正項級數收斂性判別法的推廣本科畢業(yè)論文.doc

第 18 頁 共 18頁正項級數收斂性判別法的推廣摘要：正項級數收斂的判別法在級數的收斂法中占有極其重要的地位常見的判別法有比較判別法，達朗貝爾比值判別法，柯西判別法，高斯判別法,柯西積分判別法等對于上述判別法，它們都有一定的條件限制，為了找到更簡單，適用條件更廣的判別法，國內外學者或者在一般判別法的基礎上做了推廣或者提出了一些新的判別法近幾年，關于正項級數收斂性判別法又有了一些新的研究，主要是針對一些新判別法的適用條件進行了討論本文主要分兩部分對正項級數的判別法進行了推廣，第一部分對比值判別法進行了推廣，給出了比值判別法在失效情況下的判別方法，這也是本文的主要部分，第二部分對比較判別法進行了推廣這些推廣的新的判別法解決了原判別法的條件限制，使其更具一般性，適用性更廣關鍵詞：正項級數；收斂性；發(fā)散性；判別法a generalization of convergence criterion for positive progressionsyang rui(0301 mathematics and applied mathematics school of science )the instructor: song wen-qingabstract: convergence criterion for positive progressions holds the extremely important status in the progression the common criterions include the comparison distinction law, reaches the bright bell ratio distinction law, west the tan oak distinguishes the law, gauss distinguishes the law, west the tan oak the integral distinction law and so on, but these distinction laws all have the certain condition limit in order to find out more simply and more widely-used distinction laws, domestic and foreign scholars have made some promotion or worked out some new distinction laws in recent years, there are several new researches about positive progressions astringency distinguished the law mainly aiming at discussing applicable requirements of new distinction law this article was mainly divided in 2 parts to carry on the promotion of the series of positive progressions distinction law the first part promotes specific value distinction law as well as shows distinguishable methods when it doesnt work it is also the main part of this workthe second part carries on the promotion of the comparison distinction law and it uses the corresponding distinction law to judge the series of positive progressions astringency these new distinction laws have solved the require mental limits of the original distinction laws making them more general, making their serviceability broaderkeywords: