我的計(jì)算能力很差連做簡單的加法都很少不出錯(cuò)法龐加萊.ppt

1,我的計(jì)算能力很差，連做簡單的加法都很少不出錯(cuò)。 法龐加萊,數(shù) 感 湖南省教科院 黃澤成,2,“數(shù)感” 這一術(shù)語的提出，傳遞了一個(gè)清晰的信息：發(fā)展數(shù)感必須成為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)最重要的目標(biāo). 關(guān)于數(shù)的教學(xué)要超越“計(jì)算訓(xùn)練”，讓學(xué)生在數(shù)的學(xué)習(xí)過程中獲得更豐富的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)和體驗(yàn),學(xué)到更好的數(shù)學(xué). “數(shù)感”的提出，涉及到小學(xué)數(shù)學(xué)課程改革的全部：教學(xué)的目標(biāo)、內(nèi)容、策略、方法與評(píng)價(jià)等等。,3,數(shù)感使人眼中看到的世界有了量化的意味 當(dāng)我們遇到可能與數(shù)學(xué)有關(guān)的具體問題時(shí)，就能自然而然地、有意識(shí)地與數(shù)字聯(lián)系起來，或者試圖進(jìn)一步用數(shù)學(xué)的眼光和方法來處理和解釋 。,4,本講的主線,一、什么、為什么 二、案例 三、菜單 四、教學(xué)策略,5,（一） 什么？ 為什么？,6,國內(nèi)數(shù)感研究,1.馬云鵬：(東北師大） 數(shù)感是人對(duì)數(shù)與運(yùn)算的一般理解，這種理解可以幫助人們用靈活的方法做出數(shù)學(xué)判斷，和為解決復(fù)雜的問題選擇有用的策略。 數(shù)感是一種主動(dòng)地、自覺的或自動(dòng)化的理解和運(yùn)用數(shù)的態(tài)度和意識(shí)。 數(shù)感是人的一種基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)。它是建立清晰的數(shù)概念和有效地進(jìn)行計(jì)算等數(shù)學(xué)活動(dòng)的基礎(chǔ)，是將數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)問題聯(lián)系的橋梁。,7,國內(nèi)數(shù)感研究,2.鄭毓信：（南京大學(xué) ） 與數(shù)學(xué)能力即：計(jì)算能力、分辨能力、估算能力等相比，強(qiáng)調(diào)發(fā)展學(xué)生的數(shù)感傳達(dá)了一種新的涵義。 數(shù)感與語感、方向感、美感、質(zhì)感等都代表一種能力，但與能力相比又都含有一種“直覺感”。而數(shù)感通常又并非是一種直覺的過程，仿佛已經(jīng)成為了主體的一種本領(lǐng)，一種直接的感知，從而在很多情況下甚至是說不清、道不明的。,8,國內(nèi)數(shù)感研究,葉蓓蓓（廣西師大） 數(shù)感是以“數(shù)概念”在人腦中的擴(kuò)展而產(chǎn)生的一種對(duì)數(shù)學(xué)問題的敏感。是一種對(duì)數(shù)字和數(shù)量的直覺，并且是一種敏捷的感知，她可以在較短的時(shí)間里通過對(duì)數(shù)學(xué)的“第一印象”反應(yīng)為數(shù)學(xué)問題，用數(shù)去表示量幫助學(xué)生從感知的層面轉(zhuǎn)到數(shù)學(xué)思維。 數(shù)感是一種具有培養(yǎng)性的直覺，它通過對(duì)“數(shù)概念的擴(kuò)展和延伸反應(yīng)為數(shù)學(xué)感知不斷提升的靈敏性。 數(shù)感作為直覺，它具有非邏輯性、非演繹性，反應(yīng)時(shí)間短，穩(wěn)定性差等特點(diǎn)。,9,國內(nèi)數(shù)感研究,4.史寧中（東北師大）： 數(shù)感就是對(duì)數(shù)的感悟。 感外部刺激作用于主體而產(chǎn)生。