北大附中高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)極限經(jīng)典答疑.docx

學(xué)科：數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容：極限經(jīng)點(diǎn)答疑（一）【學(xué)法旨要】1本章學(xué)習(xí)的目標(biāo)是什么?(1)從數(shù)列的變化趨勢理解數(shù)列極限的概念，會判斷一些簡單數(shù)列的極限，并了解數(shù)列極限的-n定義；掌握數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則，會用它求一些數(shù)列的極限(2)從函數(shù)的變化趨勢理解函數(shù)的極限概念，知道基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)每一點(diǎn)的極限值等于該點(diǎn)的函數(shù)值；掌握極限的四則運(yùn)算法則；了解兩個(gè)重要極限(3)了解函數(shù)在某一點(diǎn)處連續(xù)的意義和初等函數(shù)在定義域內(nèi)每點(diǎn)處都連續(xù)；會從幾何直觀理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)有最大值與最小值2學(xué)好本章知識的關(guān)鍵在哪里?學(xué)好本章的關(guān)鍵就在于理解數(shù)列極限和函數(shù)極限的概念只有深刻理解概念，才能在此基礎(chǔ)上解決有關(guān)極限的問題【經(jīng)點(diǎn)答疑】1什么是數(shù)列的極限?在引入數(shù)列極限的精確定義之前，我們先看一句中國古語：“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”這句話的意思是說：“有一根一尺長的木棒，每天截下前一天留下的一半，永遠(yuǎn)也截不完”我們來考察每天所剩余的木棒長度如何隨著天數(shù)的改變而變化因?yàn)槿杖∑浒?，所以?天剩余的木棒長度為，第2天截下尺的一半，所以剩余的木棒長度為，依此類推，第n天剩余的木棒長度為這個(gè)式子反映了每天所剩余的木棒長度隨著天數(shù)改變而變化的規(guī)律它具有這樣的變化趨勢：當(dāng)天數(shù)n無限增大時(shí)，剩余木棒長度以0為極限，并記為我們又以另一方面考察，截下的木棒總長度如何隨著天數(shù)的改變而變化第1天截下的木棒總長度為，到第2天截下的木棒總長度為，依此類推，到第n天截下的木棒總長度為這個(gè)式子就反映了截下的木棒長度如何隨著天數(shù)而改變的變化規(guī)律它具有這樣的變化趨勢：當(dāng)天數(shù)n無限增大時(shí)，截下的木棒總長度無限接近于常數(shù)1，這時(shí)我們就說，當(dāng)天數(shù)n趨向于無窮大時(shí)，截下的木棒總長度以1為極限，并記為如果我們把每天所剩余的木棒長度數(shù)值與截下的木棒總長度數(shù)值分別依次排列起來，那么可以得到兩個(gè)數(shù)列：這時(shí)(1)式和(2)式就分別是和的數(shù)列展開式這兩個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)具有這樣的變化趨勢：當(dāng)項(xiàng)數(shù)n無限增大時(shí)，數(shù)列(1)中的項(xiàng)無限接近于常數(shù)0，而數(shù)列(2)中的項(xiàng)無限接近于常數(shù)1，這時(shí)我們就說數(shù)列(1)以0為極限，而數(shù)列(2)以1為極限從上面兩個(gè)具體數(shù)列極限的例子的共同特點(diǎn)，可以抽象出數(shù)列極限的描述性定義：如果數(shù)列中的項(xiàng)具有這樣的變化趨勢：當(dāng)n無限增大時(shí)，項(xiàng)無限接近某一個(gè)常數(shù)a，那么我們就說，數(shù)列以常數(shù)a為極限，且記為關(guān)于數(shù)列極限概念的這種描述，只能算直觀的描述，雖然有直觀易懂的特點(diǎn)，但在運(yùn)用極限進(jìn)行推理時(shí)將會碰到困難，且利用“n無限增大”和“無限接近于某一個(gè)常數(shù)a”這些未加說明的直觀描述來判斷，在邏輯上是有毛病的，也容易發(fā)生錯誤，所以還必須對數(shù)列極限作確切的刻畫，把直觀描述上升為精確的定義數(shù)列極限的精確定義：上面關(guān)于數(shù)列極限的直觀描述中，有一個(gè)涉及到極限本質(zhì)的問題，這就是：“無限接近于常數(shù)a”的真正含義是什么?