概率論與數(shù)理統(tǒng)計1.4節(jié).ppt

例1 已知袋中有5只紅球, 3只白球.從袋中 有放回地取球兩次,每次取1球.,設(shè)第 i 次,求,取得白球為事件 Ai ( i =1, 2 ) .,解,1.6事件的獨立性,1.6獨立性,事件 A1 發(fā)生與否對 A2 發(fā)生的概率沒有影 響可視為事件A1與A2相互獨立,定義,設(shè) A , B 為兩事件，若,則稱事件 A 與事件 B 相互獨立,兩事件相互獨立的性質(zhì),兩事件 A 與 B 相互獨立是相互對稱的,若,若,若,則“事件 A 與 事件 B 相互獨立”和 “事件 A 與 事件 B 互斥” 不能同時成立 (自行證明),四對事件,任何一對相互獨立,則其它三對也相互獨立,試證其一,事實上,三事件 A, B, C 相互獨立 是指下面的關(guān)系式同時成立：,注：1) 關(guān)系式(1) (2)不能互相推出 2)僅滿足(1)式時,稱 A, B, C 兩兩獨立,(2),定義,例2 有一均勻的八面體, 各面涂有顏色如下,將八面體向上拋擲一次, 觀察向下一面 出現(xiàn)的顏色。,設(shè)事件,例2,則,但,本例說明不能由關(guān)系式(2)推出關(guān)系式(1),例3 隨機投擲編號為 1 與 2 的兩個骰子 事件 A 表示1號骰子向上一面出現(xiàn)奇數(shù) B 表示2號骰子向上一面出現(xiàn)奇數(shù) C 表示兩骰子出現(xiàn)的點數(shù)之和為奇數(shù),則,但,例3,n 個事件 A1, A2, , An 相互獨立 是指下面的關(guān)系式同時成立,定義,例4 已知事件 A, B, C 相互獨立,證明事件,證,例4,若 n 個事件 A1, A2, , An 相互獨立,將這 n 個事件任意分成 k 組,同一個事件不能 同時屬于兩個不同的組,則對每組的事件 進行求和、積、差、對立等運算所得到 的 k 個事件也相互獨立.,命題,利用獨立事件的性質(zhì) 計算其并事件的概率,若 A1, A2, , An 相互獨立, 則,當 ，則,特別，,例5 設(shè)每個人的血清中含肝炎病毒的概率 為0.4%, 求來自不同地區(qū)的100個人的 血清混合液中含有肝炎病毒的概率,解 設(shè)這100 個人的血清混合液中含有肝炎 病毒為事件 A, 第 i 個人的血清中含有 肝炎病毒為事件 Ai i =1,2,100,則,例5,若Bn 表示 n 個人的血清混合液中含有肝 炎病毒，則, 不能忽視小概率事件, 小概率事件遲早要發(fā)生,一個元件(或系統(tǒng))能正常工作的概率稱為 元件(或系統(tǒng))的可靠性,系統(tǒng)由元件組成,常見的元件連接方式：,串聯(lián),并聯(lián),例6,設(shè) 兩系統(tǒng)都是由 4 個元件組成,每個元件 正常工作的概率為 p , 每個元件是否正常工 作相互獨立.兩系統(tǒng)的連接方式如下圖所示， 比較兩系統(tǒng)的可靠性.,S1:,S2:,注 利用導數(shù)可證, 當 時, 恒有,公,Bayes,式,在醫(yī)學上的應用,應用,應用舉例 腸癌普查,設(shè)事件 表示第 i 次檢查為陽性,事件B,表示被查者患腸癌,已知腸鏡檢查效果如下：,某患者首次檢查反應為陽性, 試判斷該,患者是否已患腸癌？ 若三次檢查反應均為,陽性呢？,由Bayes 公式得,首次檢查反應為陽性 患腸癌的概率并不大,接連兩次檢查為陽性 患腸癌的可能性過半,兩次檢查反應均為陽性,還不能斷,定患者已患腸癌.,連續(xù)三次檢查為陽性,幾乎可斷定已患腸癌,習題,1. 某型號火炮的命中率為0.8, 現(xiàn)有一架 敵機即將入侵，如果欲以 99.9 % 的概率 擊中它，則需配備此型號火炮多少門？,補充作業(yè),2. 設(shè),則正確結(jié)論是( ).,不相容;,且,相互獨立;,不相互獨立.,相互對立;,補充作業(yè)解答,1. 設(shè)需配備 n 門此型號火炮 設(shè)事件 表示第 i 門火炮擊中敵機,故需配備 5 門此型號火炮 .,2. 選C.,事實上可以證明,若,則,相互獨立,證,相互獨立,若,若,則,獨立.,n重Bernoulli試驗中事件 A 出現(xiàn) k 次的概率 記為,且,伯努利試驗,例7 袋中有3個白球,2個紅球,有放回地取球 4 次,每次一只,求其中恰有2個白球的概率.,解 古典概型,設(shè) B 表示4個球中恰有2個白球,例7,解二 每取一個球看作是做了一次試驗,記取得白球為事件 A ，,有放回地取4個球看作做了 4 重Bernoulli 試驗, 記第 i 次取得白球為事件 Ai,感興趣的問題為:4次試驗中A 發(fā)生2次的概率,一般地，若,則,例8 八門炮同時獨立地向一目標各射擊一 發(fā)炮彈,若有不少于2發(fā)炮彈命中目標時,目 標就被擊毀.如果每門炮命中目標的概率為 0.6, 求目標被擊毀的概率.,解 設(shè) i 門炮擊中目標為事件Ai, i=28,標被擊毀為事件B,各炮命中概率 p = 0.6, 則,例8,設(shè)目,某市進行藝術(shù)體操賽, 需設(shè)立兩個裁 判組, 甲組3名,乙組1名. 但組委會只召集 到3名裁判, 由于臨近比賽, 便決定調(diào)一名 不懂行的人參加甲組工作, 其中兩裁判獨 立地以概率 p 作出正確裁定,而第三人以 擲硬幣決定, 最后根據(jù)多數(shù)人的意見決定. 乙組由 1 個人組成, 他以概率 p 做出正確 裁定. 問哪一組做出正確裁定的概率大 ?,每周一題3,問 題,第 3 周,伯努利 Jacob Bernoulli 1654-1705 瑞士數(shù)學家,概率論的奠基人,伯努利,此外對對數(shù)螺線深有研究, 發(fā)現(xiàn) 對數(shù)螺線經(jīng)過各種變換后, 結(jié)果還是 對數(shù)螺線,在驚嘆此曲線的奇妙之余, 遺言把對數(shù)螺線刻在自己的墓碑上, 并附以頌詞:,縱使變化,依然故我,1695年提出著名的伯努利方程,1713年出版的巨著推測術(shù),是 組合數(shù)學及概率史的一件大事.書中給 出的伯努利數(shù)、伯努利方程、伯努利 分布等, 有很多應用, 還有伯努利定理, 這是大數(shù)定律的最早形式.,解 設(shè)取出的5個數(shù)按由小到大排列為,雜例 從 1,2, ,10 十個數(shù)字中有