positive progression series; convergence; divergence; criterion1 引言正項級數收斂的判別法在級數的收斂法中占有極其重要的地位常見的判別法有比較判別法，達朗貝爾比值判別法，柯西判別法，高斯判別法，柯西積分判別法等由于條件的限制，在判斷某些類型的題目時會失效，所以必須要尋找一些新的判別法來解決這些題本文主要對比較判別法、達朗貝爾判別法進行了推廣下面先介紹比較判別法、達朗貝爾判別法以及正項級數收斂性的相關定理定理 正項級數收斂的充要條件是：部分和數列有界，即存在某正數m，對一切正整數n有n都有 ，(i)若級數收斂，則級數也收斂；(ii)若級數發(fā)散，則級數也發(fā)散定理設為正項級數，且存在某正整數及常數q（0q,成立不等式 則級數收斂(ii)若對一切n,成立不等式 則級數發(fā)散定理若為正項級數，且，則 (i)當q1或q=時，級數發(fā)散 2達朗貝爾判別法的推廣與應用21達朗貝爾判別法的一類推廣與應用由達朗貝爾判別法判別法極限形式知，當時，正項級數可能收斂也可能發(fā)散，我們無法直接用達朗貝爾判別法判別法判斷其斂散性，此時這種判別法失效，為了解決這一問題，給出新的判別法新的判別法適用條件更廣，運算更簡潔211達朗貝爾判別法判別法的第一種推廣引理正項級數若，且則(i) 當p時，則級數發(fā)散定理1 若，則級數收斂當且僅當收斂（其中m是大于1的正整數）證明：（1）設則( )+()+()+() =所以若級數發(fā)散，級數也發(fā)散由（1）（2）得，級數收斂當且僅當收斂對于一般項收斂較慢的級數，定理1給出了一個判別法，觀其條件還可以進行推廣，得到更一般的形式，用定理的形式敘述如下：定理2：正項級數，若，存在，使得，則（1）當p時，則級數發(fā)散證明：令，由定理知 與同收斂，與同收斂，所以與同收斂所以 即 =當 當 時，,故級數收斂，從而收斂;當 時，故級數發(fā)散，從而發(fā)散證明完畢212應用舉例例1：考察級數是否收斂解: 由定理，取，當時，級數收斂;當時，級數發(fā)散例2：考察級數是否收斂解：又因為 =1而 即所以級數發(fā)散例3：討論級數的斂散性解：本題利用達朗貝爾判別法無法判斷，并且不容易積分，所以利用積分判別法也不能解決，由定理，取，則所以，該級數收斂22達朗貝爾判別法的第二種推廣與應用221達朗貝爾判別法的第二種推廣定理兩個正項級數和，如果從某項起下列不等式成立： （1） 則級數收斂那么級數一定收斂，級數發(fā)散那么級數一定發(fā)散證明： 任取一自然數，使得p=,設引理中的不等式（1）對于任意的恒成立，可以把引理中的不等式（1）變形為：,即 （i=0, 1，2，）令 ，則(1) 當時，成立(2) 當時，可將n寫成，則其中一定有若時，則成立若時，則可將寫成，其中，使得，若，不成立，則要繼續(xù)進行下去，經過有限次總能得到使得從而得到：成立因此 ，恒有成立由比較判別法知：若級數收斂，那么級數一定收斂，若級數 發(fā)散，那么級數 一定發(fā)散證明完畢下面根據定理1，推廣出一個關于正項級數收斂的判別法，以定理的形式敘述如下：定理2 對于正項級數，若，則(1) 當p時，級數發(fā)散證明：（1）當p1）級數收斂，且當n充分大時有 成立又因為 ，顯然 對n充分大時有 和那么根據引理2，級數收斂（2）當p時，對于正整數使，當時，有 和 令， 則 ，而 ，故 和 成立又 是發(fā)散的，由定理1得 發(fā)散將定理2推廣到一般的形式，敘述如下：定理3 關于正項級數與，若存在自然數n，當nn時，不等式成立，則(1) 若級數收斂，則級數收斂；(2) 若級數發(fā)散，則級數發(fā)散證明：由條件知，若存在自然數n，當時，不等式成立，不妨取自然數，并令m=，當時，；當時，則唯一存在一個自然數,使，故若p,則唯一存在一個自然數，使，其中，于是且由于，經過有限步，假設第s步,必有，于是所以當級數收斂，則級數收斂；當級數發(fā)散，則級數發(fā)散證明完畢定理3的推論：推論1 給定正項級數，若，則 （1）時，收斂； （2）時，發(fā)散證明：（1）當時，令 ，則存在實數r1，使得，令 ，于是 ，當 時，有因為級數 收斂，由定理知，級數收斂（2）當 時，令，于是 ，當時，有又因為級數發(fā)散，定理知級數發(fā)散222應用舉例例1論是否收斂解：當x=e時，用達朗貝爾判別法不能斷定級數的斂散性利用 此時 當x=e時，由定理2得，級數發(fā)散例2：討論是否收斂解 令 ， 