弄清這點(diǎn)是掌握數(shù)列極限概念的關(guān)鍵，用句俗話來說，“無限接近于常數(shù)a”的意思是：“可以任意地靠近a，希望有多近就能有多近，只要n充分大時(shí)，就能達(dá)到我們希望的那樣近”換句話來說，就是指：“距離可以任意地小，希望有多小就能有多小，只要n充分大時(shí)，就能達(dá)到我們希望的那樣小”現(xiàn)拿數(shù)列來說明，若取作標(biāo)準(zhǔn),那么只要n3，就有；如果認(rèn)為還不夠小，要選作標(biāo)準(zhǔn)，那么只要n6,就有；如果嫌仍不夠小，要選更小的作標(biāo)準(zhǔn)，那么只要n9，就有；(如果想選再小的作標(biāo)準(zhǔn)，那么只要n13，就有.)總之，任意給出一個(gè)無論多么小的正數(shù)作標(biāo)準(zhǔn)，只要這個(gè)一經(jīng)給定，那么對數(shù)列來說，總可以確定一項(xiàng)(或者說總存在一項(xiàng)，設(shè)為第n項(xiàng))使得隨后的所有項(xiàng)(即滿足nn的一切)，都有上述過程可以概括在如下的表格中：給定正數(shù)總存在一個(gè)項(xiàng)數(shù)使得當(dāng)時(shí)都有3n36n69n913n13nnn這個(gè)表格的最后一行是值得我們注意的，它把數(shù)列“無限接近于1”的本質(zhì)確切地刻畫出來了，把它概括為一般情形，就得到用和n描述的數(shù)列極限的精確定義(簡稱為“-n”定義)：設(shè)有數(shù)列，并設(shè)a是一個(gè)常數(shù)如果任意給定一個(gè)(無論多么小的)正數(shù)，總存在一個(gè)正整數(shù)n，使得當(dāng)nn時(shí)，都有成立，則稱數(shù)列以常數(shù)a為極限，且記為或者記為如果數(shù)列不存在極限，則稱數(shù)列發(fā)散注：是希臘字母，讀作epsiln；是拉丁文(極限)一詞的前三個(gè)字母，通常按英文limit(極限)一詞讀音現(xiàn)在我們對極限的定義作幾點(diǎn)說明：(1)關(guān)于正數(shù)，定義中的正數(shù)是一個(gè)距離指標(biāo)，用來刻畫與a的接近程度具有二重性：是任意性，即可以根據(jù)需要任意選取，這樣，由不等式才能表明數(shù)列無限接近于a；是相對固定性，雖然可以任意給定，但一經(jīng)給定就相對固定下來，作為一個(gè)固定的正數(shù)看待正數(shù)的二重性體現(xiàn)了一個(gè)數(shù)列逼近它的極限時(shí)要經(jīng)歷一個(gè)無限過程(這個(gè)無限過程通過的任意性來體現(xiàn))，但這個(gè)無限過程又要一步步地實(shí)現(xiàn)，而且每一步的變化都是有限的(這個(gè)有限的變化通過的相對固定性來體現(xiàn))(2)定義中的正整數(shù)n是一個(gè)特定的項(xiàng)數(shù)，對于這個(gè)項(xiàng)數(shù)，重要的是它的存在性，它是在固定后才能確定的，所以它依賴于大體上說來，變小時(shí)，n就變大，所以可以把n看成是的函數(shù)要注意，對于一個(gè)固定的來說，合乎定義要求的正整數(shù)n不是惟一的例如數(shù)列的極限為0，即，取定存在自然數(shù)，當(dāng)n100時(shí)有，顯然，對取定的，比100大的任何一個(gè)自然數(shù)都能起到的作用如取，當(dāng)，當(dāng)然也有一般情況，對任意0，總存在自然數(shù)n，當(dāng)nn時(shí)，有，于是當(dāng)時(shí)，當(dāng)然也有.由此可見，在極限的定義中，“總存在自然數(shù)n”這段話，在于強(qiáng)調(diào)自然數(shù)n的存在性因此，在極限的證明題中，常取較大的自然數(shù)n此外，定義中的不等式指的是下面一串不等式：.定義要求這一串不等式都成立至于下面n個(gè)不等式，并不要求它們一定成立：(3)若是任意給定的數(shù)，不難看到2，5，也都是任意給定的數(shù)盡管它們在形式上與有差異，但在本質(zhì)上它們與起同樣的作用今后在極限的證明題中，常應(yīng)用與等價(jià)的其他形式2數(shù)列極限的幾何意義是什么?