石油大學彈性力學10.ppt

1,Chapter 10 Torsion,2,第十章 扭 轉,3,第10章 扭 轉,10-1 等截面直桿的扭轉,10-2 橢圓截面桿的扭轉,10-3 薄膜比擬,10-4 矩形截面桿的扭轉,10-5 開口薄壁桿件的扭轉,扭轉,4,扭轉,對于任意截面桿的扭轉，這是一個空間問題，根據(jù)問題的特點，本章首先給出了求解扭轉問題的應力函數(shù)所應滿足的微分方程和邊界條件。其次，為了求解相對復雜截面桿的扭轉問題，我們介紹了薄膜比擬方法。,柱體的扭轉是工程中廣泛存在的一類實際問題。 材料力學中研究了圓截面桿的扭轉，采用了平面假設。 對非圓截面桿的扭轉，一般橫截面不再保持平面，即截面產(chǎn)生翹曲。 對兩端承受扭矩的等截面直桿，如截面的翹曲不受限制，這類扭轉稱為自由扭轉；如截面的翹曲受到限制，則稱為約束扭轉。約束扭轉條件下，桿中會產(chǎn)生附加正應力。 本章討論任意截面柱形桿的自由扭轉。,5,扭轉,10-1 等截面直桿的扭轉,一 應力函數(shù),設有等截面直桿，體力不計，在兩端平面內受扭矩M作用。取桿的一端平面為 xy面，圖示。橫截面上除了切應力zx、zy以外，其余的應力分量為零,將應力分量及體力X=Y=Z=0代入平衡方程，得,根據(jù)前兩方程可見，zx、zy只是x和y的函數(shù)，與z無關，由第三式,6,扭轉,根據(jù)微分方程理論，一定存在一個函數(shù)x,y，使得,函數(shù)x,y稱為扭轉問題的應力函數(shù)。,a,10-1 等截面直桿的扭轉,將應力分量代入不計體力的相容方程，可見：前三式及最后一式得到滿足，其余二式要求,注：體力為零時，空間問題應力分量表示的相容方程,即,b,7,扭轉,二 邊界條件,在桿的側面上，將 n=0，及面力分量為零代入邊界條件，可見前兩式總能滿足，而第三式要求,注：空間問題應力邊界條件,即,由于在邊界上,10-1 等截面直桿的扭轉,于是有,說明在橫截面的邊界上，應力函數(shù)為常量，由于應力函數(shù)減一個常數(shù)，應力分量不受影響，因此在單連通截面（實心桿）時可設,c,8,扭轉,10-1 等截面直桿的扭轉,對多連通截面（即空心桿）的情況，應力函數(shù) 在每一個邊界上都是常數(shù)，但各常數(shù)一般不相同。只能把其中的一個邊界上的 取為零。,x,y,s0,s1,s2,sn,通常取外邊界s0的 ，即,jj為其他邊界的待定常數(shù)。,9,扭轉,分步積分，并注意在邊界上為零,最后得到,d,10-1 等截面直桿的扭轉,在桿的任一端，剪應力合成為扭矩,同樣得：,10,扭轉,三 位移公式,根據(jù)應力、應變、位移的關系可以得到,由上面得到,10-1 等截面直桿的扭轉,其中K表示桿的單位長度內的扭轉角.不計剛體位移,e,11,扭轉,代入前面右邊前兩式,上兩式可用來求出位移分量w。,f,10-1 等截面直桿的扭轉,上兩式分別對y和x求導，再相減，得,可見前面公式b中,得 C=-2GK.,顯然，為了求得扭轉問題的解，只須尋出應力函數(shù)，使它滿足方程b、 c和d，然后由a式求出應力分量，由式e 和f給出位移分量的值。,12,扭轉,10-2 薄膜比擬,對于矩形、薄壁桿件這些截面并不復雜的柱體，要求出其精確解都是相當困難的，更不用說較復雜截面的桿件了。為了解決較復雜截面桿件的扭轉問題，特提出薄膜比擬法。該方法是建立在柱體扭轉問題與受均勻側壓力而四周張緊的彈性薄膜之間數(shù)學關系相似的基礎上。 比擬的條件是二者的微分方程和邊界條件相同。薄膜比擬法是求解扭轉問題的一種實驗方法。,設有一塊均勻薄膜，張在與扭轉桿件截面相同或成比例的邊界上。當在側面上受著微小的均勻壓力時，在薄膜內部將產(chǎn)生均勻的張力，薄膜的各點將發(fā)生圖示 z 方向微小的垂度。,b,c,13,扭轉,取薄膜的一個微小部分abcd圖示，它在xy面上的投影是一個矩形，矩形的邊長分別是dx和dy。設薄膜單位寬度上的拉力為 T，則由z方向的平衡條件 得,簡化后得,10-2 薄膜比擬,14,扭轉,即,此外，薄膜在邊界上的垂度顯然等于零，即,a,而應力函數(shù)所滿足的微分方程和邊界條件為,10-2 薄膜比擬,其中Gk也是常量，,b,將式 b與式 a對比，可見 與 決定于同樣的微分方程和邊界條件，如果調整 ， 使 ，則有 . 因而必然具有相同的解答。于是有,15,扭轉,即,c,10-2 薄膜比擬,則有,從而有,d,由,又可得,e,設薄膜及其邊界平面之間的體積為V，并注意到,16,扭轉,1 扭桿的應力函數(shù)等于薄膜的垂度z。,2 扭桿所受的扭矩M等于該薄膜及其邊界平面之間的體積的兩倍。