是通過肢體、感官而非大腦思維，它含有原始的、經(jīng)驗(yàn)的成分。 悟是主體自身的，通過大腦思維而產(chǎn)生的。 對(duì)數(shù)的感悟，是既含有感知的成分，有含有思維的成分。,10,國內(nèi)數(shù)感研究,5.徐文彬：（南京師大） 數(shù)感的“感悟說”，既割離了人的感性認(rèn)識(shí)與理性認(rèn)識(shí)之間的聯(lián)系，又簡單地把二者粘帖在一起。 數(shù)感的“直覺說”，既不利于對(duì)數(shù)感的認(rèn)識(shí)，又不利于對(duì)學(xué)生數(shù)感的培養(yǎng)。 “敏感說”，混淆了數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)觀。 數(shù)感是對(duì)數(shù)字關(guān)系和數(shù)字模式的意識(shí)，以及運(yùn)用這種意識(shí)靈活地解決數(shù)字問題的能力。,11,什么是“數(shù)感” 簡單的回答：關(guān)于數(shù)的一種很好的直覺（包括與之有關(guān)的各種關(guān)系） 每個(gè)學(xué)生都有自己特有的“數(shù)的世界” ：概念的、直覺的與計(jì)算的這個(gè)“數(shù)的世界” 是如此的豐富多彩，很難用“計(jì)算技能”等來表達(dá)。 “數(shù)感”一詞能更好的反映這種多樣性 具有這種直覺 學(xué)生才能以一種“智慧”的方式來使用數(shù),12,“數(shù)感”到哪里去形成？ 它是在豐富的、多樣的實(shí)踐活動(dòng)中逐漸發(fā)展起來的（包括生活經(jīng)驗(yàn)）： 數(shù)學(xué)課程為學(xué)生提供了大量的實(shí)踐機(jī)會(huì)； 日常經(jīng)驗(yàn)也是學(xué)生“數(shù)感” 發(fā)展的重要資源,13,在實(shí)踐活動(dòng)中： 學(xué)生感受到數(shù)的具體存在（模型）； “看”到數(shù)的作用； 用各種方法表示這些數(shù)； 用數(shù)解決遇到的問題； 對(duì)數(shù)進(jìn)行“計(jì)算”操作； 用數(shù)進(jìn)行交流； 對(duì)數(shù)的各種關(guān)系進(jìn)行探索； 在這個(gè)“潤物細(xì)無聲” 的積累過程中，每個(gè)學(xué)生都形成自己特有的“數(shù)的世界”（數(shù)感） ：概念的、直覺的與計(jì)算的,14,為什么要強(qiáng)調(diào)“數(shù)感”？ 為什么在談“數(shù)的概念”的同時(shí)，還要強(qiáng)調(diào)“數(shù)感”的發(fā)展？ 一種共識(shí)，一種共同的追求： 一方面 數(shù)學(xué)不是“知識(shí)與計(jì)算”的簡單堆砌； 數(shù)學(xué)不是“冷冰冰的靜物” ！ 在學(xué)生心目中的“數(shù)”也不應(yīng)當(dāng)是一堆干巴巴的數(shù)字加上一些機(jī)械的計(jì)算程序！ 我們的學(xué)生也不應(yīng)當(dāng)僅僅是能進(jìn)行熟練計(jì)算的“計(jì)算器”！,15,另一方面 “數(shù)感”的提出反映了我們的價(jià)值追求： 期望學(xué)生能夠?qū)W到更好的數(shù)學(xué)！學(xué)到有意義（能夠領(lǐng)會(huì)和使用）的數(shù)學(xué)！ 對(duì)“數(shù)感”的強(qiáng)調(diào)，正反映了這種追求： 數(shù)是一個(gè)復(fù)雜的概念. 關(guān)于數(shù)的教學(xué)應(yīng)當(dāng)超越數(shù)的計(jì)算訓(xùn)練，使學(xué)生發(fā)展對(duì)數(shù)的更豐富的體驗(yàn)與認(rèn)識(shí)，包括形成更靈活的關(guān)于數(shù)的直覺。