學(xué)習(xí)數(shù)列極限的幾何解釋，將有助于我們對數(shù)列極限概念有更深的理解由于數(shù)列的每一項(xiàng)在數(shù)軸上可以用一個(gè)點(diǎn)來表示，因而數(shù)列的每一項(xiàng)在數(shù)軸上就對應(yīng)一個(gè)點(diǎn)列先把數(shù)列的每一項(xiàng)和a在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)表示出來，再作出以點(diǎn)a為中心，為半徑的開區(qū)間(a-，a+)由于不等式等價(jià)于，所以數(shù)列極限精確定義的幾何表示為：數(shù)列以a為極限，就是對任意給定的一個(gè)開區(qū)間(a-，a+)，第n項(xiàng)以后的一切數(shù)全部落在這個(gè)區(qū)間內(nèi)，如圖2-1：(以后的一切項(xiàng)全部落在有陰影的區(qū)間中)圖上的那個(gè)開區(qū)間(a-，a+)，我們有時(shí)也稱它是a點(diǎn)的鄰域，記為(a，)這樣的定義可以用鄰域把它敘述出來：對任意給定的鄰域(a，)，一定存在正整數(shù)n，當(dāng)nn時(shí)，這個(gè)定義和剛才已經(jīng)給出的定義是一樣的，這是因?yàn)楹褪且换厥?收斂數(shù)列是否可以進(jìn)行四則運(yùn)算?可以若數(shù)列與皆收斂(數(shù)列與的極限存在)，則可以對它們進(jìn)行加、減、乘、除的四則運(yùn)算我們看以下三個(gè)運(yùn)算法則：若數(shù)列與皆收斂，則數(shù)列也收斂，且若數(shù)列與皆收斂，則數(shù)列也收斂，且若數(shù)則，皆收斂，且則數(shù)列也收斂，且這三個(gè)運(yùn)算法則指出：若兩個(gè)數(shù)列收斂，先對它們進(jìn)行四則運(yùn)算再進(jìn)行極限運(yùn)算等于先對數(shù)列進(jìn)行極限運(yùn)算再進(jìn)行四則運(yùn)算這表明四則運(yùn)算與極限運(yùn)算是可以交換次序的這兩種不同的運(yùn)算交換次序?qū)⒔o計(jì)算極限帶來很大的方便，我們可以利用這三個(gè)運(yùn)算法則計(jì)算以下幾道例題例1 考察其中k，都是正整數(shù)，并且是都思路啟迪 原極限式中分子與分母各項(xiàng)式的極限都不存在，所以應(yīng)將其變形，變成分子與分母極限都存在的形式規(guī)范解法 應(yīng)用和與差的運(yùn)算，得：再應(yīng)用除法運(yùn)算，得：例2 設(shè)思路啟迪 由于的極限都不存在，所以應(yīng)先將變形，使之變成極限可求的數(shù)列規(guī)范解法 因?yàn)橛贸肿雍头帜?，得，而，由得知，再?yīng)用除法運(yùn)算，即求得4什么叫無窮小量,無窮大量?設(shè)是一個(gè)數(shù)列，若對于任意給定的0，總存在正整數(shù)n，當(dāng)nn時(shí)，,則稱為無窮小量，記為或要注意的是不能把無窮小量理解為很小的量設(shè)是一個(gè)數(shù)列，如果對任意給定的co，總存在正整數(shù)n，當(dāng)nn時(shí)必有我們就稱是一個(gè)無窮大量，記為，或要注意的是無窮大量是一個(gè)變量，在它的變化過程中，其絕對值隨著n的增大而無限制增大，切不可把它和很大的量混淆起來無窮大量的幾何解釋：所謂是無窮大量，就是對任意給定的兩個(gè)開區(qū)間(r，+)及(-，r)，一定有這樣的一項(xiàng)(第n項(xiàng))，自這項(xiàng)以后的一切項(xiàng)(即nn的)全部都落在這兩個(gè)開區(qū)間內(nèi)，如圖2-2對于無窮大量，有時(shí)我們還要從變量的變化趨勢是保持正號還是保持負(fù)號來對無窮大量加以區(qū)分，有：(1)正無窮大量：設(shè)是無窮大量，并且自某項(xiàng)n以后(即nn)，有，我們就說是正無窮大量，記為或正無窮大量也可以這樣敘述：對任意給定的c0，總存在n，當(dāng)nn時(shí)有，就稱是正無窮大量(2)相仿地可以給出負(fù)無窮大量的概念5無窮大量與無窮小量有什么關(guān)系?無窮大量和無窮小量之間有著密切的關(guān)系，可以用下面的定理表達(dá)出來定理：若為無窮大量，則它的倒數(shù)所成的數(shù)列為無窮小量反之，若為無窮小量，且，則它的倒數(shù)所成的數(shù)列為無窮大量證明：因是無窮大量，根據(jù)定義，對任意給定的co，總可找到正整數(shù)n，當(dāng)nn時(shí)，有，從而有因?yàn)閏是任意的，所以也是任意的，于是就證明了是無窮小量定理的第二部分可以同樣證明6無窮大量有哪些運(yùn)算法則?(1)設(shè)和都是正(或負(fù))無窮大量，那么它們的和也是正(或負(fù))無窮大量證明：我們只證明正無窮大量的情形對任意給定的c0，因，所以存在，當(dāng)時(shí)有，又因，所以還存在，當(dāng)時(shí)，有現(xiàn)在取，那么當(dāng)nn時(shí)，就有，這便證明了要注意的是，任意兩個(gè)非同號的無窮大量之和可能不是無窮大量，例如n和-n都是無窮大量，但它們的和是0，0，顯然不是無窮大量(2)設(shè)是無窮大量，而是有界數(shù)列(后面有對有界數(shù)列的說明)，那么它們的和是無窮大量(3)設(shè)是無窮大量，又設(shè)數(shù)列具有以下特性，存在某個(gè)n，當(dāng)nn時(shí)，有，那么它們的乘積是無窮大量證明：對任意給定的c0，由于，故存在，當(dāng)時(shí)，有又因?yàn)楫?dāng)nn時(shí)，有，這時(shí)取當(dāng)時(shí)，就有，而0是一個(gè)定數(shù)，這就證明了推論：設(shè)是無窮大量，收斂于a(a0)，那么它們的乘積是無窮大量例 設(shè)思路啟迪 和前面的例題一樣，原極限式的分子和分母都不存在極限，所以應(yīng)先將其變形，化成極限可求的情形規(guī)范解法 我們可以把寫成： 因?yàn)椋忠驗(yàn)?