則根據定理2得到，收斂例3 證明級數收斂證明：令 因為 ，所以不能用達朗貝爾判別法來證明是否收斂 ， 所以級數收斂例4 證明級數收斂證明： 因為 所以級數 收斂23達朗貝爾判別法的第3種推廣與應用231達朗貝爾判別法的第三種推廣引理 給定兩個正項級數（a）和（b），若從某項起（如nn時），不等式成立，則級數（b）收斂蘊含級數（a）收斂；級數（a）發(fā)散蘊含級數（b）發(fā)散引理 給定正項級數，若，則（1）當p時，則級數發(fā)散下面將引理2推廣到如下形式定理：給定正項級數，若對一固定自然數，有， 則 （1）時，收斂； （2）時，發(fā)散證明：當時，對充分大的，存在，使即 故對任意的自然數 ，有 將上式再關于求和，得即 令 ，則上式可以變成：移項整理得：即 =m由于的部分和有界，所以級數收斂當時，對充分大的，存在，使 即 同上，先對n從到n求和，再對i從1到k求和，則有 若收斂，上式中令，則有即 又 則有 即 與 矛盾，故級數發(fā)散232應用舉例例1 正項級數中，試討論正項級數斂散性解：利用定理，取k=2，則 故級數收斂3比較判別法的推廣與應用31比較判別法的推廣定理（比較原則的推論）設 + + 是兩個正項級數，若 則 (i)當01使得存在，則級數收斂下面對定理2進行推廣，以定理的形式敘述如下：定理3 設為正項級數，令，為當x=n時由某一函數所確定的值，連且續(xù)有直到m階的有限導數：如果對的m階導數存在一冪函數，使得， ，那么當時，級數收斂，當時，級數發(fā)散證明：運用羅必塔法則m次可得， 由于當時收斂，當發(fā)散，則由定理1，和級數同收斂，所以當時，級數收斂，當時，級數發(fā)散證明完畢32應用舉例例1 討論級數是否收斂解： 令，則 ，存在，使得 由于這里 ，所以級數收斂例2 判斷級數是否收斂解： 令則 ，存在，使得 因為，所以級數發(fā)散4 結束語文中列舉的幾種推廣的正項級數收斂判別法，解決了某些題目用達朗貝爾判別法失效的問題，同時也簡化了一些題目的求解步驟，這是有利的方面；但是在判斷條件是否適合利用這些推廣的時候，會帶來一些煩瑣的計算和證明所以在判別正項級數收斂時,要認真分析題目，找出最簡潔的判別方法致謝感謝我的導師宋文青副教授宋老師成為我的畢業(yè)論文的導師那天起，她就告訴我如何搜集材料；告訴我如何快捷地找到相關論文；告訴我學校的哪個網站有本專業(yè)碩士、博士論文；還定期的和我聯(lián)系論文的進度情況和定期指導我的論文怎么寫才好本論文的完成，離不開她的悉心知道和孜孜不倦地教誨感謝我的班主任張穎老師，在大學四年中給予我無微不至的照顧幫助使我在大學四年中不段的成長在論文即將完成之際，我的心情無法平靜，從開始進入課題到論文順利完成，有多少可敬的師長、同學、朋友給了我無言的幫助，在這里請接受我最誠摯的謝意！參考文獻1華東師范大學數學系 數學分析(下) (第三版) m 北京:高等教育出版社,20012徐春正項級數斂散性的一種判別法j四川輕化工學院學報,200663吳慧伶正項級數收斂性判別的一個推廣j麗水學院學報,2006104楊鐘玄正項級數收斂性的又一新判別法j貴州師范大學學報,2005115唐仁獻正項級數斂散性判別法新探j零陵學院學報,200396馬爾邁關于正項級數比值判別法的一個推廣j浙江海洋學院學報200312 7張莉關于正項級數收斂性判別的一個推廣j華中師范大學學報,2002128陳杰正項級數的一個新的判斂法j寧波職業(yè)技術學院學報,200549李密正項級數的一個新的判斂法j金華職業(yè)技術學院學報,2005310孫勇正項級數判別斂散新法探索j開封大學學報,20011211james w daniel;ummation of series of positive terms by condensation transformationsj; mathematics of computation; vol 23, no 105 (jan, 1969), pp 91-96 12jack p tull, david rearick; a convergence criterion for positive seriesj; the american mathematical monthly, vol 71, no 3 (mar, 1964), pp 294-29513markus mllera, dierk schleicher, how to add a non-integer number of terms, and how to produce unusual