,16,數(shù)感的教育價(jià)值,我國學(xué)者普遍認(rèn)為， 數(shù)感的培養(yǎng)： 有助于學(xué)生數(shù)學(xué)地理解和解釋現(xiàn)實(shí)問題； 有助于學(xué)生提出問題和解決問題的提高； 有助于學(xué)生發(fā)展心算 估算等技巧； 有助于發(fā)展學(xué)生創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力。,17,（二） 案 例 “數(shù)感”有哪些具體表現(xiàn)? 我們的教師能從行為與言談中,敏銳的發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)于數(shù)的理解, 了解學(xué)生是如何把握數(shù)的,18,學(xué)生對(duì)數(shù)的“感悟” 會(huì)以各種方式表現(xiàn)出來，是處處“可見”的：它既見諸于解決數(shù)學(xué)問題的過程,也表現(xiàn)在日常行為之中. 計(jì)算技能仍然是“數(shù)感” 的構(gòu)成要素之一，但僅僅是“之一”而已。 學(xué)生的“數(shù)感”，他們的“數(shù)的世界”遠(yuǎn)比這要豐富。重要的是從各種不同角度來認(rèn)識(shí)數(shù),感受數(shù),形成關(guān)于數(shù)的更加豐滿的體驗(yàn).,19,案例1 女孩數(shù)數(shù)(弗賴登塔爾) 一年級(jí)小女孩學(xué)習(xí)寫數(shù).她寫下： 1, 2, 3, 9 (這時(shí)需要幫一下) 10,11, 12, 19 (這時(shí)又可能需要幫一下) 90, 99 (這時(shí)需要幫一下) 100, 109 110, 199 寫到1024. 到此,她不愿再寫下去了,說道: 就這樣繼續(xù)下去!,20,您對(duì)這個(gè)活動(dòng)有何評(píng)論？ 這個(gè)女孩學(xué)到了什么？ 你的評(píng)價(jià)有什么依據(jù)？,21, 這是很了不起的！ “就這樣繼續(xù)下去！”這就是數(shù)學(xué)。 對(duì)人類來講，對(duì)這個(gè)女孩來講，她正 在創(chuàng)造自己最早的數(shù)學(xué)，而且是偉大 而又重要的數(shù)學(xué)，還是最深?yuàn)W的數(shù) 學(xué)。,22,依據(jù)： 表面上看，寫在紙上的數(shù)列還在繼續(xù)，但準(zhǔn)確的講，這是數(shù)的記號(hào)在繼續(xù)，是符號(hào)的延續(xù)。 這個(gè)女孩突然發(fā)現(xiàn)了寫出所有數(shù)的，非常 簡單的原理：0的后繼是1，。（后繼） 她也知道，這可以無限的進(jìn)行下去。由此 可以斷言，她已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了無限。 這在數(shù)學(xué)上是了不起的。這正是數(shù)學(xué)的出發(fā)點(diǎn)，也是數(shù)學(xué)的歸宿。,23,“就這樣繼續(xù)下去”的原理貫穿于全部算術(shù)，無論是時(shí)間的無限，還是空間的無限，都靠這個(gè)原則去把握。 無論從歷史的，發(fā)生學(xué)的還是從系統(tǒng)論的角度看，數(shù)的序列都是數(shù)學(xué)的基石?？梢哉f，沒有數(shù)的序列就沒有數(shù)學(xué)。 問題：你如何解釋這一觀點(diǎn)？ 所有無限過程，如都是想象為時(shí)間上的無窮無盡。,24,發(fā)現(xiàn)學(xué)生 以上這些分析對(duì)我們的啟示: 熱情 教師應(yīng)當(dāng)以巨大智慧與熱情，“如數(shù)家珍” 似的鑒賞 學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)程： 從平凡中發(fā)現(xiàn)偉大，發(fā)現(xiàn)具有潛在價(jià)值的 “苗子”。 問題 如何發(fā)現(xiàn)學(xué)生活動(dòng)的價(jià)值？ 這樣分析的依據(jù)是什么？ 智慧 這就是數(shù)感！ 從數(shù)學(xué)本身的角度 后繼與無限、序數(shù)； 從學(xué)生發(fā)展的角度看 頓悟！