，所以，由推論?將這個(gè)例子和前面的例子合并起來，我們便得到這里當(dāng)然要假定點(diǎn)評 以后碰到類似求的問題，可以直接套用最后的結(jié)論.7什么是函數(shù)的極限?實(shí)際上，數(shù)列就是定義域?yàn)樽匀粩?shù)集的函數(shù)，在每一個(gè)自然數(shù)n處的函數(shù)值f(n)就是，即，如果理解了這種特殊函數(shù)形式的極限，那么學(xué)習(xí)函數(shù)極限的概念也就可以觸類旁通，因?yàn)閿?shù)列極限已包含著一般函數(shù)極限的基本思想與數(shù)列不同的是，函數(shù)y=f(x)的自變量有多種變化過程一般來說，自變量x的變化趨勢有兩種情形：一種是x無限接近于固定值；另一種是x的絕對值無限增大，也就是x沿?cái)?shù)軸的正向和負(fù)向無限遠(yuǎn)離原點(diǎn)，下面就這兩種不同的情形分別討論函數(shù)的極限引例1 已知自由落體的運(yùn)動方程是，求在時(shí)刻t=1秒時(shí)的瞬時(shí)速度解 這里我們遇到了兩個(gè)問題：(1)什么叫做在時(shí)刻t=1秒時(shí)的瞬時(shí)速度；(2)怎么求出在時(shí)刻t=1秒時(shí)的瞬時(shí)速度在中學(xué)物理課本中，我們知道，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)做勻速直線運(yùn)動時(shí)，速度是位移與時(shí)間之比：它可以代表質(zhì)點(diǎn)在任何時(shí)刻的速度但是，自由落體并不是作勻速直線運(yùn)動的，因此不能直接利用公式來解決問題，為了解決所提出的問題，要用到平均速度的概念我們?nèi)我馊∫粋€(gè)很短的時(shí)間間隔1，t，把質(zhì)點(diǎn)在這個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)所作的運(yùn)動近似地看成是勻速的我們可以想象的到，當(dāng)時(shí)刻t越來越接近1秒(也就是時(shí)間間隔1，t越短時(shí))，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動越接近于勻速運(yùn)動，從而這段時(shí)間間隔的平均速度越接近于質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻t=1秒時(shí)的瞬時(shí)速度根據(jù)上述想法，首先求出所考慮的時(shí)間間隔內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的平均速度，這個(gè)速度是依賴于時(shí)刻t的，我們記為利用公式可以求得：這個(gè)式子反映了平均速度隨著時(shí)刻t的變化規(guī)律我們看到，平均速度具有這樣的變化趨勢：當(dāng)時(shí)刻t無限接近于1秒，但t1秒時(shí)，平均速度無限接近于9.8米/秒這時(shí)我們說，當(dāng)時(shí)刻t趨向于1秒時(shí)，平均速度以9.8米/秒極限,并記為我們把這個(gè)極限定義為自由落體在時(shí)刻t=1秒時(shí)的瞬時(shí)速度引例2 考察函數(shù)解 我們注意，這個(gè)函數(shù)在點(diǎn)x=1是沒有定義的，對這個(gè)函數(shù)作圖象，并列表如下：x0.90.990.99911.0011.011.1y1.91.991.99922.0012.012.1從上表和圖象可以看出：函數(shù)在點(diǎn)x=1的鄰近具有這樣的變化趨勢：當(dāng)x無限接近于1，但x1時(shí)，函數(shù)的值無限接近于2這時(shí)我們說，當(dāng)x趨向于1時(shí)，函數(shù)以2為極限,且記為從上面給出的兩個(gè)具體函數(shù)極限的例子的共同特點(diǎn)，可以抽象出當(dāng)時(shí)函數(shù)f(x)的極限的描述性定義：如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