高中數(shù)學新課程創(chuàng)新教學設計案例——15異面直線.docx

15 異面直線教材分析異面直線是立體幾何中十分重要的概念研究空間點、直線和平面之間的各種位置關系必須從異面直線開始教材首先通過實例讓學生弄懂“共面”、“異面”的區(qū)別，正確理解“異面”的含義，進而介紹異面直線所成角及異面直線間的距離，這樣處理完全符合學生的認知規(guī)律處理好這節(jié)內(nèi)容，可以比較容易地引導學生實現(xiàn)由平面直觀到空間想象的過渡教學重點是異面直線的概念，求異面直線所成的角和異面直線間的距離是這節(jié)的難點教學目標1. 理解異面直線的概念，了解空間中的直線的三種位置關系2. 理解異面直線所成的角、異面直線間的距離的意義，體會空間問題平面化的基本數(shù)學思想方法3. 通過異面直線的學習，使學生逐步養(yǎng)成在空間考慮問題的習慣，培養(yǎng)學生的空間想象能力任務分析空間中的兩條直線的位置關系，是在平面中兩條直線位置關系及平面的基本性質(zhì)基礎上提出來的學生對此已有一定的感性認識，但是此認識是膚淺的同時，學生空間想象能力還較薄弱因此，這節(jié)內(nèi)容課應從簡單、直觀的圖形開始介紹“直觀”是這節(jié)內(nèi)容的宗旨多給學生思考的時間和空間，以有助于空間想象能力的形成異面直線所成的角的意義及求法，充分體現(xiàn)了化歸的數(shù)學思想要讓學生通過基本問題的解決，進一步體會異面直線所成的角、異面直線間的距離的意義及其基本求法教學設計一、問題情境（）1. 同一平面內(nèi)的兩條直線有幾種位置關系？空間中的兩條直線呢？觀察教室內(nèi)的日光燈管所在直線與黑板的左右兩側(cè)所在直線的位置或觀察天安門廣場上旗桿所在直線與長安街所在直線的位置2. 如圖15-1，長方體abcda1b1c1d1中，線段a1b所在直線與線段c1c所在直線的位置關系如何？二、建立模型（）1. 首先引導學生觀察實例或幾何模型，進而發(fā)現(xiàn)，空間兩直線除平行或相交外，還有一種位置關系：存在兩條直線既不平行又不相交，即不能共面的兩直線，并在此基礎上總結(jié)出異面直線的定義2. 在學生討論歸納異面直線定義的基礎上，教師概括：我們把不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫作異面直線強調(diào)：（1）所謂異面，即不共面，所以它們既不平行，也不相交（2）“不共面”，指不在任何一個平面內(nèi)，關鍵是“任何”二字3. 先讓學生總結(jié)空間中兩條直線的位置關系，然后教師明晰（1）共面與異面共面分為平行和相交（2）有無公共點有且僅有一個公共點相交直線，無公共點 _ 平行直線和異面直線4. 異面直線的畫法先讓學生體會下列圖形，并讓其指出哪些更為直觀顯然，圖15-2或圖15-3較好因此，當表示異面直線時，以平面襯托可以顯示得更清楚三、問題情境（2）刻畫兩條平行直線位置通常用距離，兩條相交直線通常用角度，那么，如何刻畫兩條異面直線的相對位置呢？容易想象要用角和距離，如何定義異面直線的角和距離呢？下面探究一個具體的問題：如圖，在正方體abcda1b1c1d1中，1. 我們知道ab與a1b是共面的，它們成的角是45，那么異面直線ab與d1c所成的角定義為多少度的角比較合理呢？2. 回憶我們已學過的“距離”概念，發(fā)現(xiàn)“距離”具有“最小性”，現(xiàn)在直線ab和d1c上各取一點，這兩點必然存在距離，試問在這所有可能的距離中，是否存在兩點，這兩點間距離最短？進一步思考：如何定義異面直線ab和d1c間的距離？四、建立模型（2）在學生充分討論、探究的基礎上，抽象概括出異面直線所成的角和異面直線間的距離的概念1. 異面直線a與b所成的角已知兩條異面直線a，b經(jīng)過空間任一點o，作直線aa，bb，我們把a與b所成的銳角（或直角），叫作異面直線a與b所成的角強調(diào)：（1）“空間角”是通過“平面角”來定義的（2）“空間角”的大小，與空間點o的選取無關，依據(jù)是“等角定理”為簡便，點o常取在兩條異面直線中的一條上（3）異面直線所成角的范圍是090（4）異面直線垂直的意義今后所說的兩直線垂直，可能是相交直線，也可能是異面直線2. 對于問題2，學生討論，可以發(fā)現(xiàn)：線段bc是在異面直線ab和d1c上各任取一點，且兩點間的距離為異面直線ab和d1c間的最小值此時，我們就說bc的長度就是ab和d1c的距離引導學生觀察、分析線段bc與ab，d1c之間的關系，得出公垂線段定義：和兩條異面直線都垂直且相交的線段強調(diào)：（1）“垂直”與“相交”同時成立（2）公垂線段的長度定義為異面直線間的距離五、解釋應用例題1. 如圖，點d是abc所在平面外一點，求證直線ab與直線cd是異面直線注：主要考查異面直線的定義，這里可考慮用反證法證明要讓學生體會用反證法的緣由2. 已知：如圖，已知正方體abcdabcd（1）哪些棱所在直線與直線ba是異面直線？（2）直線ba和cc的夾角是多少？（3）哪些棱所在直線與直線aa垂直？（4）直線bb與dc間距離是多少？注：主要是理解、鞏固有關異面直線的一些基本概念解題格式要規(guī)范，合理練習1. 如果兩條平行直線中的一條與某一條直線垂直，那么，另一條直線是否也與這條直線垂直？2. 垂直于同一條直線的兩條直線是否平行？3. 與兩條異面直線都相交的兩條直線的位置關系是怎樣的？4. 已知：如圖，在長方體abcdabcd中，ab2 ，ad2，aa2（1）bc和ac所成角是多少度？（2）aa和bc所成角是多少度？（3）aa和bc所成的角和距離是多少？（4）ab與bc所成的角是多少？（5）ac與bd所成的角是多少？四、拓展延伸1. 判斷異面直線除了定義之外，還有如下依據(jù)：過平面內(nèi)一點和平面外一點的直線與平面內(nèi)不過該點的直線是異面直線請給以證明2. 設點p是直線l外的一定點，過p與l成30角的異面直線有 _ 條（無數(shù)）3. 已知異面直線a與b成50角，p為空間任一點，則過點p且與a，b所成的角都是30的直線有 _ 條（2）若a與b所成的角是60，65和70呢？點評這篇案例設計思路完整，條理清晰案例首先通過直觀的圖