,25,案例 睡蓮問題,26,睡蓮問題(數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練) 湖面有一片睡蓮,它的覆蓋面積每天要擴(kuò)大一倍.到第28天,這片睡蓮恰好蓋滿湖面. 問:這片睡蓮要用幾天才能蓋滿該湖面的一半?,27,4個(gè)六年級(jí)的學(xué)生在討論一道題,他們的老師站在一邊看著，并將談話記錄下來,然后再整理之. 學(xué)生: 甲、乙、丙和丁 教師: T 問題: 從下面所提供的這個(gè)活動(dòng)，您觀察到什么？關(guān)注什么信息?,28,甲 嗨,這題有點(diǎn)意思! 乙 那還不變臭啦. 丙 睡蓮活不了 28 天! 甲 怪題. 丙 1 天 、1 平方寸. 加倍, 2 平方寸, 4 , 8 , 16 , 32 , 64 , 128 乙 可我們不知道池塘有多大. 丁 我知道,它在28天蓋滿池塘. 246. 丙 不! 256. 丁 你是對(duì)的; 312 , 不 412 , 不 512 ,不,錯(cuò)了 2048, 8002.,29,乙 你干什么呢? 甲 他錯(cuò)了. 乙 我跟你想的不一樣.它要你求多長,沒問你有 多大. 甲 那你也得知道有多大 (這時(shí)其他人都在計(jì)算,并且對(duì) 2 的多少次方的得數(shù)很感興趣,直到 16384。) 丁 現(xiàn)在我們做到 15了. 丙 現(xiàn)在該做什么了? 乙 還得繼續(xù)求它的大小,我們還沒有求出要用 多長時(shí)間(繼續(xù)求),30,T 再讀一遍題. 乙 哈,27個(gè)晚上 沒意思. 我懂了真傻! 太容易了! 其他人: 太明顯了. （結(jié)束）,31,65536 65536 131072,32 768 32 768 65 536,4096 4096 8412,16384 16384 32768,1 2 4 8 16 32 64 128 256 5 12 1024 20 43 4 0 96 8 1 82 103 84 32708 655 36 13 10 12 27個(gè)晚上,32,問題: 從以上活動(dòng)，您注意到什么？ 學(xué)生的解題過程大致有什么特點(diǎn)？ 他們遇到了什么困難？他們使用的策略是什么？ 學(xué)生是如何使用數(shù)的？ 當(dāng)學(xué)生以小組合作形式進(jìn)行探究(問題解決)活動(dòng)時(shí)，數(shù)學(xué)教師還關(guān)心什么？ 每個(gè)學(xué)生的學(xué)習(xí)方式有何特點(diǎn)？ 他們?cè)趺春献鞯?？每個(gè)人的作用 是什么？,33,案例3 “千和萬的認(rèn)識(shí)” 湖南一師二附小 林 玲 二年級(jí)下 2008年5月25日 教師出示用透明塑料口袋包裝的花生米,問學(xué)生: “有多少花生米?” 學(xué)生回答: 1千! 5萬! 10萬! ,34,目的： l 從時(shí)間與空間上認(rèn)識(shí)計(jì)數(shù)單位百、千和萬； l 知道相鄰兩個(gè)計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)率是“10”； l 掌握個(gè)位至萬的數(shù)位順序； l 會(huì)讀寫整百、整千和整萬。 學(xué)具： 花生米、杯子、大小不等的容器、計(jì)數(shù)器等。,35,教學(xué)過程 1 出示用透明塑料口袋包裝的花生米,問學(xué)生: “有多少花生米?” 學(xué)生回答: 1千,5萬,1 0萬 2 認(rèn)識(shí)千和萬的活動(dòng) 十個(gè)十是一百。選擇恰當(dāng)?shù)娜萜?，?shù)一百?；ㄉ?，裝入之； 十個(gè)一百是一千。選擇恰當(dāng)?shù)娜萜?，?shù)一千粒花生，裝入之； 十個(gè)一百是一千。數(shù)一萬?；ㄉ?，選擇恰當(dāng)?shù)娜萜?，裝入之。,36,提出的問題 你能說出一些比一百大的數(shù)嗎？ 猜一猜，塑料袋里有多少花生米？ 