)的鄰近具有這樣的變化趨勢：當(dāng)x無限接近于，但時(shí)，f(x)無限接近于一個(gè)常數(shù)a，那么我們說，當(dāng)時(shí)，函數(shù)f(x)以a為極限，且記為這個(gè)式子中的符號“”讀作“x趨向于”，它表示x無限接近于的變化過程應(yīng)當(dāng)注意，在一般討論函數(shù)極限時(shí)，只要求函數(shù)f(x)在某個(gè)點(diǎn)的空心鄰域(即點(diǎn)的鄰域，但不包含點(diǎn))內(nèi)有定義，因此通常是限制x不等于的，并不要求函數(shù)f(x)在這一點(diǎn)一定要有定義比如，在上面例1中，當(dāng)t=1時(shí)，平均速度就失去意義，因?yàn)橹挥性谝欢螘r(shí)間間隔內(nèi)，才有平均速度可言；又如，在例2中，當(dāng)x=1時(shí)，所討論的函數(shù)也沒有定義因此，在研究函數(shù)f(x)的極限時(shí)；我們總不去考慮這一點(diǎn)的函數(shù)值情況無論f(x)在點(diǎn)是否有定義，只要當(dāng)x無限接近于，但時(shí)，f(x)無限接近于常數(shù)a，那么數(shù)a就是函數(shù)f(x)當(dāng)x趨向于時(shí)的極限上面關(guān)于函數(shù)極限概念的描述，也只是個(gè)直觀的描述，在這個(gè)直觀的描述中，涉及到兩個(gè)“無限接近”(x無限接近于和f(x)無限接近于a)，它們的真正含義是什么呢?弄清這些是掌握函數(shù)極限概念的關(guān)鍵所謂“當(dāng)x無限接近于，但時(shí)，f(x)無限接近于a”的意思是：f(x)可以任意靠近a，希望有多近就能有多近，只要x充分靠近,但不等于時(shí)，就可以使f(x)與a靠近到我們希望的那樣近換句話說，就是指：“|f(x)-a|可以任意地小，希望有多小就能有多小，只要充分小，但不為0(即時(shí)，就可以使|f(x)-a|達(dá)到我們希望的那樣小”我們可以用例1涉及的平均速度來說明，|f(x)-a|就相當(dāng)于若取0.1作標(biāo)準(zhǔn)，那么只要時(shí)，就有若認(rèn)為0.1不夠小，就選取0.01作標(biāo)準(zhǔn)那么只要時(shí)，就有若嫌0.01仍不夠小，要選更小的0.001作標(biāo)準(zhǔn)那么只要,就有若想選0.0001作標(biāo)準(zhǔn)只要，就有總之，任意給出多么小的正數(shù)作標(biāo)準(zhǔn)，只要這個(gè)一經(jīng)給定，那么對平均速度來說，總能確定(或說總存在)一個(gè)正數(shù)，使得當(dāng)0|t-1|時(shí)，都有上述過程可以概括在如下表格中：給定正數(shù)總存在一個(gè)正數(shù)使得當(dāng)時(shí)都有0.10.010.0010.00010|t-1|這個(gè)表格的最后一行很關(guān)鍵，它把“當(dāng)t無限接近于1，但t1時(shí)，無限接近于9.8”的本質(zhì)確切地刻畫出來了，把它概括為一般情形，就得到和描述的函數(shù)極限的精確定義(簡稱-定義)定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)在的某個(gè)空心鄰域內(nèi)有定義，并設(shè)a是一個(gè)常數(shù)，如果任意給定一個(gè)(無論多么小的)正數(shù)，總存在一個(gè)正數(shù)，當(dāng)時(shí)，都有|f(x)-a|0，總存在0，使得當(dāng)時(shí)，都有|f(x)-a|極限有明顯的幾何意義，已知不等式與等價(jià)，又已知不等式|f(x)-a|與a-f(x)0：任意以二直線y=a為邊界的帶形區(qū)域總存在0：總存在(以點(diǎn)為心的)半徑0當(dāng)時(shí)：當(dāng)點(diǎn)x位于以點(diǎn)為中心，以為半徑的去心鄰域之中有|f(x)-a|o，使0|t-1|時(shí)，即可規(guī)范證法 因?yàn)闃O限式左邊又因?yàn)槲覀儾灰欢ㄒ业綕M足定義的最大的，因此不妨只就t=1的某一鄰域來考慮例如取|t-1|1即0t2，這時(shí)2|t+2|4，于是，|t+2|t-1|4|t-1|,而時(shí)，上式右端就小于,因此只要取等于1和兩數(shù)中最小的即可，亦即取這時(shí)，當(dāng)0|t-1|時(shí)，就有|t-1|1和|t-1|，因此|t+2|t-1|4|t-1|和4|t-1|0，要使，只要取就可以了亦即當(dāng)x進(jìn)入?yún)^(qū)間時(shí)，|y-1|m時(shí)，|f(x)-a|0，要使,只要就可以了因此，對于任意給定的0，取,則當(dāng)|x|m時(shí)，有時(shí)，我們還需要區(qū)分x趨于無窮大的符號如果x從某一時(shí)刻起，往后總是取正值而且無限增大則稱x趨于正無窮大，記作x+，此時(shí)定義中，|x|m可改寫為xm，如果x從某一時(shí)刻起，往后總?cè)∝?fù)值且|x|無限增大，則稱x趨于負(fù)無窮大，記作x-，此時(shí)定義中的|x|m可改寫成x0，總存在mo，使當(dāng)xm時(shí)，即可規(guī)范證法 