)域分布，而 excel 只能拖動(dòng)出矩形框，所以我們需要裁剪這些數(shù)據(jù)。這里也可以編寫(xiě)宏命 令來(lái)快速實(shí)現(xiàn)。3.3.4 得出結(jié)論在完成了上述計(jì)算之后，我們得到的就是 rij 的距離矩陣： r11kr1,4388 mom 沿對(duì)角線的上半部分或者下半部分。r4388,1lr4388,4388 現(xiàn)在要做的就是任給定一個(gè)實(shí)數(shù) r，把 rij r 的數(shù)目記為 n2(r)，總的點(diǎn)對(duì)數(shù)目記為 n (r)= n1(r)+ n2(r)。我們可以運(yùn)用 excel 中的 countif(range,criteria)公式來(lái) 實(shí)現(xiàn)。不過(guò)我們得把這個(gè)矩陣“變瘦”，因?yàn)?excel 一張工作表只有 256 列。把距離 rij 小于 r 的所有點(diǎn)對(duì)在所有點(diǎn)對(duì)中所占比例記為 c(r)，即 c(r)= n1(r)/n (r)。對(duì) 于 m=10 維來(lái)說(shuō)，n (r)= 4 388 2 =19254544。之后我們分別對(duì) r，c(r)取對(duì)數(shù)，就得到了一堆 點(diǎn) (r1 , c (r1 ), (r2 , c (r2 ), (r3 , c (r3 ),l需要注意的是，計(jì)算結(jié)果與 r 的取值有關(guān)。如果 r 取值太大，那么一切 rij 都不會(huì)超過(guò) r，這時(shí) n1(r)=n (r)，c(r)=1，取對(duì)數(shù)后 ln c(r)=0，這樣的 r 無(wú)法反映系統(tǒng)的內(nèi)部性質(zhì)，沒(méi)有意 義；如果 r 取值太小，那么所有的 rij 都大于 r，此時(shí) n1(r)=0，c(r)=0，也沒(méi)有意義。適當(dāng)?shù)卣{(diào)整 r 的范圍，可能在一段范圍里有c (r) = r v其中指數(shù) v 是一種維數(shù)，關(guān)聯(lián)維數(shù)即為(7)式中 c (r) 通常有如下形式：d= limx0ln c(r)ln(r )(8)c (r) = 1nn (r y y1)=nn (r r )(9)n2 ijijn2 ijij式中 ( x) 是 heaviside 函數(shù)，且有1，當(dāng) ( r rij ) 0 時(shí)ij (r rij ) = 0 ，當(dāng) ( r r) 0 時(shí) (10)3.4 線性回歸分析最后我們只需在 lnc(r)-ln(r)曲線上求出直線段部分的斜率即可(如圖 2 ，圖 3)。適當(dāng)?shù)?調(diào)整 r 的大小使之出現(xiàn)無(wú)標(biāo)度區(qū)，即點(diǎn)集近似在一條直線上。lnc(r)-3.0000000-4.0000000-5.0000000-6.0000000-7.0000000-8.00000003.50000004.00000004.5000000ln(r)5.0000000圖2 m=10維時(shí)關(guān)聯(lián)維數(shù)的計(jì)算 (d=2.267)m=10 時(shí)的雙對(duì)數(shù)圖如圖 2。進(jìn)行線性回歸，回歸方程為：y = 2.267 x 14.884r2 = 0.998其中 2.267 即為所求的關(guān)聯(lián)維數(shù)。lnc(r)-3.0000000-4.0000000-5.0000000-6.00000003.50000003.75000004.00000004.25000004.50000004.7500000ln(r)圖3 m=5維時(shí)關(guān)聯(lián)維數(shù)的計(jì)算 (d=1.987)最后嵌入維數(shù)和關(guān)聯(lián)維數(shù)的結(jié)果如表 1 所示。表 1 嵌入維數(shù)和關(guān)聯(lián)維數(shù)的運(yùn)算結(jié)果嵌入維數(shù)(m)關(guān)聯(lián)維數(shù)(d)51.98762.14272.22382.28692.231102.2674.結(jié)論本文采用 g-p 算法，應(yīng)用 excel2003 找出了 1990 年 12 月 19 日至 2008 年 11 月 22 日上 海證券市場(chǎng)上證指數(shù)日收盤價(jià)關(guān)聯(lián)維數(shù)為 2.267，即證券市場(chǎng)運(yùn)行系統(tǒng)的混沌吸引子的維數(shù)。 這說(shuō)明雖然股票市場(chǎng)運(yùn)行千變?nèi)f化，但并不是某些人所謂毫無(wú)規(guī)律可言。雖然決定市場(chǎng)的因 素非常多，但是本質(zhì)因素卻只有 2 個(gè)，只要 2 個(gè)因素就能決定整個(gè)系統(tǒng)的趨勢(shì)。雖然我國(guó)股 票市場(chǎng)雖然不成熟，各種控制機(jī)制有待健全，但是總體上來(lái)說(shuō)股市具有穩(wěn)定性結(jié)構(gòu)，只不過(guò) 在表現(xiàn)上呈現(xiàn)出混沌規(guī)律。參考文獻(xiàn)1 王衛(wèi)寧、汪秉宏、史曉平股票價(jià)波動(dòng)的混沌行為分析j數(shù)量經(jīng)濟(jì)技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究：141-147，2004 年第 4 期2 于青關(guān)聯(lián)維數(shù)計(jì)算的分析研究j天津理工學(xué)院學(xué)報(bào)：60-62，2004 年 12 月第 20 卷第四期3 高紅兵、潘瑾、陳宏民深圳成分股指數(shù)收益率序列的分形維j預(yù)測(cè)：50-51，2000 年第 6期4 郭嗣琮、陳剛信息科學(xué)中的軟計(jì)算方法m東北大學(xué)出版社，2001 年 11 月the correlation dimension of the shanghai stock exchangecomposite indexchen nancollege of business administration, liaoning technical university, huludao, liaoning (125105)abstractcorrelation dimension is an important parameter of describing non-linear time series quantitatively andis recently widely used in character-description of bio-medical aspects, such as eeg, ecg signals. now not only experimental physicist and physiologist, but also some economists have mastered this method to process data and solve problems. compared to hausdorff dimension