這里有100?；ㄉ?，你能根據(jù)這100粒花生占有的空間，選擇恰當(dāng)?shù)娜萜?，裝一千?；ㄉ鷨?？ 你們是用什么方法數(shù)出一千?；ㄉ? 裝一萬粒花生呢？ 數(shù)100?；ㄉ枚嗌贂r(shí)間？（為了統(tǒng)計(jì)數(shù)花生所用的時(shí) 間，可以分組活動(dòng)，并適當(dāng)?shù)姆止ぁ＃?假設(shè)第一小組數(shù)100?；ㄉ昧? 分鐘，問：用同樣的方法數(shù)1000?；ㄉ?，大約要用多少時(shí)間？ 問：用同樣的方法，數(shù)1000?；ㄉ?，大約要用多少時(shí)間？ 你能用其他方法數(shù)嗎？ 你能用自己喜歡的方法來表現(xiàn):1，10，100，1000和10000的大小嗎?,37,評(píng)論: 老師提出的問題都有效嗎？ 為什么學(xué)生的估計(jì)差異如此之大? 一些師范大學(xué)畢業(yè)生回顧過去數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí),都有一個(gè)共同的感受: 缺乏“數(shù)感”. 討論: 感受大數(shù) 感受大數(shù)的基礎(chǔ)是對(duì)“大數(shù)”本身的認(rèn)識(shí): 100；1000；10000， 從數(shù)學(xué)本身的角度: 10n. 從數(shù)學(xué)與生活實(shí)際的結(jié)合的角度(從時(shí)間和空間),38,幾種主要的數(shù)感能力, 數(shù)數(shù)、認(rèn)數(shù)、序數(shù)、基數(shù) 模式 數(shù)物對(duì)應(yīng)、圖形 關(guān)系與聯(lián)系 估算、計(jì)算、比較 問題解決,39,（三） 菜 單 能把“數(shù)感”所包含的內(nèi)容說得更具體些嗎？（象開一張“菜單”）,40,“數(shù)感” 包括如下成分: 1、理解數(shù)的意義； 2、用多種方法表示數(shù)； 3、能在具體情景中把握數(shù)的大小關(guān)系； 4、用數(shù)表達(dá)和交流信息； 5、能為解決問題而選擇適當(dāng)?shù)乃惴ǎ?6、能估計(jì)運(yùn)算的結(jié)果; 7、能對(duì)結(jié)果的合理性做出解釋。 -數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn),41,數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(修訂稿),數(shù)感主要是指: 1、關(guān)于數(shù)與數(shù)量表示； 2、數(shù)量的大小比較； 3、對(duì)數(shù)量的估計(jì)； 4、對(duì)運(yùn)算結(jié)果的估計(jì)； 5、對(duì)各種數(shù)量關(guān)系的感悟. 建立數(shù)感有助于學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)的意義,理解或表述具體情境中數(shù)量關(guān)系。,42,對(duì)“數(shù)的意義” 的理解 重要的是認(rèn)識(shí)與感受 “數(shù)”的意義，特別是“數(shù)” 所包含的模式. 從可感知的現(xiàn)實(shí)背景, 理解數(shù)的實(shí)際含義：一朵花有六個(gè)花瓣,而那朵花也有六個(gè)花瓣。而后數(shù) “六” 成為抽象的獨(dú)立事物. 這就是模式! 我們不要孤立的看數(shù). 例1中的那個(gè)女生，她感受到了“繼續(xù)下去”,知道“0的后面是1”，“1 的后面是2”， 發(fā)現(xiàn)了“后繼數(shù)”! 這就是最重要的模式或規(guī)律,43,學(xué)生抽象思維的發(fā)展可能會(huì)存在巨大的差異. 例如, 有的學(xué)生可能很難把分?jǐn)?shù)“1/2” 與具體的”西瓜”、“蛋糕” 分開。 我們應(yīng)當(dāng)允許學(xué)生在不同的抽象水平理解數(shù), 等待并創(chuàng)造機(jī)會(huì)使這些學(xué)生逐步越上新的思維水平。