,3 扭桿橫截面上某一點處的、沿任意方向的切應力，就等于該薄膜在對應點處的、沿垂直方向的斜率。,10-2 薄膜比擬,扭轉問題和薄膜問題的對應關系,調整薄膜所受的壓力q， 使得 則可得出如下結論：,17,扭轉,10-3 橢圓截面桿的扭轉,設有等截面直桿。它的橫截面具有一個橢圓，橢圓的半軸分別為a和b，其邊界方程為,應力函數(shù)在邊界上應等于零，故取,代入,1,1、求應力函數(shù),18,扭轉,回代入1式得,由,10-3 橢圓截面桿的扭轉,可得,由材料力學知,于是得,最后得,19,扭轉,最后得到解答,于是由,橫截面上任意一點的合切應力是,10-3 橢圓截面桿的扭轉,最大切應力發(fā)生在短半軸的兩端,最小切應力發(fā)生在長半軸的兩端,2、求應力,20,扭轉,10-3 橢圓截面桿的扭轉,C=-2GK.,3. 求位移分量,21,扭轉,9-4 矩形截面桿的扭轉,一 狹長矩形截面桿的扭轉,設矩形截面的邊長為a和b (圖示) 。若ab ，則稱為狹長矩形。由薄膜比擬可以推斷，應力函數(shù)在絕大部分橫截面上幾乎不隨x變化，于是有,則,成為,積分，并注意在邊界上,即得,將代入,積分后得,故,應力分量為,22,扭轉,由薄膜比擬可知，最大剪應力發(fā)生在矩形截面的長邊上，方向平行于 x軸，其大小為,9-4 矩形截面桿的扭轉,二 矩形截面桿,在狹矩形截面扭桿應力函數(shù)的基礎上，取任意矩形截面桿應力函數(shù)為,代入微分方程,并使 滿足邊界條件,得到,23,扭轉,將上式右邊在y-b/2,b/2區(qū)間展為 的級數(shù)，然后比較兩邊的系數(shù)，得,將Am代入，得確定的應力函數(shù),9-4 矩形截面桿的扭轉,由薄膜比擬可以推斷，最大剪應力發(fā)生在矩形截面長邊的中點若ab,24,扭轉,其中扭角 k 由,9-4 矩形截面桿的扭轉,求得,將上面兩個公式分別寫成：,因子 只與比值 有關，數(shù)值如下圖所示.,25,扭轉,9-4 矩形截面桿的扭轉,系數(shù) 與 的關系,狹長矩形截面,26,扭轉,9-5 薄壁桿件的扭轉,實際工程上經(jīng)常遇到開口薄壁桿件，例如角鋼、槽鋼、工字鋼等，這些薄壁件其橫截面大都是由等寬的狹矩形組成。無論是直的還是曲的，根據(jù)薄膜比擬，只要狹矩形具有相同的長度和寬度，則兩個扭桿的扭矩及其橫截面剪應力沒有多大差別。,設 ai 及 bi 分別表示扭桿橫截面的第 i 個狹矩形的長度和寬度，Mi表示該矩形截面上承受的扭矩，M表示整個橫截面上的扭矩，i代表該矩形長邊中點附近的剪應力，k代表扭桿的扭角。則由狹矩形的結果，得,開口薄壁桿件,27,扭轉,由后一式得,而,故有,從而有,值得注意的是：由上述公式給出的狹矩形長邊中點的剪應力已相當精確，然而，由于應力集中的存在，兩個狹矩形的連接處，可能存在遠大于此的局部剪應力。,9-5 開口薄壁桿件的扭轉,28,扭轉,9-5 開口薄壁桿件的扭轉,閉口薄壁桿件,應用薄膜比擬法求桿件應力。假象在薄壁桿件的界面邊界上張一塊薄膜，在邊界的垂度為零，在內邊界處垂度為 ，且為常量，可以假象CD是一塊無重的剛性平板。,由于 很小，可以認為薄膜的斜率沿厚度不變，于是切應力的大小為：,扭矩M 應等于體積ABCD的兩倍，即,面積A可以取為內外兩邊界所包圍的面積的平均值，也可取為桿壁的中線所包圍的面積，由上兩式得：,最大切應力發(fā)生在桿壁最薄處.,29,扭轉,9-5 開口薄壁桿件的扭轉,設薄膜對平板所施加的拉力為,在豎直方向的投影為：,由整個平板在豎直方向的平衡,上式變?yōu)椋?由于,求扭轉角,當 是常數(shù)時,S是桿壁中線的全長,30,設空心圓截面桿，外半徑為a，內半徑為b,取應力函數(shù),側面邊界條件,端面邊界條件,結果與材料力學相同。,扭轉,9-6 空心圓截面桿的扭轉,31,扭轉,習題 10.1 有一根高為a 的等邊三角形截面扭桿，坐標如圖所示。三角形三條邊AB，OA，OB的方程分別為：,試證應力函數(shù),能滿足一切條件，并求出最大剪應力及扭角。,解： 將 代入相容方程,得,即,練習題,32,扭轉,故,扭桿無孔洞， 顯然滿足側面邊界條件 ，由桿端部邊界條件,得,從而得,練習題,33,扭轉,剪應力,單位長度上的扭角,練習題,34,扭轉,習題 10.2 等截面桿單位長度上的扭轉角為K ，剪切彈性模量為 ，若函數(shù) ，其中 為實常量， 為待定函數(shù)。試問： 滿足什么條件時， 可作為扭轉問題的應力函數(shù)？,答： 若題意所給函數(shù)能作為扭轉問題的應力函數(shù)，則該函數(shù)必須滿足相容方程,將 代入后得,此即為 需滿足的條件。,