設(shè)對任意給定的0，要使，只要，即就可以了因此，對于任意給定的10，取,則當(dāng)xm時(shí)，恒成立，所以當(dāng)x時(shí)，f(x)以a為極限的幾何意義是：對于任意給定的正數(shù)(無論多么小)，在坐標(biāo)平面上作兩平行直線y=a-與y=a+，兩直線之間形成一個(gè)帶形區(qū)域不論多么小，即不論帶形區(qū)域多么狹窄，總可以找到m0，當(dāng)點(diǎn)(x，f(x)的橫坐標(biāo)x進(jìn)入?yún)^(qū)間(-，-m)u(m，+)時(shí)，縱坐標(biāo)f(x)全部落入?yún)^(qū)間(a-,a+)內(nèi)此時(shí)y=f(x)的圖形處于帶形區(qū)域內(nèi)越小，則帶形區(qū)域越狹窄，如圖27所示8什么是函數(shù)左極限與右極限?前面講了時(shí)函數(shù)f(x)的極限，在那里x是以任意方式趨于的但是，有時(shí)我們還需要知道x僅從的左側(cè)或僅從的右側(cè)趨于時(shí)，f(x)的變化趨勢于是，就要引進(jìn)左極限與右極限的概念例如，函數(shù)，圖形見圖2-8容易觀察出，當(dāng)x從0的左側(cè)趨于0時(shí),f(x)趨于1；而當(dāng)x從0的右側(cè)趨于0時(shí)，f(x)趨于0我們分別稱它是x趨于0時(shí)的左極限與右極限再考察當(dāng)x趨于0時(shí)的極限由于函數(shù)的定義域?yàn)?，+)因此只能考察其右極限對,由于其定義域?yàn)?-，0，因此，當(dāng)x趨于0時(shí)，只能考察其左極限定義：如果當(dāng)x從的左側(cè)趨于時(shí)，f(x)以a為極限，即對于任意給定的0，總存在一個(gè)正數(shù)，使時(shí)，恒成立，則稱a為時(shí)f(x)的左極限.記作或如果當(dāng)x從的右側(cè)趨于時(shí)，f(x)以a為極限，即對于任意給定的0，總存在個(gè)正數(shù)，使當(dāng)時(shí)，|f(x)-a|恒成立，則稱a為時(shí)f(x)的右極限，記作或根據(jù)左、右極限的定義，顯然可以得到下列定理例1 設(shè)思路啟迪 要看當(dāng)x0時(shí)，f(x)的極限是否存在，就應(yīng)先求出x0時(shí)f(x)的左、右極限，并看f(x)的左、右極限是否相等若相等，則極限存在；反之，則極限不存在規(guī)范解法 當(dāng)x0時(shí)，；而當(dāng)x0時(shí)，左、右極限都存在，但不相等所以，由上面的定理可知，不存在例2 研究當(dāng)x0時(shí)，f(x)=|x|的極限思路啟迪 因?yàn)閒(x)=|x|，所以應(yīng)對f(x)分情況討論，得到f(x)為一個(gè)分段函數(shù)，再按照例1的方法討論f(x)的極限規(guī)范解法 已知，可以證明，所以，由上面的定理得9怎樣計(jì)算函數(shù)的極限?要計(jì)算函數(shù)的極限，需知道函數(shù)極限的運(yùn)算法則，它們的證明完全和數(shù)列的情形相仿函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則：如果那么這些法則對于x時(shí)的情況仍然成立由以上法則易得(c是常數(shù))，(n是正整數(shù))利用這些法則求下面幾個(gè)函數(shù)的極限例1 求思路啟迪 由于該極限中的每一項(xiàng)都存在極限，所以可以用極限四則運(yùn)算法則中和式的極限等于極限的和來計(jì)算規(guī)范解法 點(diǎn)評 若極限式各項(xiàng)中，有一項(xiàng)或幾項(xiàng)的極限不存在，就不能直接利用函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則來做例2 求思路啟迪 與例1類似規(guī)范解法 因?yàn)辄c(diǎn)評 由例1,例2可以看出:若f(x)為多項(xiàng)式函數(shù)或當(dāng)時(shí)分母極限不為0的分式函數(shù),根據(jù)極限運(yùn)算法則可以得出例3 求思路啟迪 將分子分母同除以,使分子分母的極限存在規(guī)范解法 將分子分母同除以,得例4 求思路啟迪 將分子有理化,使分子分母極限存在例5 已知求思路啟迪 要求,應(yīng)先看其左,右極限,比較兩極限是否相同,若相同,則極限為其左,右極限值,若不相同,則極限不存在10什么是函數(shù)兩個(gè)重要極限?