,44,用符號(hào)表示數(shù) 人們發(fā)明了各種符號(hào)表示數(shù).學(xué)生要經(jīng)歷與體驗(yàn)關(guān)于數(shù)的符號(hào)的發(fā)生過程, 理解”位值” (各種進(jìn)位法)這一重要的表示法. 多種表示 例1中的那個(gè)女生正是從數(shù)的符號(hào)中,看到了某種模式.,45,計(jì)算與估算 計(jì)算本身就是“數(shù)系”的一個(gè)有機(jī)部分.根據(jù)規(guī)則對(duì)數(shù)（數(shù)學(xué)符號(hào)）進(jìn)行操作,這是“數(shù)感” 的重要內(nèi)容. 但計(jì)算應(yīng)當(dāng)是有意義的活動(dòng),而不是“符號(hào)游戲”! 例2 學(xué)生丙 擅長計(jì)算, 他最后算出了215 !但對(duì)筆下的215意味著什么,卻麻木不仁. 學(xué)生乙 卻能以一種“聰明”的方式來使用數(shù).,46,l 數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系 “數(shù)系”的另一個(gè)有機(jī)部分是數(shù)之間的關(guān)系（例如大小關(guān)系）. 計(jì)算也是揭示數(shù)之間關(guān)系的重要手段.除了根據(jù)“算法”，可以對(duì)數(shù)作精確的比較外，還能憑直覺的感知，判斷這個(gè)數(shù)很大，那個(gè)數(shù)比較小。 在 例2中，當(dāng)學(xué)生把28天和睡蓮聯(lián)系起來后，便得出結(jié)論：睡蓮活不了這么久，會(huì)變腐爛的！ 例3中的學(xué)生顯然不能想象“10萬粒黃豆”有多少！,47,交 流 在交流中，恰當(dāng)?shù)挠脭?shù)表達(dá)和解釋信息 這涉及到觀察，對(duì)現(xiàn)實(shí)事物中的數(shù)具有敏銳感知，也涉及到用數(shù)來描述周邊的事物（例如，事物的大小、門牌號(hào)數(shù)等）。 交流是雙向的： 會(huì)講. 會(huì)聽：當(dāng)他人的講述用到數(shù)來交流信息時(shí)，能根據(jù)背景理解數(shù)的含義，并能進(jìn)行交流。,48,解決問題 對(duì)于遇到的問題(包括生活中問題), 能有應(yīng)用數(shù)的意識(shí),并能恰當(dāng)?shù)倪x擇數(shù)及算法。 進(jìn)行觀察 提出問題 做出判斷 構(gòu)造假設(shè) 做出選擇 實(shí)施計(jì)劃 自我監(jiān)督 合作交流 計(jì)算結(jié)果的估測(cè) 評(píng)價(jià)反思,數(shù),49,(四) 教學(xué)策略 如何培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)感”?,50,發(fā)展“數(shù)感” 使我們的教師擺脫了某些束縛, 從而獲得了更大的自由, 使教師能在教學(xué)方法上有更多的選擇。 從新的視角認(rèn)識(shí)與揚(yáng)棄傳統(tǒng)的成功教學(xué)經(jīng)驗(yàn)。 關(guān)鍵是: 為了發(fā)展對(duì)數(shù)的更豐富的體驗(yàn)與認(rèn)識(shí)，包括形成更靈活的關(guān)于數(shù)的直覺(對(duì)數(shù)的駕馭能力), 我們不再把目光集中在狹小的 “計(jì)算訓(xùn)練”范圍。,51,l 注意現(xiàn)實(shí)與數(shù)量的聯(lián)系 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)好傳統(tǒng)也許是：注意聯(lián)系實(shí)際。 對(duì)數(shù)感的強(qiáng)調(diào)，也許能使我們更好發(fā)揚(yáng)這個(gè)傳統(tǒng), 從“數(shù)感”發(fā)展的角度，設(shè)計(jì)