證明:首先證明如下圖2-9, 是以點(diǎn)為心,半徑為1的圓弧，過a作圓弧的切線與ob的延長線交于點(diǎn)c設(shè)dob=x(按弧度計(jì)算)，則顯然，aob的面積扇形aob的面積aoc的面積即或sinxx0除之，得或.，(根據(jù)夾擠定理，參看后面知識鏈接部分第4個(gè)問題中的方法1)其次，當(dāng)x0時(shí)，設(shè)x=-y,當(dāng)時(shí)，有，則例1 求思路啟迪 將tanx寫成，代回原式，使之出現(xiàn)這個(gè)重要極限規(guī)范解法例2 求思路啟迪 將kx看成一個(gè)新變量t，即令t=kx，則x0時(shí)，t0規(guī)范解法例3 求思路啟迪 先將1-cosx用半角公式化成，就可以利用特殊極限規(guī)范解法 注意：我們在利用時(shí)，一定要注意x的趨向形式，x是趨向于0的，若x是趨向于無窮的或者x是趨向于除0以外的其他值，則該極限等式就不一定成立了下面大家來看另一重要極限我們先討論x+的情形因xx0,解不等式取,于是，對任意0，總存在(其中0)，當(dāng)時(shí)，有，即正弦函數(shù)sinx在連續(xù)，因?yàn)槭莚上任意點(diǎn)，所以正弦函數(shù)sinx在r上是連續(xù)函數(shù)同理可知，余弦函數(shù)cosx在r上也是連續(xù)函數(shù)12什么是函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的連續(xù)性？如果函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)每一點(diǎn)連續(xù)，則稱函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)上連續(xù)；如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b內(nèi)每一點(diǎn)(非端點(diǎn))都連續(xù)，且函數(shù)f(x)在左端點(diǎn)a右連續(xù)，在右端點(diǎn)b左連續(xù)，則稱函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)一般地，對任何個(gè)區(qū)間i，如果函數(shù)f(x)在區(qū)間i內(nèi)的每一點(diǎn)(非端點(diǎn))都連續(xù)，且當(dāng)區(qū)間i含有端點(diǎn)時(shí)，函數(shù)f(x)在端點(diǎn)處單側(cè)連續(xù)(在左端點(diǎn)指的是右連續(xù)，在右端點(diǎn)指的是左連續(xù))，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間i上連續(xù)例如，函數(shù)f(x)=sin x在區(qū)間(-,+)內(nèi)每一點(diǎn)都是連續(xù)的，因而可說函數(shù)f(x)=sinx在區(qū)間(-,+)上連續(xù)又如，函數(shù)在區(qū)間0，+)內(nèi)的每一點(diǎn)(不包括端點(diǎn)x=0)都是連續(xù)的又在區(qū)間的左端點(diǎn)x=0滿足，則在x=0點(diǎn)右連續(xù)，因此可說函數(shù)在區(qū)間(0,+)上連續(xù)利用連續(xù)函數(shù)的定義和性質(zhì)，可以證明，切基本初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的計(jì)算極限若已知函數(shù)f(x)是初等函數(shù)，而a又屬于函數(shù)f(x)的定義域，則函數(shù)f(x)在點(diǎn)a連續(xù)，根據(jù)連續(xù)定義，“”與“f”可交換次序，即，于是，計(jì)算連續(xù)函數(shù)f(x)在點(diǎn)a的極限就變成了計(jì)算函數(shù)f(x)在點(diǎn)a的函數(shù)值f(a)例 思路啟迪 可以先將極限式的分子，分母分解，這就會出現(xiàn)重復(fù)項(xiàng)x-3由于函數(shù)在點(diǎn)3的極限只與3附近點(diǎn)x的函數(shù)值變化有關(guān)與點(diǎn)3無關(guān)，即x3或x-30，因此可以消去分子與分母中的公共因式x-3規(guī)范解法13求函數(shù)極限有哪些方法?在某一極限過程中,參加極限四則運(yùn)算的每一個(gè)極限都必須有相同的過程,而且每個(gè)極限都必須存在(分母不為零)才能運(yùn)算我們通過下面幾道題來總結(jié)一下求函數(shù)極限的方法例1 求思路啟迪 由于f(x)與g(x)是在的某鄰域內(nèi)有定義的初等函數(shù),所以也是在的某鄰域內(nèi)有定義的初等函數(shù)根據(jù)初等函數(shù)的連續(xù)性可求出該極限規(guī)范解法 由初等函數(shù)的連續(xù)性，得例2 求思路啟迪 由于當(dāng)x2時(shí),分子、分母的極限都存在，并且分母的極限不為0，所以可以將x2直接代入分子、分母，根據(jù)初等函數(shù)的連續(xù)性，分別求出分子分母的極限，再求商即可規(guī)范解法 例3 求思路啟迪 由于將x-2代入分母，可得分母極限為0，所以此題不能用直接入法根據(jù)觀察,可以將分子分母分解因式,都可以分解出極限為0的x+2,約去公因式即可求極限了規(guī)范解法 例4 思路啟迪 因?yàn)?，所以不能直接用求函?shù)極限差的運(yùn)算法則,可將函數(shù)通分變形后再求極限規(guī)范解法 例5 求思路啟迪 由于分子,分母的極限都是無窮大,所以分子、分母同除以最高次項(xiàng)，使分子、分母的極限都存在規(guī)范解法 點(diǎn)評 一般地例6 求思路啟迪 求函數(shù)極限時(shí)，若碰到分子，分母中有根號的情形，經(jīng)常會把分子或分母有理化，使原極限可求規(guī)范解法 例7 求思路啟迪 分子，分母中分別有，直接求極限不好求，可以采用變量規(guī)換的方法，令規(guī)范解法 例8 求思路啟迪 出現(xiàn)規(guī)范解法一 規(guī)范解法二 規(guī)范解法三 學(xué)科：數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容：極限知識拓展【知識拓展】收斂數(shù)列有幾個(gè)重要性質(zhì)，它們可表現(xiàn)為下面幾個(gè)定理：證明：假設(shè)數(shù)列有兩個(gè)極限a與b，即與，根據(jù)數(shù)列極限定義，對于任意的0分別有：存在自然數(shù)當(dāng)時(shí)，有；存在自然數(shù)，當(dāng)時(shí)，有取，當(dāng)nn時(shí)，同時(shí)有與，于是當(dāng)nn時(shí)，有因?yàn)閍與b是常數(shù)，2是任意小的正數(shù)，所以只有a=b，上述不等式才能成立，即數(shù)列的極限是惟一的定理2：（有界性）若數(shù)列收斂，則有界，即存在正數(shù)m，對任意自然數(shù)n有證明：設(shè)，根據(jù)數(shù)列極限的定義，取定（可以根據(jù)需要任意選?。?，存在自然數(shù)n，當(dāng)nn時(shí)，有因?yàn)椋援?dāng)nn時(shí)，有或即在數(shù)列中不滿足不等式的項(xiàng)充其量不過是前n項(xiàng)：.令于是，對任意自然數(shù)n，有定理2指出收斂的數(shù)列必有界反之，有界數(shù)列不一定收斂例如，已知數(shù)列是有界的，但它卻是發(fā)散的換句話說，有界是數(shù)列收斂的必要條件而不是充分條件2什么是有界數(shù)列?定義：若存在兩個(gè)數(shù)a，b(設(shè)a0)都是的上界這表明上界并不是惟一的，下界也是如此(2)對于數(shù)列，如果存在正整數(shù)n，當(dāng)nn時(shí)，總有,我們就說數(shù)列往后有界要注意，往后有界一定是有界的，這是因?yàn)樵趎項(xiàng)之前只有有限多個(gè)數(shù)在這有限個(gè)數(shù)中必有最大的數(shù)和最小的數(shù)，設(shè)，那么min(a，)和max(b，)就是整個(gè)數(shù)列的下界和上界(3)有界數(shù)列也可以這樣敘述：若存在一個(gè)正數(shù)m，使得，就稱是有界數(shù)列或者也可以這么說，若存在原點(diǎn)的一個(gè)m鄰域(o，m)，使得所有，就稱是有界數(shù)列，這種敘述和上面所給出的定義顯然是等價(jià)的3什么是單調(diào)有界數(shù)列?設(shè)是一個(gè)數(shù)列，如果我們就說這個(gè)數(shù)列是單調(diào)增加(上升)的如果我們就說這個(gè)數(shù)列是單調(diào)減少(下降)的例如就是一個(gè)單調(diào)減少的數(shù)列如果在上面數(shù)列中等號都不成立，就稱它是嚴(yán)格單調(diào)增加或嚴(yán)格單調(diào)減少的4數(shù)列的收斂判別法有哪法?方法1若存在自然數(shù)n，當(dāng)nn，總有，且，則注：方法1被稱為夾擠定理例1 計(jì)算思路啟迪只要找到兩個(gè)數(shù)列與，使則規(guī)范解法 方法2單調(diào)有界數(shù)列存在極限例2 證明數(shù)列收斂，并求它的極限思路啟迪 首先對于這種隨n的增大，數(shù)列的項(xiàng)